基于發現數學的結構化教學實踐路徑

摘要：基于發現數學的結構化教學，通過“發現知識的聯系—發現方法的貫通—發現思維的融合”，建立結構化的知識脈絡，實施結構化的教學方式，實現結構化的素養發展，展現學生真實而完整的學習過程。通過知識的結構化，促進教學的結構化，最終形成思維的結構化，讓學生經歷完整的個性化的學習全過程，發現知識內在聯系、方法相互關聯，形成新的認知結構，發展思維，獲得能力和素養。

關鍵詞：發現數學；知識關聯；方法貫通；思維融合

“發現數學”教學研究是江蘇省無錫市新吳區旺莊實驗小學近20年來數學課堂改革的重點，學校形成了“發現數學”的教學主張，旨在讓“發現”發生在數學學習中，給學生一雙“慧發現”的眼睛。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）指出，要讓學生“經歷數學‘再發現’的過程”，教師“在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質，對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系”。結合新課標的要求，我們提出，基于發現數學的結構化教學，即通過設計結構化的教學情境和探究活動，引導學生自主發現數學問題、數學方法和數學規律的過程。通過“發現知識的聯系—發現方法的貫通—發現思維的融合”，建立結構化的知識脈絡，實施結構化的教學方式，實現結構化的素養發展，展現學生真實而完整的學習過程；通過知識的結構化，促進教學的結構化，最終形成思維的結構化，讓學生經歷完整的個性化的學習全過程，發現知識內在聯系、方法相互關聯，形成新的認知結構，發展思維，獲得能力和素養。

一、發現數學知識的關聯，建立結構化的知識體系

發現數學強調學生用整體的、關聯的、發展的眼光來學習數學，理解各知識點之間的內在聯系。構建一個結構清晰、邏輯嚴密的知識體系是結構化教學的起點與目標。在發現數學教學中，教師要讓學生了解所學內容在整個數學體系中的位置與作用，以及數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義，并將所學知識按邏輯關系串聯起來，形成清晰的知識脈絡。教師要設計多角度、多層次的教學活動，引導學生去思考數學概念、原理及法則之間的聯系，深入理解其內涵與外延，形成有意義的知識結構。

（一）明確學習目標，梳理知識脈絡

基于發現數學的結構化教學，注重讓學生從整體上把握數學知識的結構和框架，形成系統的知識體系。教師要讓學生明確學習目標，從“是什么，為什么，怎么樣”三問中引發學生學習整體內容，激發學生的內驅動力和學習興趣，從而讓學生的數學學習更有方向與目標。學生圍繞學習目標積極主動地去探索各個知識背后的原理與聯系，也可以利用“知識思維圖”將復雜的知識以圖形化的方式呈現出來，將知識點串聯成網，清晰地展現各個知識點之間的層次結構與邏輯關系。這樣形成的知識脈絡有助于學生理解記憶，更能提高學生解決問題的能力。

（二）理解概念本質，建立知識結構

深刻理解與把握數學概念的本質是知識建構的基石。教師不僅要關注知識的外在形式，更要深入挖掘其內在邏輯和本質特征。在發現數學的教學中，教師要引導學生看到數學知識的歷史背景、演變過程，從知識的源頭上理解概念本質，在比較關聯中尋找知識之間的內在聯系和邏輯關系，把握數學知識的生發點、生長點、生成點。在教學中，教師要緊扣“概念本質”這根主線，讓數學知識連點成線、織線成網，幫助學生深化對數學知識的理解，并構建穩固的知識結構，將其進一步內化為學生頭腦中的認知結構，提升學生的數學素養和綜合能力。

例如，蘇教版小學數學教材五年級上冊“小數的意義”一課，小數的知識在蘇教版教材中是分兩段來教學的，先是三年級下冊初步認識一位小數，再是五年級上冊深刻學習小數的意義。五年級的學生已經具備了整數、簡單的分數和小數的認知經驗，本節課的內容主要是讓學生從整體、結構化視角來深入理解小數的意義、小數與整數和分數之間的關聯。基于這樣的學習目標，教師要利用“數是對多少個單位的表達”這一核心概念來幫助學生建立完整的知識結構，引導學生先從“計數單位”的角度來認識小數，借助米尺這一具體實物，讓學生在動手操作中認識小數：平均分成10份，每份是[110]，就是0.1，幾份就是幾個0.1，認識一位小數表示十分之幾；平均分成100份，每份是[1100]，就是0.01，幾份就有幾個0.01，是兩位小數，兩位小數表示百分之幾……再到平均分正方體來整體認識一位小數、兩位小數、三位小數等。最后，教師抽象概括為：把“1”不斷平均分就能得到0.1，0.01，0.001……把“1”不斷累加就能得到10，100，1000……讓學生感受到數的認識就是計數單位的累加或細分（如圖1）。

“計數單位”這一核心概念打通了整數、小數、分數之間的關聯（如圖2），使學生理解了數知識的一致性，同時也架起了“數與運算”的橋梁，為學生學習小數的四則運算做好鋪墊，進而發展學生的數感及符號意識。

