波浪耦合作用下浮式風機非線性系統的統計線性化方法及其在振動控制中的應用

摘要： 針對海上浮式風機既有分析方法難以高效率地預測其隨機動力響應這一問題，提出了一種基于統計線性化算法的波浪耦合作用下浮式風機非線性系統的隨機響應快速計算方法，并對其在浮式風機振動控制中的應用進行了研究。以Spar型海上浮式風機為對象，基于拉格朗日方程建立了其4?DOF的波浪耦合作用下的非線性模型，并驗證了所建模型的準確性。在所建立的非線性模型基礎上，提出了基于統計線性化算法的Spar型浮式風機隨機振動分析方法，并從多方面對該方法進行了驗證，結果表明該方法能將計算效率提升4，5個數量級，且具有足夠精度。將該方法應用于浮式風機振動控制中，高效率地實現受TMD控制下的風機的控制參數優化和性能分析，得到了TMD的最優控制參數，發現TMD對浮式風機的振動控制效果有隨海況等級的提高逐步降低的趨勢。所提出方法兼具高精度、高效率和在不同海況下的普適性，同時也為海上浮式風機的設計優化、疲勞分析、可靠性驗算等基于統計特性的研究提供了一種高效的分析方法。

關鍵詞： 隨機響應； 非線性耦合模型； 海上浮式風機； 統計線性化； 振動控制

中圖分類號： O324； TK83； TB535""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2024）07-1151-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.07.007

收稿日期： 2022-10-12； 修訂日期： 2022-11-27

基金項目："國家自然科學基金資助項目（52378313）。

引" 言

海上漂浮式風機是隨著海上風電的快速發展，為獲取深海更豐富、更持久的風能，同時規避陸上和近海風機對環境和視覺的影響而提出的一種風力發電裝置，由于受周邊環境影響小，適合大規模開發，已成為當今風能發展的重要方向［1］。海上浮式風機位處深遠海，根據不同海域條件有多種結構形式［2］，一般由浮式平臺、塔架、風機和系泊系統等部分構成，是一種復雜的多體系統。

浮式風機受荷復雜，在風、浪、流等激勵下具有復雜的動力特性，存在大幅度搖蕩和多因素形成的振動。這些振動不僅對風機部件壽命和整體安全性帶來影響，而且還會使風機的功率產生波動，導致電力輸出的不穩定［3］。因此，對浮式風機的動力特性進行深入研究并對其振動進行有效的抑制對于保證風機安全、經濟、可靠地運行和電力的穩定輸出具有極其重要的價值和意義，是目前浮式風機研究中的一個熱點。

在浮式風機振動控制的研究過程中，研究者根據其結構特點，所用風機模型有簡化的線性模型或復雜的非線性耦合模型［4?6］，其中非線性耦合模型由于考慮了部件之間的相互作用和幾何非線性效應，以及部件與載荷之間的耦合效應，因而能全面反映風機系統的復雜運動和力學特性［7?9］，對于浮式風機的精準計算和控制研究更具優勢和意義。不過，由于非線性耦合模型建模精細、復雜，實際應用中存在計算成本過高的問題，特別是浮式風機的動力時程分析，即使單一工況也需較長的計算時間。這在考慮風、浪等激勵的隨機性，進行風機振動控制策略以及最優控制參數分析時就會因計算量過大而難以得到應用，因此急需尋找一種針對浮式風機非線性耦合模型的高效、精準的計算方法。

本文即是在以上背景下展開研究的，提出了一種針對浮式風機非線性耦合模型的統計線性化方法［10］對風機響應計算進行高效處理，并對該方法在風機振動控制中的應用進行研究。事實上，作為一種經過多年發展的可用于復雜非線性系統隨機響應計算的高效率工具，統計線性化方法在海洋結構中已有所應用［11?12］，在浮式風機隨機動力響應預測上也有報道［13?14］。不過在這些研究中，系統的結構模型基本上采用的是簡化的線性模型，只是考慮了水動力和氣動力與結構耦合產生的非線性項，對于計入結構自身非線性的浮式風機統計線性化方法國內外還沒有較深入的研究。這種模型在激勵小，系統響應不大時是可行的，但當激勵較大，風機轉動和平動過大時，該計算方法就會存在不可忽略的誤差，具有局限性。

