Starlink衛星運動仿真分析

摘" 要：基于開普勒第三定律，研究Starlink衛星軌道運行軌跡，分析其軌道運行特征，建立軌道仿真模型，使用高階的Runge-Kutta方法求解方程，并利用STK對中國東南地區以及中國低緯度地區的Starlink衛星覆蓋情況進行分析。仿真結果表明：隨著Starlink衛星發射數量的增加，整體覆蓋能力穩步提升。最開始1 000顆衛星的覆蓋范圍在北緯54°至南緯54°之間，中國低緯地區的覆蓋程度要比中緯地區低；2 000顆衛星在此范圍之間的覆蓋達到了100%，3 000顆衛星的覆蓋水平明顯提高，并且向兩極方向延伸，但是一直無法覆蓋兩極地區。

關鍵詞：星鏈；軌道特征；覆蓋分析；運動仿真

中圖分類號：TP391.9" 文獻標識碼：A" 文章編號：2096-4706（2024）11-0049-05

Starlink Satellite Motion Simulation Analysis

WANG Xiaoyu， WANG Yisu

（North China University of Water Resources and Electric Power， Zhengzhou" 450046， China）

Abstract： Based on the Kepler's third law of planetary motion， this paper studies the orbit trajectory of Starlink satellite， analyzes its orbit characteristics， establishes an orbit simulation model， uses the high-order Runge-Kutta method to solve the equation， and uses STK （Satellite Tool Kit） to analyze the coverage situation of Starlink satellite in southeast China and low-latitude areas of China. The simulation results show that the overall coverage capacity is steadily improved with the increase in the number of Starlink satellite launches. The coverage of the first 1 000 satellites is between 54°N and 54°S， and the coverage degree of low-latitude areas in China is lower than that of the mid-latitude areas. The coverage of 2 000 satellites has reached 100% between this range， and the coverage level of 3 000 satellites has increased significantly， and it has extended to the poles， but it has not been able to cover the polar regions.

Keywords： Starlink; orbit characteristic; coverage analysis; motion simulation

0" 引" 言

近20年來，低軌通信衛星數量爆發式增長，低地球軌道（LEO）衛星在年度發射航天器數量占比從57%迅速攀升至97%，年均部署數量提升了2個數量級，直至今日，LEO軌道衛星占比超過83%。衛星互聯網巨大的潛在應用效能已經引發政府、軍方、商業等多方力量的強烈關注和重視[1]。其中，美國SpaceX的Starlink計劃尤為突出：為世界各地的用戶提供高速寬帶互聯網服務，包括了位于不同近地軌道（LEO）和極低地球軌道（VLEO）星座的約12 000顆衛星[2]，共計約4.2萬顆通信衛星。

目前，隨著航天事業的發展，空間任務也在不斷增多，采用的新技術新方法也在不斷增加，但這些新技術新方法的正確性與可靠性無法驗證，并且目前已開展的研究項目大多數都基于常規的衛星和小衛星平臺，以微納衛星為平臺開展的仍屬于少數。目前，用Starlink衛星的數值仿真的方法，即建立微納衛星運動的數學模型，通過計算軟件進行微納衛星的軌道和姿態的參數模擬仿真。

本文分析了星鏈的研究意義和Starlink衛星的運動特性，基于開普勒第三定律等建立了Starlink衛星的運動模型，并利用衛星仿真工具包stk對星鏈組網進行輔助模擬計算，以驗證在誤差允許范圍內的模型精確性，并進行相關的覆蓋分析，為國內后續研究微納衛星相關的衛星導航、通信和廣播、科學研究以及探測任務等提供了有效的參考。

1" 星鏈（Starlink）系統簡介

Starlink計劃是SpaceX公司于2015年提出的一個全球互聯網項目，通過發射衛星構建網絡，以實現提供高速、可靠的互聯網連接的目的，該公司已經宣布星鏈互聯網服務已覆蓋美國、加拿大、英國、德國、新西蘭、澳大利亞等32個國家[3]，用戶數量超過了100萬[4]，國際市場進一步擴大，優勢愈發明顯。龐大的微納衛星數量以及廣泛的覆蓋，提供全球范圍內的高速互聯網接入，改善互聯網服務的覆蓋范圍和質量，同時推動太空經濟的發展。建立衛星網絡，推動了太空產業的發展，包括衛星制造、發射、運營和相關技術的創新。