二、發現數學方法的貫通，完善結構化教學過程

發現數學注重培養學生的發現能力，強調培養學生的觀察與比較、推理與交流、歸納與分享等能力。發現數學學習的方法與探索、學會如何發現的方法是結構化教學的具體與實踐。基于發現數學的結構化教學不僅要讓學生建立清晰的知識結構，還要培養學生不同的學習數學的方式方法，并做到方法遷移，解決更多的實際問題，實現融會貫通。在教學中，教師應設計具有“情境串、問題鏈、能力場”的結構化教學過程，注重數學學習方法的引導與訓練，關注不同方法之間的橫向聯系，引導學生發現不同領域數學方法的共通之處，激發學生的探索欲和創造力，促進學生數學素養的發展與提升。

（一）把握教學過程，領悟數學思想

基于發現數學的結構化教學推進整體設計教學過程，教師從宏觀上把握教學內容，沿著“學科—學段—單元—課時”的數學知識與核心素養的主要表現來明確教學目標與任務，整體設計，分步實施，促進學生對數學知識內在邏輯關系的理解，逐步培養學生的核心素養。在教學中，教師立足整體觀念的視角，從社會生活、科學和學生已有經驗等方面入手，圍繞學習任務，創設真實的“情境串”，設計合理的“問題鏈”，聚焦解決問題的過程，讓學生在實踐、探索、體驗、反思、合作、交流等學習過程中領悟數學思想，積累基本活動經驗。

（二）遷移綜合拓展，貫通方法結構

基于發現數學的結構化教學遷移發現的方法和能力，教師讓學生將數學知識和方法應用于實際情境，舉一反三，獲得會發現的能力，理解數學的價值，培養綜合素養。在教學中，教師設計有層次性、指導性、探究性的綜合應用活動，給學生提供探索、討論、實踐、調查和解決問題的各種機會，幫助學生獲取學科的概念認知、掌握的學習方法，形成遷移拓展運用的“能力場”。面對新的問題或任務，學生能夠從不同的視角，綜合運用不同的學習方法對問題進行探索，從而貫通學習方法，多樣性地解決實際問題，培養應用意識和創新品格。

例如，蘇教版小學數學教材六年級上冊“分數乘分數”一課，教師先要引導學生理解的是分數乘法的意義：一方面，它表示求若干個相同分數的總和，這與整數乘法的意義相同；另一方面，它還可以表示求一個數的幾分之幾是多少，這擴展了整數乘法的意義——求一個數的幾倍是多少，也是小數乘法意義的延續。理解分數乘分數的意義有助于學生領悟乘法運算的一致性，從一致性的角度來整體設計本節課的學習過程，以結構化的學習任務來理解“所有的運算都是單位的操作”這一核心計算方法。教師遵循學生的認知規律，設計結構化、進階化的學習任務，引導學生在關聯性的任務操作探究中積累方法經驗，理解數與形的關系，貫通分數乘法與整數乘法、小數乘法之間的一致性關聯，理解算理，掌握算法，形成算能。

任務一：知識勾連，理解意義。

1.一臺拖拉機每小時耕地500平方米，2小時耕地多少平方米？

2.一臺拖拉機每小時耕地500平方米，[35]小時耕地多少平方米？

3.一臺拖拉機每小時耕地[12]公頃，[35]小時耕地多少公頃？

列出算式，比較以上三道題的相同點與不同點。

為了讓學生理解分數乘分數的意義，教師設計以“倍數”知識為基礎的任務，將“求一個數的幾分之幾是多少”轉化為“求一個數的幾倍是多少”，讓學生理解用乘法計算及分數乘分數的意義，以“倍數”統領體現乘法意義的一致性。

任務二：多元表征，理解算理。

1.猜想：[12×35]可以怎樣計算？試著算一算。

[12×35]=？

2.驗證：通過畫圖或聯系整數乘法的道理來驗證你的計算方法是否正確。

3.結論：分數乘法的計算方法。

4.聯系：分數乘法與整數乘法、小數乘法有哪些相同之處、不同之處？

教師強調學習方法的開放性和批判性，讓學生經歷推理的過程，重視多種方法的對比與優化，探索方法之間的內在聯系，領悟數學思想方法。學生通過圖與式的比較（如圖3），式與式的推理（圖4），讓學生經歷“再發現”的過程。學生從“計算單位的操作”的核心要點推理分數乘分數的算理和算法：分母乘分母產生新單位，分子乘分子得到單位的個數。這與整數乘法、小數乘法在計算中的道理上是一致的（如圖5），建立起乘法計算的方法結構。

最后，教師通過“任務三：基礎練習、綜合運用、拓展提升”，讓學生鞏固遷移學會的計算方法，并讓學生聯想：分數乘法與整數乘法、小數乘法在算理上有一致性，都是“計數單位乘計數單位個數的運算”，那分數除法與整數除法、小數除法之間有一致性嗎？進一步凸顯方法之間的貫通，讓學生結構化地理解數的運算的一致性，從而建立起運算的方法結構。