由于浮式風機所處環境復雜，在不同工況下有多種受荷模式，如靜力、純風、純浪以及風?浪聯合激勵等，考慮到本研究的復雜性，這里先僅對波浪耦合作用下的海上浮式風機非線性系統的統計線性化方法進行探討，并以目前研究較多的Spar型浮式風機為對象對該方法進行分析和驗證。需要說明的是，本文所提方法不僅僅只用于風機的振動控制，對其他需要進行大量數值模擬分析的問題，如風機的選址、結構設計優化、可靠性分析以及構件的疲勞分析等均不失為一種強有力的計算工具。

1 浮式風機的非線性耦合模型

以Spar型浮式風機作為本文的研究對象，以其4?DOF的耦合模型（如圖1所示）為例展開研究。四個自由度分別是平臺的縱蕩（Surge，）、垂蕩（Heave，）、縱搖（Pitch，）及塔架頂端的前后振動（Fore?aft vibration，）。圖1中和分別表示風機和平臺的重心；為未擾動狀態下平臺的干表面高度；其他變量在后續推導過程中描述。

該模型考慮塔架的彈性變形，并按一體化的建模方式考慮子結構間的非線性耦合。不失一般性，建模過程中做如下簡化：

（1）假設平臺為剛體，塔架為彈性懸臂梁，忽略塔架軸向變形，并僅考慮其一階振動；

（2）忽略塔架振動導致的頂部額外轉角；

（3）塔頂以上的風機部分簡化為集中質量集成于結構。

1.1 系統坐標系

如圖1所示，引入全局坐標系和局部坐標系兩個笛卡爾坐標系來描述Spar型浮式風機系統的運動。全局坐標系位于牛頓（廣義）參考系中，其原點位于風機靜止時平臺縱軸與靜水水面（橫軸）的交點，用于建立浮式風機系統的運動方程；局部坐標系隨平臺參考系運動，其初始原點與的原點重合，用于描述浮式風機的幾何特性和相對位移。

1.2 耦合模型建立

海上浮式風機漂浮于海面，缺乏與海底的剛性連接，相較于固定式風機在服役期間會產生更大的轉動和平動，使得各子結構的重心位置發生較大變化，幾何非線性明顯，屬于復雜的非線性耦合時變系統。采用拉格朗日方程對該模型進行推導，該方法基于變分原理通過結構動能和勢能的廣義微分表達式建立結構的控制方程，如下式所示：

（1）

式中" 和分別表示系統的廣義動能和廣義勢能；表示在第自由度上施加的激勵。

1.2.1 結構位置描述

全局坐標系下圖1所示平臺和風機重心以及塔架的位置矢量分別如下：

（2）

（3）

（4）

式中" ，分別為平臺重心和風機重心位置矢量；為彈性塔架高度處的位置矢量；為平臺平動矢量，如下式所示：

（5）

為坐標轉換矩陣：

（6）

，和分別表示平臺重心、風機重心以及塔架高度處在局部坐標系的位置矢量，表達式分別為：

（7）

（8）

（9）

式中" 和分別對應未擾動狀態下平臺重心和風機重心與靜止水平面的高差； 為歸一化的塔架一階振型形狀函數［9］。

1.2.2 系統能量

基于所獲取的結構廣義運動表達式便可進一步確定各子系統的廣義能量，計算過程中所需速度矢量可由位置矢量對時間求導得到，即：

（10）

平臺的轉動角速度則為：

（11）

系統的廣義動能T由平臺、塔架和風機的動能之和組成，其中平臺動能包括平動和轉動動能，表達式為：

（12）

廣義勢能V則由系統的重力勢能和塔架的彈性勢能構成，具體為：

（13）

式中" mp和Jp分別表示平臺的質量和轉動慣量；和分別表示塔架和風機重心的全局速度矢量；Nt，Δh和hn分別表示塔架的總單元數量、單元長度和第n段單元的重心高度；和分別表示第n段分布式塔架單元的均布質量和其重心的全局位置矢量；mwt為風機質量；g為重力加速度；表示全局坐標系的z軸，表示全局坐標系下的坐標矢量在z軸方向上的投影；為第n段分布式塔架單元的抗側剛度。

