畫好路徑“延長線”，鑄就單元“同心圓”

章起始課作為一章內容的起點，對整章教學具有提綱挈領的作用，不僅能夠引導學生初步掌握全章知識結構、知識間的邏輯關系，還能將自然單元與主題單元進行串聯與銜接，讓學生站在系統的高度，知道知識的由來，以及為什么學、學什么、怎么學，達成思維的結構化。

“圓”是魯教版初中《數學》九年級下冊第五章的內容，是幾何篇章的最后一章，同時也是學生學習的第一個曲線圖形。小學階段是通過折紙、作圖認識了圓，再利用“化曲為直”“化圓為方”的方法研究其周長和面積公式；初中將類比小學的經驗，借助直線形的一般路徑進行探究。

“圓”章起始課統領全章，立足經驗，引導學生關注“圓”的生長點與延伸點，幫助其認識學習內容的起端與研究路徑，由此獲得解決問題的經驗，感受它是什么、它有什么、它能做什么。因此，在通讀課標和研讀教材后，將本章內容梳理為：初識“圓”；圓的基本性質；點、直線、平面圖形與圓的位置關系；小結與思考。筆者先后以兩次試教的教學設計為依托，對比闡述本節章起始課承載的知識之間的化歸與遷移。

一、教學設計與設計意圖

【第一環節】順延路徑，經驗傳承（“課前預學”前置）

（初稿呈現）生活常識：“圓”作為一個曲線型平面圖形，它具有怎樣的特征，會給我們帶來怎樣的生活便利？

（二改完善）歷史遺跡：天壇主要由圜丘和祁谷（祁年殿）兩壇組成。圜丘壇俗稱祭天臺，共有3層。上層圜臺的直徑是30米，中層直徑是50米，下層直徑是70米。祁年殿頂周長是100米。你能提出哪些數學問題？

（預學指導：可以從幾何研究對象——點、線、面、體等角度研究。）

[設計意圖]“初稿”讓學生提前搜集相關的資料，感受圓在生活中的重要作用。“二改”借助歷史遺跡引導學生感受古人的智慧，借力提出數學問題，復習小學已有的知識，體會深入學習圓的必要性。

[學情預設]學生獨立搜集資料，采用相互補充的方式進行展示，同時滲透物理學知識，進行跨學科銜接。

【第二環節】靜態觀察，引發思考（“課中導學”設置）

（二改完善）匯集學生的經典做法并展示。教師引導學生從幾何研究的角度進行完善。回顧小學的畫“圓”作圖環節。

（初稿呈現）問題1：“圓”在生活中處處可見。你能嘗試多種方法在學案中畫出一個圓嗎？

追問1：若改成在操場上畫一個r=2米的圓，如何畫？追問2：你能描述一下什么是圓嗎？

[引入數學史]圓，一中同長也。——《墨經》

[設計意圖]引入數學史，讓學生進一步梳理出什么是“圓”。從動態和靜態兩個角度理解圓的定義、表示、組成元素及接下來的研究路徑。

[學情預設]學生獨立完成題目后合作交流。

問題2：在平面內畫一個圓，需要幾個條件？

（二改完善）問題3：類比之前研究的平面幾何圖形，你認為應該從哪些角度研究圓的組成元素？

問題4：嘗試畫出圓中的線段、角和任意兩點之間的弧。找出其中你認為最特殊的線段、角和弧。

追問1：根據它們的特殊性，你能描述一下它們嗎？（弦、圓心角與圓周角、弧的長度與角度）

追問2：將整個圓360份等分，每一份這樣的弧叫做1°的弧，1°的弧所對的圓心角的度數是多少？n°的圓心角的度數與它所對弧的度數有怎樣的關系？

追問3：猜測對于同弧或等弧所對應的圓周角度數是多少呢？后續我們進一步推理驗證。平面圖形主要從哪些角度進行的研究？（大小、形狀、位置關系）先從最基礎的幾何變換——對稱性展開。

活動（一）折一折、疊一疊

（初稿呈現）將準備好的兩個圓形紙片折疊，你發現了哪些與數學有關的信息？

活動要求：先獨自完成再小組交流，并選派一名代表進行展示。活動時間：5分鐘。

（二改完善）攻略：可以從圓上的弧、線段、角以及對稱性等角度進行探索。

① 軸對稱性：圓是軸對稱圖形，對稱軸是任意一條經過圓心的直線，有無數條對稱軸。

問題5：將圓沿它的對稱軸對折后，弦被平分，圓的兩段弧也被平分嗎？如何驗證？

（二改完善）這是圓的一個非常重要的定理——垂徑定理。后續我們還要進一步推理驗證。

② 中心對稱：圓是中心對稱圖形——繞著圓心旋轉任意角度都能和自身重合，叫做旋轉不變性。

追問：在同圓或等圓中，若兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等嗎？如何驗證？

（二改完善）基本圖形演變。

[設計意圖]通過動手操作，讓學生深刻領會圓的基本概念以及對稱性和旋轉不變性，直觀感受各要素之間的內在聯系，體驗變與不變性。

[學情預設]先獨立完成，后小組合作。小組交流展示分享，教師設置追問，激發數學思考。

評測練習一

一條排水管的截面如圖1所示，已知排水管的半徑OA=2米，水面寬AB=2.4米，若某天下雨后，水管水面上升了0.4米，則排水管水面寬CD= 米.

變式：若某天下雨后，水管水面上升后的水面寬度為3.2米，則排水管上升了 米.

