三角形周長最小值問題解答策略探究

［摘 要］三角形周長的最小值問題常作為壓軸題出現在數學試卷中，具有一定的區分度。文章結合例題，從三個方面探究三角形周長最小值問題的解答策略，以幫助學生突破解題難點，提升學生的思維能力和解題能力。

［關鍵詞］三角形；周長；最小值；解答策略

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）23-0025-03

線段和的最小值問題是中考數學命題的熱點，三角形周長的最小值問題更是常見的題型，其中幾何類綜合題及函數與幾何結合的綜合題，常作為壓軸題出現在數學試卷中，具有一定的區分度。但是，學生只要熟練掌握相應的解題思路與方法，破解此類問題不是難事。本文闡述三種三角形周長最小值問題的解答策略。

一、三角形的三個頂點中，有兩個點是固定點，第三個點是在定直線上的動點

［模型1］如圖1，已知點[A]、[B]是直線[l]同側的兩點，點[P]在直線[l]上，問點[P]在何處時，才能使[△APB]的周長最小？

策略：如圖2，以直線[l]為對稱軸作點[A]的對稱點[A′]，連接[A′B]，交直線[l]于點[P]，則點[P]為滿足條件的點，連接[AB]、[AP]，此時[△APB]的周長最小。證明：因為[AB]的長度一定，要使[△APB]周長最小，只需[AP+PB]最小即可，如圖2，在直線[l]上任取另一點[Q]，連接[AQ]、[QB]、[A′Q]。∵點[A]與[A′]關于直線[l]成軸對稱，點[P]、[Q]在直線[l]上，∴[PA=PA′]，[AQ=A′Q]。在[△A′BQ]中，由三角形的三邊關系得[A′Q+QBgt;A′B]，∴[AQ+QBgt;A′B]，即[AQ+QBgt;A′P+BP]，∴[AQ+QBgt;AP+BP]，∴[PA+PB]最小，∴[△APB]的周長最小。

［例1］如圖3，已知在平行四邊形[ABCD]中，點[E]是[AD]邊上一點，連接[BE]、[CE]，[BE=CE]，[BE⊥CE]，點[F]是[EC]上一動點，連接[BF]。

（1）如圖4，當[BF⊥AB]時，連接[DF]，延長[BE]、[CD]交于點[K]，求證：[EF=EK]。

（2）如圖5，以[BF]為直角邊作等腰Rt[△FBG]，[∠FBG=90°]，連接[GE]，若[DE=2]，[CD=5]，當點[F]在運動過程中，求[△BEG]周長的最小值。

分析：（1）證明[△CEK ]≌[△BEF]即可得出[EF=EK]；（2）作[BK⊥BE]，[GK⊥BK]于點[K]，延長[KG]交射線[CE]于點[P]，先證明點[F]在[CE]上運動時，點[G]在[PK]上運動，再延長[EP]到點[Q]，使[PQ=PE]，連接[BQ]交[PK]于點[G]，此時[△BEG]的周長最小，求出此時[GE+GB+BE]的值即可。

解：（1）∵四邊形[ABCD]是平行四邊形，∴[AB]∥[CD]，[AD]∥[BC]，∴[∠K=∠ABE]，∵[BF⊥AB]，∴[∠ABF=90°]，∴[∠ABE=90°-∠EBF=∠BFE]，∴[∠K=∠BFE]，∵[BE=CE]，∴[△CEK" ]≌[△BEF]（AAS），∴[EK=EF]。（2）如圖6，作[BK⊥BE]，[GK⊥BK]于點[K]，延長[KG]交射線[CE]于點[P]，則[∠EBK=] [∠FBG=90°]，∴∠KBG =∠EBF = [90°-∠GBE ]，∵[∠K=∠BEF=90°]，[BG=BF]，∴[△BKG ]≌[△BEF]（AAS），∴[BK=BE]，∵[∠EBK=∠K=∠BEP=90°]，∴四邊形[BEPK]是正方形，∴[PE=BE=CE]，∴當點[F]在[CE]上運動時，點[G]在[PK]上運動。∵[BE]為定值，當[BG+GE]最小時，[△BEG]的周長最小，如圖6，作點[E]關于直線[PK]的對稱點[Q]，連接[BQ]交[PK]于點[G′]，則點[G′]就是所求作的點，此時[G′E+G′B+BE]最小，即[△BEG′]的周長最小，最小值為[BQ+BE]的值，作[DH⊥CE]于點[H]，則[∠DHE=∠DHC=90°]，∵[∠ECB=∠EBC=45°]，∴[∠HED=∠ECB=45°]，∴[∠HDE=45°=∠HED]，∴[DH=EH]，∴[DH2+EH2=2DH2=DE2=（2）2=2]，∴[DH=EH=1]，∴[CH=CD2-DH2=（5）2-12=2]，∴[BE=CE=EH+CH=1+2=3]，∴[EQ=2PE=2BE=6]，∵[∠BEQ=90°]，∴[BQ=BE2+EQ2=32+62=35]，∴[G′E+G′B+BE=35+3]，∴△[BEG]周長的最小值為[35+3]。