將式（12）和（13）代入式（1）可得到4?DOF的Spar型海上浮式風機非線性耦合模型，經整理如下：

（14）

式中" 表示系統各自由度方向上的位移列向量；和為系統阻尼矩陣和剛度矩陣；為系統所受外激勵；，和分別為系統的質量矩陣、重力向量和非線性附加力向量，由拉格朗日方程導出，表達式如下：

（15）

（16）

（17）

式中" 為結構特征參數，表達式如下：

（18）

1.3 系統激勵

浮式風機系統的外激勵比較復雜，主要有靜水力、系泊力、水動力和氣動力等，本文先只探討水動力下的耦合作用，此時系統激勵為：

（19）

式中" 為由浮力產生的靜水力；為系泊系統產生的系泊力；為水動力。因后續研究需要，這里對水動力進行稍詳細的介紹，靜水力與系泊力則通過初始力和附加線性剛度的方式進行處理［15］。

根據線性勢流理論和Morison方程［16］，浮式風機的水動力可表示為：

（20）

式中" β為入射波相對于風機朝向的方位角；為Morison方程的附加阻尼矩陣；為水動力的附加質量矩陣；是由多個不同頻率的非規則海浪力疊加而成的隨機激勵，基于Airy波理論可以通過隨機過程表達如下［17?18］：

（21）

式中" 下標表示該參數對應于非規則海浪的第分量；為海浪分量的數量，其中和分別為海浪分量截止頻率和頻率間隔；表示海浪的第分量頻率；為均勻隨機分布于［0，2π］的隨機相位角；為歸一化表示的海浪力，它與海浪的頻率ω、入射角β和平臺的形狀相關；為單側Pierson?Moskowitz（P?M）譜［17］，其表達式為：

（22）

式中" Hs為海浪的有效波高；p=Tp/（2π）和Tp分別對應于海浪峰值頻率和周期。

另外，式（20）中為Morison方程表示的黏滯水動力，由于平臺表面流體顆粒速度沿深度方向非線性分布，可將作用于平臺濕表面的耦合黏滯水動力沿深度方向離散為Nz段進行計算后求和，即：

（23）

式中" CD為Morison方程中的歸一化黏阻系數；

Nz=Lsp/z為非線性水動力的分段單元總數，Lsp和z分別為平臺的濕表面長度和離散單元的分段長度；D（zm）表示位于zm深度處的平臺截面直徑；v（zm，t）表示深度zm處的水粒子與平臺表面的相對

速度，其表達式為：

（24）

式中" vwave（zm，t）為深度zm處的水粒子速度，使用譜表現法對其進行模擬［17?18］：

（25）

式中" 表示對應于頻率的海浪分量的波速幅值：

（26）

式中" dsb為海床深度；為波數，通過隱式頻散關系進行確定［15］。

結合式（19）和（20），并將與系統運動相關的線性激勵分別轉換為線性質量、阻尼和剛度矩陣代入，則式（14）可轉化為以下形式：

（27）

式中" 為靜水等效剛度矩陣，考慮了在結構運動過程中排水量變化導致的浮力變化以及結構運動導致的浮心變化；為線性系泊等效剛度矩陣，可由中心差分擾動的數值方法獲得；和為無擾動情況下浮式風機所受的浮力和系泊力。

基于以上建立的浮式風機非線性運動方程，可以使用數值算法在時域中對其進行求解。另外，結構的隨機響應也可以通過Monte Carlo模擬低效率地求得（相對于本文算法）。

2 浮式風機非線性系統的統計線性化方法

為提高計算效率、減少計算成本，本節將使用統計線性化方法對浮式風機非線性耦合模型進行處理，然后基于譜密度轉化法和維納?辛欽公式建立系統的頻域運動方程，最后迭代求解獲取該系統的統計響應特性。