【第三環節】動態探究，挖掘內涵

活動（二）做一做、想一想

（二改完善）歷史遺跡：若以祁谷（祁年殿）中心點O為圓心，如圖2，將參觀的游客抽象為點A、B、C、D、E、F。你能提出哪些數學問題？

追問：研究對象從點、線、面逐一展開，要研究它們的組成結構，從哪些角度進行呢？

問題6：幾何研究最基本的元素是點，你認為點與圓的位置關系有幾種情況？

問題7：針對上述的位置關系，你可以用哪些量描述？

[設計意圖]讓學生從動態和靜態兩個角度理解點與圓的位置關系。

[學情預設]學生在動圖的幾何直觀下，獨立總結點與圓的位置關系（圖3）。對于點到圓心的距離d與半徑r的關系，可以相互補充完善，引導學生建模。

問題8：將圓中的一條弦延伸為直線，則此時直線與⊙O具有怎樣的位置關系呢？嘗試在學案上畫圖，探究用哪些量描述不同的位置關系。

活動要求：獨自完成任務之后小組交流，并選派一名代表進行展示?；顒訒r間：5分鐘。

（攻略：位置關系可以從公共點的個數、數量關系、圓心到直線的垂線段長度、圓半徑的長度進行探索。 ）

類比遷移：我們可以直觀地發現直線與圓的位置關系為——相交、相切、相離（圖4）。位置關系：以公共點的個數進行分辨，數量關系：以圓心到直線的垂線段d與圓的半徑r進行分辨。

追問：對于相切，我們發現了垂線段d=r。得到切線的性質——圓的切線垂直于過切點的半徑。反過來，滿足什么條件的直線是圓的切線呢？

拓展：類比遷移點、線與圓的位置關系，對于平面圖形與圓的位置關系，你認為可以從哪些角度進行研究？（以三角形為例）

[設計意圖]類比點與圓的位置關系，從動態的角度理解直線與圓的位置關系，感知切線的性質與判定，延伸為平面圖形與圓的特殊位置關系。

[學情預設]學生基本能夠獨立完成；對于問題8及追問，可進行交流展示與點撥提升。

【第四環節】類比探究，盡在后續（二改完善）

類比之前學過的平行四邊形以及特殊平行四邊形（圖5），思考幾何學習的路徑是什么。

追問：教材引導我們按照這個順序學習（圖5），能否談談其合理性？

追問：我們認識了“圓”，那么接下來我們要研究什么呢（圖6）？

問題9：類比平行四邊形的性質，我們是從邊、角、對角線、對稱性進行研究的。你認為圓的性質應該從哪幾個方面進行研究呢？后續我們還將研究圓哪些方面的知識呢？

[設計意圖]從動態和靜態兩個角度理解圓的定義，類比遷移平行四邊形、特殊平行四邊形的學習路徑，參照目錄學習法，延續“圓”的學習路徑，讓學生知道為什么學、怎么學、學什么。

【第五環節】生活融入，實踐應用（二改完善，“課后精學”之實踐拓展）

縱觀史今：歷史上我國隋朝建造的趙州橋是世界上著名的石拱橋，它的主橋拱是圓弧形，你能利用圓的知識解決橋拱的哪些問題，解決這些問題又用到哪些數據呢？

生活應用：結合本節課所學，以排水管問題為背景，請你設計一個生活問題，并利用圓的知識解決。

實踐拓展：如圖7，有一張四邊形紙片ABCD，AB=AD=6 cm，CB=CD=8 cm，且∠B=90°.

（1）要把該四邊形紙片裁剪成一個面積最大的圓形紙片，你能否用折疊的方法找出圓心？

（2）若能，計算出最大圓形紙片的半徑。

[設計意圖]通過活動化的學習，讓學生體會學習數學的方式、路徑，感受一種獨有的“玩出來”的數學魅力。

[學情預設]小組交流，利用“兵教兵”幫助學生建模，利用合作交流進行分組展示。

【第六環節】回顧總結，展望延伸

本節課我都學到了什么？我感觸最深的是什么？還期待學習哪些知識？（可以從知識、方法、思想等維度描述，如圖8）

[設計意圖]通過自我評價、小組評價，引導學生肯定自我、欣賞他人。

[學情預設]從不同層面提升學生的學習能力，提升數學核心素養。

二、教學設計的完善寓意

1. 注重研究路徑的確立

章起始課立足于整章，在主題單元以及自然單元的縱橫脈絡下，注重知識的整體性、連貫性、梯度性，問題設置的連貫性、層次性強。它基于學生已有的生活認知、知識儲備、解決問題的策略，借助問題情境的設置，引發學生的共鳴，銜接知識的生長點與延伸點。以此讓學生知道學習內容的起端與研究路徑，在原有基礎上獲得解決問題的技能，體會數學獨有的研究方法和思維方式。

2. 注重研究方式的達成

章起始課的設計，要突出學生數學基本經驗的積累，提升學生的學科素養，不再單純重視知識的傳授，導致整章的學習路徑不清，讓學生越學越難，感受不到數學獨有的魅力。

3. 注重思維結構化的培養

章起始課要注重知識的架構，以適當活動化的情景及梯度性問題銜接，以認知上的矛盾為銜接點讓學生思維不斷碰撞，最終達成思維的結構化，從而展開深度學習。這樣一來，學生從數學的角度提出問題，解決問題，獲得解決問題的策略，學以致用，感受無處不在的數學。

（作者單位：王麗麗 山東省威海市環翠區教育教學研究中心；于李琴 威海市第七中學）