評注：本題的難點在于確定動點[G]的運動路徑。本題通過證明四邊形[BEPK]是正方形，確定了點[G]的運動路徑為直線[PK]，實際上根據“瓜豆原理”也可以看出來，因為主動點[F]在線段[EC]上運動，而[△FBG]始終是等腰直角三角形，所以從動點[G]也必在一條直線上運動。找到動點[G]在直線上運動后，求[△BEG]周長的最小值問題，就轉化為“將軍飲馬”問題，作對稱點，連接對稱點與另一固定點。

二、三角形的三個頂點中，只有一個是固定點，另外兩個分別是定直線上的動點

［模型2］如圖7，已知[∠AOB]，[P]是[∠AOB]內部的一個定點，點[E]、[F]分別是[OA]、[OB]上的動點，要使得[△PEF]的周長最小，試在圖上確定點[E]、[F]的位置。

策略：如圖8，作點[P]關于[OA]的對稱點[C]，作點[P]關于[OB]的對稱點[D]，連接[CD]，交[OA]于[E]，[OB]于[F]。連接[PE]、[PF]，此時[△PEF]的周長最小。實際上，模型2與模型1的作圖思路基本一致，都是通過作對稱點，將三角形的三條線段轉化到一條直線上，根據“兩點之間，線段最短”可得此時[△PEF]的周長是最小的，所以在解答此類題目時，考慮線段和的轉化是首先要做的工作。

［例2］如圖9，直線[y=-x+5]與[x]軸交于點[B]，與[y]軸交于點[C]，拋物線[y=-x2+bx+c]與直線[y=-x+5]交于[B]、[C]兩點，已知點[D]的坐標為（0，3）。（1）求拋物線的解析式；（2）點[M]、[N]分別是直線[BC]和[x]軸上的動點，則當[△DMN]的周長最小時，求點[M]、[N]的坐標，并寫出[△DMN]周長的最小值。

分析：（1）求出點[B]、[C]的坐標、將點[B]、[C]的坐標代入拋物線的解析式，即可求解；（2）過點[D]分別作[x]軸和直線[BC]的對稱點[D′]（0，-3）、[D″]，連接[D′D″]交[x]軸、直線[BC]于點[N]、[M]，此時[△DMN]的周長最小，即可求解。

解：（1）拋物線的解析式為：[y=-x2+4x+5]，過程略。

（2）如圖10，過點[D]分別作[x]軸和直線[BC]的對稱點[D′]（0，-3）、[D″]，在二次函數[y=-x2+4x+5]中，令[y=0]，則[-x2+4x+5=0]，解得[x=-1]或5，故點[A（-1，0）]，∵[OB=OC=5]，∴[∠OCB=45°]，∵點[C（0，5）]，點[D（0，3）]，由軸對稱得[∠OCB=∠BCD″=45°]，[CD=CD″=5-3=2]，則[CD″⊥y]軸，則點[D″]的坐標為[（2，5）]，連接[D′D″]交[x]軸、直線[BC]于點[N]、[M]，此時[△DMN]的周長最小，將點[D′]（0，-3），[D″]（2，5）代入一次函數的方程[y=mx+n]，得[n=-3，2m+n=5，]解得[m=4]，[n=-3]，∴直線[D′D″]的方程為[y=4x-3]，當[y=0]時，[x=34]，∴點[N]的坐標為[34，0]，聯立直線[BC]、直線[D′D″]的方程，得[y=-x+5，y=4x-3，]解方程組得[x=85]，[y=175]，∴點[M]的坐標為[85，175]，此時[△DMN]周長的最小值[=DM+DN+MN=D′D″=4+64=217]。