2.1 統計線性化過程

假定系統響應分布符合零均值高斯分布，通過統計線性化處理可將浮式風機非線性耦合模型轉化為如下的等效線性運動方程：

（28）

式中" ，，，分別為轉化后的等效質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和外激勵矩陣，其中：

（29）

（30）

（31）

式中" ，，和分別是由非線性附加力轉化而來的等效質量、等效阻尼、等效剛度矩陣和由非線性水動力轉化來的等效阻尼矩陣，可通過統計線性化方法得到［10］，即：

（32）

（33）

（34）

（35）

式中" 表示數學期望；和分別表示和的雅可比矩陣。

式（27）中的恒定力，，三力近乎平衡，在頻域計算中可忽略其對系統響應的影響，結合式（32）～（35）中對非線性附加力的線性化，等效線性系統所受外力為：

（36）

由于浮式風機運動方程中包含多個自由度之間非線性耦合的多項式，在應用統計線性化方法的過程中涉及到這些多項式的期望求解，為解決該問題，假定所考慮的四個自由度符合聯合高斯分布，引入多維概率密度函數的廣義表達式如下：

（37）

式中" 表示的維數；為中各項的協方差矩陣；為中的對應元素。

將由拉格朗日方程獲得的非線性附加力（式（17））與式（32）～（34）相結合，并通過上述多維聯合概率密度函數求得耦合非線性項的期望函數，進一步地得到非線性附加力轉化而來的等效線性矩陣如下：

（38）

（39）

（40）

式中" 為響應的標準差，其下標表示對應的自由度；表示兩自由度與響應之間的相關系數。

將式（23）代入式（35），可獲得非線性水動力的等效阻尼矩陣：

（41）

結合式（24），流固相對速度絕對值的期望為：

（42）

式中" 為波速標準差，結合式（26）可表示為：

（43）

將獲取的等效線性項（式（38）～（41））代入式（28），可以得到浮式風機的等效線性運動方程。由于等效線性方程中存在未知的響應二階矩，可通過響應譜密度轉化法［18］建立關于響應二階矩的隱式方程。

2.2 譜密度轉化法

為表現等效線性參數與統計響應特性之間的隱式關系，引入譜密度轉化法建立非線性浮式風機系統的等效頻域動力平衡關系。

對式（28）進行傅里葉變換可以得到對應頻域的運動方程：

（44）

在此基礎上可以得到系統的復頻響函數，建立系統所受激勵與響應之間的關系：

""" （45）

進一步，系統的平穩響應譜密度可以通過維納?辛欽公式獲取，如下式：

（46）

式中" 表示共軛轉置；和分別表示響應譜密度矩陣和激勵譜密度矩陣；為由波浪力的歸一化系數組成的調制矩陣。

基于響應譜密度，系統隨機響應的協方差表示為：

（47）

式中" 和的上、下標分別表示相應的響應對時間求導的階數和對應的自由度；為中的元素。

聯立式（44）～（47）便可獲得結構的統計響應特性，為此本文采取迭代法對方程組進行求解。

2.3 迭代求解

基于統計線性化的系統隨機動力響應迭代求解過程如圖2所示，通常需要5～10次迭代完成收斂，耗時約0.01 s；圖中q為迭代變量的協方差；q0為協方差初值。

2.4 算例驗證

以文獻［15］中美國國家可再生能源實驗室（NERL）給出的OC3?Hywind Spar型浮式風機為例對所提方法進行驗證。該平臺搭載5 MW基準風力發電機，具體參數見文獻［15，19］。

算例選用的海況及對應的特征值［20］如表1所示，海浪的模擬將基于單側P?M浪高譜進行。為覆蓋平臺的超低頻振動（lt;0.2 rad/s）和捕捉塔架的高頻振動，海浪樣本的時間長度和時間間隔選為2000 s和0.1 s。考慮到海浪的能量分布特性，模擬用起始頻率，截止頻率，頻率間隔。

將所提方法（Proposed Method， PM）的計算結果與Monte Carlo模擬（MCS）結果進行對比，并以目前得到廣泛應用的FAST仿真結果為基準，驗證本文所提方法的準確性和高效性，部分結果如圖3所示。