由于SpaceX公司只發射了Starlink第一階段的1 584顆衛星于22個軌道上，故本文僅將已知衛星作為研究對象。其中，衛星以STARLINK-abcd格式命名，ab表示軌道面序號，cd表示某軌道面上的衛星序號[5]，以其中5個Starlink衛星為例，Starlink衛星參數如表1所示。

星鏈是由直徑約3米的平板組成，上面安裝著通信天線和推進系統，在最初星座層的550 km高度，它們將根據方向呈1°到4°的角度[6]。根據官方給出的Starlink衛星覆蓋角度，可在距視軸（天底）最遠44.85°的范圍提供服務，用戶終端與Starlink衛星連線與地面夾角可達到40°仰角[7]，如圖1所示。

2" Starlink衛星的模型構建與計算

2.1" 真近點角的計算

真近點角f表示軌道六根數之一，對于計算微納衛星的軌道位置具有極其重要的作用。本文中f表示時刻t衛星的真近點角，此時r表示衛星與地心間的距離，則根據開普勒第二定律有：

（1）

式（1）中，h表示積分常數，表示航天器單位時間內掃過的面積，a表示衛星軌道長半軸，e表示軌道偏心率，μ表示地心引力常數[8]。

此時衛星與地心間的距離r與真近點角f對應關系為：

（2）

式（1）（2）構成了Starlink衛星在其軌道平面上運動的仿真計算模型，本文選擇運用四階Runge-Kutta算法對該微分方程進行求解。

Runge-Kutta是一種可靠且高精度的數值積分方法，相對于低價，能夠提供更高的數值精度，且步長可定、結果穩定可靠。利用四階Runge-Kutta算法，對于該微分方程，建立方程組如下：

（3）

對于式（3）中f的求解公式如下：

（4）

式（4）中的k1，k2，k3，k4求解方程組如下：

（5）

式（5）中，h表示求解步長，Starlink衛星軌道仿真求解的精度可以直接通過仿真步長進行控制，簡單易行，便于實驗調試。本文取步長h為1，即表示1秒，并對5個不同編號的Starlink衛星的運行速度（角度/秒）進行計算，然后與stk的結果進行對比，對比結果如表2所示。

通過對比分析，并計算誤差率，可知在一定的誤差允許范圍內，本文的四階Runge-Kutta法具有可行性和可信性。對于存在的誤差，本文分析可能由于地球本身是非圓球體攝動、空氣阻力、地球磁場環境不同、重力因素影響等原因，造成一定的誤差結果。

2.2" Starlink衛星位置關系以及軌跡求解

如圖2所示，OXYZ表示地心慣性坐標系，S表示微納衛星t0時刻的瞬時位置，M表示春分點，N表示軌道升交點，Ω表示升交點赤經，u表示緯度幅角，i表示軌道傾角，作球面三角形SMN [9]。

根據球面三角形公式可得：

（5）

又根據平面三角形公式，可計算出Starlink衛星在OXYZ地心慣性坐標系中X的值：

（6）

用類似的方法，計算出y、z，進而有：

（7）

利用式（5）（6）（7），可計算出在地心慣性坐標系下Starlink衛星的坐標位置，將衛星模擬環境大大簡化，可更高效地對Starlink衛星進行分析。

Ωe表示地球自轉角速度，λ表示星下點軌跡的經度，δ表示星下點軌跡的緯度，詳細計算方法本文不再敘述，進一步可得Starlink衛星星下點軌跡的經緯度：

（8）

式（8）中，λ1表示Starlink衛星處于升軌狀態時的經度計算，λ2表示其處于降軌狀態時的經度計算。

如圖3所示，太陽角β表示地心—太陽方向向量與衛星軌道平面法線n的夾角，α表示衛星軌道平面中會日點與近地點的夾角，相關計算方法本文在此省略，可參考文獻[10]。

進一步可計算出地心—太陽方向向量與衛星—地球方向向量夾角的余弦：

（9）

如圖4所示，由于地球距離太陽遙遠并且Starlink衛星體積微小，故本文將太陽光近似看作平行光線，Starlink衛星近似看作質點，計算時不將Starlink衛星半徑考慮在內。此時，d0表示Starlink衛星進入地球陰影時太陽光方向向量與地球向量夾角的臨界值，Re表示地球半徑，則根據圖4幾何關系：