評注：本題以二次函數為背景探究在平面直角坐標內求三角形周長最小值的問題，確定兩動點的位置的思路與模型2相同，即作定點關于兩條定直線的對稱點，然后連接兩對稱點，所得直線與兩條定直線的交點就是動點的位置。在平面直角坐標內求交點的坐標，需要分別求得兩函數的解析式，然后聯立兩函數的解析式組成方程組，解方程組可得交點坐標。

三、三角形三個頂點中有兩個點是固定點，另一個是滿足特定等式的動點

［模型3］如圖11，在[△ABC]中，點[P]是平面內一點，且滿足[PB=PC+m]（[m]是不小于0的常數），求作點[P]，使[△PAB]的周長值最小。

策略：如圖11，當點[P]滿足[PB=PC+m]（[m]是不小于0的常數）時，[△PAB]的周長[=PA+PB+AB=PA+PC+m+AB=PA+PC+（m+AB）]，因為（[m+AB]）為常數，只需讓（[PA+PC]）取最小值即可，在[△PAC]中，由三角形的三邊關系得[PA+PC≥AC]，即[PA+PC]的最小值為[AC]，所以[△PAB]的周長的最小值[=AC+m+AB]。

［例3］如圖12，在平面直角坐標系中，拋物線[y=-12x2+bx+c]與[x]軸交于[A（4，0）]，[B（-1，0）]兩點，與[y]軸交于點[D]，直線[AC]：[y=2x-8]交[y]軸于點[C]。點[E]為直線[AD]上方拋物線上一動點，過點[E]作[x]軸的垂線，垂足為[G]，[EG]分別交直線[AC]、[AD]于點[F]、[H]。（1）求拋物線的解析式；（2）[Q]是[y]軸上一點，當四邊形[AFQH]是矩形時，寫出點[Q]的坐標；（3）在（2）的條件下，第四象限有一動點[P]，滿足[PQ=PC+3]，請直接寫出[△PQA]周長的最小值。

分析：（1）利用待定系數法求解即可；（2）根據三角函數設[AH=n]，[AF=2n]，則[FQ=AH=DH=n]，[CF=QH=2n]，由[CD=10]列方程可得[n]的值，從而得點[Q]的坐標；（3）因為[△PQA]的周長[=PQ+AP+AQ=AP+PC+8]，所以要使得[△PQA]的周長最小，只要[PC+AP]的值最小，因為[PC+AP≥AC]，所以當點[P]在[AC]上時，[PC+AP]的值最小。

解：（1）拋物線的解析式為[y=-12x2+32x+2]，過程略；（2）如圖13，∵四邊形[AFQH]是矩形，∴[∠CFQ=∠QHD=∠FAH=90°]，[AD]∥[FQ]∵[FH]∥[CD]，[QH]∥[AC]，∴[∠ACD=∠AFH=∠DQH]，四邊形[DHFQ]是平行四邊形，∴[DH=FQ]，∵[A（4，0）]，[C]（0，-8），∴[OA=4]，[OC=8]，∴[tan∠ACO=tan∠DQH=tan∠AFH=OAOC=FQCF=AHAF=DHQH=12]，設[AH=n]，[AF=2n]，則[FQ=AH=DH=n]，[CF=QH=2n]，∴[CQ=DQ=5n]，∵[CD=2+8=10]，∴[25n=10]，∴[n=5]，∴[DQ=5]，∴[OQ=5-2=3]，∴[Q]（0，-3）；（3）如圖14，∵[AQ=32+42=5]，且[PQ=PC+3]，∴[△PQA]的周長[=PQ+AQ+AP=PC+3+5+AP=8+PC+AP]，要使得[△PQA]的周長最小，只要[PC+AP]的值最小，∵[PC+AP≥AC]，∴當點[P]在[AC]上時，[PC+AP=AC]的值最小，∵[AC=42+82=45]，∴[△PQA]的周長的最小值為[45+8]。

評注：在[△PQA]中有兩個定點[A]、[Q]和一個動點，但動點[P]滿足一定的條件，即[PQ=PC+3]，這樣求[△PQA]的周長時就可以轉化為求[8+PC+AP]，而[PC+AP]的最小值可以利用“兩點之間，線段最短”來求得，即為[AC]的長，這是求三角形周長最小值比較特殊的一類情形。

本文介紹了三種求三角形周長最小值的問題，分別對應有一個動點、兩個動點、一個有條件的動點，前兩種類型利用軸對稱進行轉換，最后一種類型利用代數式及三角形的三邊關系進行轉換。不難發現，針對不同類型的問題要采取不同的解答策略，這樣才能有效解題。

（責任編輯 黃春香）