可以看出，在浮式風機隨機響應計算方面，所提方法與Monte Carlo模擬吻合良好，證明了將統計線性化方法用于浮式風機非線性耦合系統隨機響應分析中的可行性。同時，從圖3中可以看到，除塔架頂部振動的預測與FAST仿真有少許的誤差外（因其頂部風機結構的簡化引起），其他自由度方向的結果與FAST基本一致，表明了本文所建4?DOF的Spar型浮式風機非線性耦合模型的準確性。

計算用時方面，算例中每個海況模擬1000條海浪樣本進行計算，FAST耗時約30000 s，Monte Carlo模擬耗時約4000 s，本文所提方法無需進行繁瑣的樣本計算，耗時僅0.038～0.144 s，計算效率提升了4，5個數量級，顯示了該方法較高的計算效率，達到本文的研究目標。

3 振動控制中的應用

以浮式風機的振動控制為例展示本文方法的優越性和便捷性，結構振動控制參數較多，特別是控制參數的取值對減振性能的影響分析往往需要大量的計算。算例所用控制裝置為傳統的調諧質量阻尼器（TMD），對象仍是上節的OC3?Hywind Spar型浮式風機。

3.1 控制裝置

對TMD在浮式風機中的安裝位置研究較多的是平臺和機艙兩個地方，分別用于對平臺結構和塔架的振動控制。由于浮式風機平臺結構的超低頻特性，置于平臺的TMD裝置難以達到理想的控制效果。而頻率相對較高的塔架更容易被波浪激發，進而導致塔基的疲勞效應以及上部風機裝置的加速損耗，影響風機的安全運營，因此對其振動進行控制更具意義，本算例將對這一方式進行探討。

置于機艙內部的TMD工作示意圖如圖4所示，定義TMD質量塊的滑動方向為自由度，原點位于質量塊靜止時的質心。以TMD質量、剛度和阻尼描述TMD的特性，基于廣義坐標描述TMD的運動，并使用拉格朗日方程獲得TMD的動力平衡方程，將其與風機系統的運動方程聯立可得到受控浮式風機的運動方程，具體過程可參考文獻［21］。

3.2 參數影響分析

TMD的參數，如質量、剛度和阻尼對主體結構的減振性能影響很大。一般TMD的質量越大，減振效果就越好，不過鑒于機艙對附加質量的敏感性，本算例取TMD質量為（質量比約為3%）。對于TMD的剛度，研究表明當TMD的頻率調諧至結構某個振型頻率附近時其對該振型反應的控制效果最佳，但與一般工程結構不同，浮式風機屬于多體系統，各子結構間相互耦合，頻率組成復雜，TMD自身頻率和阻尼對減振性能的影響要復雜得多，特別是考慮非線性耦合的浮式風機模型，由于計算量巨大而鮮有報道，而本文所提方法的高計算效率使得該研究成為可能。

圖5為使用本文方法計算得到的本算例TMD剛度和阻尼與塔架在不同海況下的控制效果關系圖。計算中TMD的剛度依據塔架自振頻率（約3.278 rad/s）在范圍內變化，阻尼的變化范圍取，海況則選用了中、低級別的1～4級。圖5中的半透明平面為對應海況下無控時的結構響應，從中可以清晰地看出塔頂加速度標準差隨TMD剛度和阻尼的變化趨勢，并且可以明顯地看到控制系統所處的最優控制參數區域，也有參數選擇不當導致的響應放大區域。經進一步細化計算，得到的各海況下本算例的最優控制參數及減振情況如表2所示。從表2中可以看到，TMD對浮式風機的振動控制效果有隨海況等級的提高逐步降低的趨勢，不過對高海況等級依舊有不錯的控制效果（減震效果gt;20%）。