三、發現數學思維的融合，實現結構化的素養發展

發現數學凸顯思維結構的孕育與發展。學生會發現和提出問題，能夠運用多種策略直觀地分析和解決問題，并能理性地表達與交流推理的過程，通過數學學會思維的融合，這是結構化教學的目標和方向。數學思維的融合就是將數學中的不同思維方式結合使用，從多個角度、多種方法來解決實際問題。在教學中，教師不僅要關注數學學科內部各種思維方式的融合，更要關注數學思維與其他學科思維方式的交叉融合。教師可以設計跨學科主題學習，加強數學學科與其他學科之間的聯系與整合，深入探究數學知識在社會生活中的應用與價值，重視學生在學習過程中的思維表現，全方位促進學生素養發展。

（一）強化學科整合，思維能力系統化

基于發現數學的結構化教學，教師應強化學科整合，促進學生思維的系統化發展。數學思維作為理性思維的重要組成部分，不僅在數學學科中占據核心地位，對其他學科的學習也能產生較大影響。在教學中，教師應設計跨學科主題學習活動，利用信息技術或工具設計完整可行的活動方案，將不同學科的知識、方法和思維方式有機融合，讓學生主動探究發現，形成更加完整、關聯的知識體系和條理清晰、邏輯嚴密的思維體系。在活動過程中，教師引導學生在跨學科的背景下會用數學的眼光觀察現實世界；會用數學的思維思考現實世界，分析解決現實問題的關鍵要素；會用數學的語言表達現實世界，明晰關系和規律，提升思維能力。

（二）重視總結評價，思維品質結構化

基于發現數學的結構化教學重視總結評價，提升思維的靈活性、深刻性、批判性和創新性。在教學中，教師及時地總結評價，讓學生發現自己在學習過程中數學思維上的不足與錯誤，調整自我學習策略。教師針對性地改進教學方法和策略，鼓勵學生積極主動地學習，促進其思維品質的持續發展。教師要設計過程性總結和全課總結，讓學生進行反思，發現思維的完整性，通過總結提煉出有效的思維方式和策略；依據學習目標實施多元評價，通過過程性評價和表現性評價關注學生的思維過程，提升學生的思維品質。

例如，蘇教版小學數學教材第二學段“綜合與實踐”領域主題活動“曹沖稱象的故事”，語文課上，學生已經了解了曹沖是如何稱象的，贊揚了曹沖的聰明與智慧。數學課上，學生再來學習“曹沖稱象的故事”，教師需要讓學生會用數學的思維分析稱量策略的數學原理，體會轉化的數學思想，感悟“等量的等量相等”“總量等于各分量之和”的基本事實。因此，“曹沖稱象”就像一座橋梁，連接著數學、語文、科學、綜合實踐活動等學科。

教師設計“故事引入，提出數學問題；實驗操作，感悟轉化思想；具身體驗，應用等量代換；拓展升華，豐富關聯成長”四大環節，讓學生在跨學科主題活動中展開思維過程，發展思維能力。首先，教師從“曹沖稱象的故事”引入，讓學生理解曹沖稱象的步驟和方法，并提出關鍵問題：為什么大象的質量就等于石頭的質量呢？其次，圍繞關鍵問題，引導學生進行“模擬稱象”的實驗操作，體會“船”作為中間量的關鍵作用——因為“大象的質量=船排開水的質量，石頭的質量=船排開水的質量”，所以“大象的質量=石頭的質量”。學生通過推理理解“等量的等量相等”的數學原理，通過操作明白“大象的質量=小石頭+小石頭+……”“總量等于各分量之和”的思想，充分感悟將不能直接測量的大象轉化成可以測量的石頭的“轉化思想”。再次，學生通過自制一桿秤，用已知質量的物品作為測量工具，想辦法測量數學書的質量、稱出一枚回形針的質量，直觀感受等量代換的過程，培養量感。最后，教師展示先進的測量工具，讓學生感受科技帶來的便利，體會不同的轉化方法。

在教學中，教師及時進行過程性反思及全課總結，可讓學生深刻理解兩個數學原理及數學與其他學科的關聯；教師采用表現性評價跟進的方式，對每一個小組、每一名學生的學習過程進行評價，可促進學生“四基”的發展和“四能”的生成。在活動中，教師引導學生進行跨學科整合學習，綜合運用數學知識解決復雜問題，運用數學原理進行推理，積累度量的活動經驗，體會數學的價值。發現數學思維與跨學科思維的融合，能使學生感悟數學與生活、數學與社會的關聯，發展思維能力，形成思維品質，生長數學素養。

基于發現數學的主題單元教學，重視發現知識的邏輯結構，培養學生的方法結構和思維結構，尤其重視訓練學生的理性思維和邏輯思維。學生經歷結構化的教學活動，通過“看—做—說—聯”的方式實現發現數學概念本質，拓展知識結構，完善認知結構，發展素養結構。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］孫云.結構化視角下“計算主題”學習任務的設計與實踐：以“分數乘分數”教學為例［J］.小學教學參考，2023（17）.

［3］錨定核心問題滲透轉化思想：以數學主題活動“曹沖稱象的故事”教學為例［J］.小學教學參考，2024（23）.

（責任編輯：趙春艷）