（10）

當衛星處于地球陰影部分時：

（10）

3" Starlink衛星覆蓋分析

本文根據SpaceX公布的衛星軌道根數，以在官方網站AGI于2023年11月6日導出的Starlink衛星.TLE文件，利用衛星工具包（stk）對Starlink衛星對地面的覆蓋分析。本文分別以1 000、2 000、3 000顆Starlink衛星作為研究對象，對仿真結果進行分析和比較。

從圖5、6、7全球覆蓋分析可以發現，1 000顆Starlink衛星的覆蓋范圍在北緯54°至南緯54°之間，2 000顆Starlink衛星大部分仍然處于北緯60°至南緯60°之間，但是有極少數的衛星已經逐漸開始向高緯度方向延伸覆蓋，3 000顆時，已經有小部分的Starlink衛星繼續逐漸向兩極地區覆蓋，可見Starlink衛星覆蓋密度逐漸提高，但是南北兩極一直無法覆蓋。

從圖8可以分析出不同數量的Starlink衛星對全球地面不同緯度內覆蓋時間比例。添加1 000顆Starlink衛星時，在北緯30°～55°和南緯30°～55°附近兩個區域覆蓋率基本可實現90%以上，但是低緯地區的覆蓋水平并不高，在北緯47°～53°和南緯北緯47°～53°之間可實現100%的覆蓋率；而當Starlink衛星數量增加到2 000 顆時，在北緯53°直至南緯53°之間覆蓋率有明顯的提升，已經達到了100%的覆蓋率，并且南北緯高緯度地區的覆蓋率也有一定的增加；當Starlink衛星數量增加到3 000 顆時，Starlink衛星向兩極方向的覆蓋逐漸增加，但是仍然無法覆蓋到兩極。

4" 結" 論

本文基于對Starlink衛星運動研究的需要，獲取Starlink衛星的基本參數，分析Starlink衛星的運動特性，基于開普勒第三定律建立Starlink衛星的運動仿真模型，對于求解關鍵參數真近點角f，本文使用了四階Runge-Kutta求解微分方程，使得計算機結果更精確，并與stk計算結果比較分析。

其次，本文使用stk，對全球進行了Starlink衛星覆蓋分析，尋找覆蓋規律，得出結論：Starlink衛星在中緯地區的覆蓋能力最強，分別向赤道即低緯地區以及兩極即高緯度地區呈遞減趨勢；當Starlink衛星數量逐漸增加后，衛星對全球的覆蓋情況整體上升，但是兩極地區一直難以覆蓋。

目前，SpaceX公司已經發射了5 300顆衛星，其中4 800顆在正常運行。Starlink衛星計劃的誕生以及衛星的發射，無疑為國家的地區安全帶來嚴峻挑戰，同時衛星幫助滿足實現各類任務需求，產生巨大的經濟和社會效益，又進一步加劇全球對低軌太空資源的爭奪，發展低軌衛星已經成為重點工程。

2021年中國啟動了“星網”項目，中國衛星網絡集團和中國衛通合作，聯手加入低軌資源爭奪戰，以更好地保護國家網絡安全。國家發改委已經將衛星互聯網建設納入國家“新基建”建設計劃，將加大對“虹云工程”“鴻雁星座”兩大衛星通信衛星系統的建設力度，加速布局天基互聯網系統，加快我國低軌衛星網絡和空天地一體化建設。

參考文獻：

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[9] 張雅聲，徐艷麗，楊慶.航天器軌道理論與應用 [M].北京：清華大學出版社，2020.

[10] 閔桂榮.衛星熱控制技術 [M].北京：宇航出版社，1991.

作者簡介：王小雨（2003—），女，漢族，河南平頂山人，本科在讀，研究方向：系統仿真。

收稿日期：2024-03-08