圖6給出了浮式風機在1級海況和4級海況下最優TMD控制（Best?TMD）與無控（Non?TMD）時的塔頂加速度響應時程對比。另外，圖7給出了其響應譜密度函數（PSD），以從頻率域了解基于本文方法得到的風機振動控制情況，同時給出了蒙特卡羅模擬對比結果。可以看到，本文所提方法（PM）得到的PSD與MCS結果高度一致，證實了該方法運用于TMD控制參數分析的有效性與精確性。從圖7中還可以看出，低級海況（海況1）時，浮式風機激勵不大，響應的能量集中于塔架自振頻段（約3.278 rad/s），在最優參數TMD控制下，浮式風機的響應譜密度函數峰值大幅減小，且由單峰變為了雙峰（見圖7（a）），取得了非常好的控制效果（達60%）；而如圖7（b）所示的中級海況（海況4）下，隨著海浪波高的增加，對風機的激勵增強，浮式風機的非線性程度增大，塔架響應能量分布逐漸呈現出多峰、寬頻帶的特點，雖然對應的TMD最優參數有一定改變，但減振效果相較于低級海況明顯減弱，見表2和圖6所示。

值得一提的是本文方法超高的計算效率，在本算例中，表2所示的參數優化過程包含200個連續的剛度參數和200個連續的阻尼參數對應的響應計算，加上后續的二次細化，共計4萬多個工況，計算耗時僅314 s，平均單個工況所需時間不到0.01 s。

4 結" 論

基于統計線性化過程提出了一種用于波浪耦合作用下海上浮式風機非線性系統的隨機振動分析方法，并運用此方法高效率地實現了受TMD控制下的海上浮式風機控制參數分析與優化，主要結論如下：

（1）建立了4?DOF的Spar型海上浮式風機波浪耦合作用下的非線性模型，通過與FAST仿真結果對比驗證了所建模型的準確性。

（2）提出了一種基于統計線性化算法的波浪耦合作用下浮式風機非線性系統的隨機響應快速計算方法，并通過與耦合模型和FAST的計算結果對比，對該方法進行了驗證，結果表明該方法將計算效率提升了4，5個數量級。

（3）對該方法在浮式風機的振動控制進行了應用研究，結果表明該方法能高效率地實現受TMD控制下的風機控制參數優化和性能分析，得到了TMD的最優控制參數。

（4）TMD對本文Spar型浮式風機的振動控制效果有隨海況等級的提高逐步降低的趨勢。

（5）所提方法可以快速獲取海上浮式風機的隨機動力特性，具有較為廣闊的應用前景。

當然，由于浮式風機模型的復雜性，該方法作為一種嘗試，文中僅探討了波浪激勵這一工況，且模型中未考慮槳葉旋轉、槳距控制等方面，還有待進一步的研究。

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Statistical linearization method for nonlinear system of FOWT under coupled wave excitation and its application in vibration control

LI Shu-jin， LI Yi-fei， HAN Ren-jie

（School of Civil Engineering and Architecture， Wuhan University of Technology， Wuhan 430070， China）

Abstract： Aiming at the problem that the existing analysis methods for the floating offshore wind turbine （FOWT） cannot efficiently predict the random dynamic response when considering the nonlinear coupling model， a fast calculation method of the random response of the FOWT nonlinear system under coupled wave excitation based on the statistical linearization algorithm is proposed， and its application in the vibration control of FOWT is studied. Taking the Spar FOWT as the object， a nonlinear model under the wave coupling excitation of 4-DOF is established based on the Lagrange equation， and the accuracy of the model is verified. On the basis of the established nonlinear model， a random vibration analysis method for this Spar FOWT based on statistical linearization algorithm is proposed， and the method is verified in many aspects. The results show that the method can improve the calculation efficiency by 4～5 orders of magnitude and has sufficient accuracy. The method is applied to the vibration control of the FOWT. The optimization of the control parameters and performance analysis of the FOWT under the control of TMD are efficiently realized， and the optimal control parameters of TMD are obtained. It is found that the vibration control effect of TMD on the FOWT tends to decrease gradually with an increase of the sea state level. In general， the proposed method has high accuracy， high efficiency and generality in different sea conditions， and also provides an efficient analysis method for the design optimization， fatigue analysis， reliability analysis and other research based on statistical characteristics of FOWT.

Key words： random response；nonlinear coupling model；floating offshore wind turbine（FOWT）；statistical linearization；vibration control

作者簡介： 李書進（1967—），男，博士，教授，博士生導師。E-mail：sjli@whut.edu.cn。