一維準周期鑲嵌模型的擴展態

摘" 要：最近的理論研究發現，一維準周期鑲嵌模型存在遷移率邊。在該文中，研究該模型的量子輸運，尤其是擴展態的兩端口電導，模型的輸運相圖、平均值和統計分布。擴展態的電導并不恒為1，而是有干涉共振條紋，用波函數的行為解釋這些干涉條紋。該模型的擴展態能在極強的準周期勢能下存活，通過電導的統計分布，以及與波函數分形維度的比較，解釋其中的物理圖像。

關鍵詞：準周期鑲嵌模型;擴展態;電導;介觀輸運;量子輸運

中圖分類號：O413" " " 文獻標志碼：A" " " " " 文章編號：2095-2945（2024）26-0032-06

Abstract： Recent theoretical studies have found that there is a mobility edge in the one-dimensional quasi-periodic mosaic model. This paper studies the quantum transport of the model， especially the two-port conductance of the extended state， its transport phase diagram， average value and statistical distribution. The conductance of the extended state is not always 1， but there are interference resonance fringes. We explain these interference fringes by the behavior of wave function. The extended state of the model can survive under extremely strong quasi-periodic potential energy. Explain the physical images through the statistical distribution of conductance and the comparison with the fractal dimension of wave function.

Keywords： quasiperiodic mosaic model; extended state; conductance; mesoscopic transport; quantum transport

量子輸運是量子相干效應明顯時發生的輸運現象，其可以發生于低溫的普通晶體材料中，也可以發生于光子晶體等現代量子材料中。量子輸運是微觀粒子（如電子）的波函數經歷晶格和雜質相干散射的結果，因此晶體的細節，例如周期性或非周期性都會對量子輸運產生很大的影響。根據標準的固體能帶理論，周期晶格中的波函數都是擴展的布洛赫波，有良好的導電性。然而，無序會破壞晶格的周期性，同時影響波函數的擴展性。這個影響與系統的空間維度密切相關[1-2]。在三維晶格中，弱無序不會改變波函數的擴展性，但強無序會導致金屬-絕緣體相變（或叫“擴展態-局域態轉變”），能量軸上的相變點稱為遷移率邊。不過，在一維或二維晶格中，任何有限的無序都會使波函數局域化，從而導致全部狀態都處于絕緣相[1-2]。這些都是凝聚態物理中熟知的結論。

準周期結構微妙地介于無序和周期之間，是傳統固體電子理論較少研究的對象，其對量子態的影響是現代凝聚態物理感興趣的話題。近期最著名的準周期結構出現在轉角石墨烯中，兩層石墨烯之間存在一個非公度角度的時候，晶格形成準周期結構[3-4]。這個二維準周期結構會在狄拉克點附近形成平帶，從而有助于超導、強關聯等豐富物理現象的發生。

在一維系統中，準周期對波函數的作用也是近期的一個研究熱點[5]。在著名的Aubry-André-Harper模型（簡稱AAH模型）中，人們在一維緊束縛模型上施加了一個周期勢，但其周期與晶格的周期不公度，從而構成準周期勢。理論研究發現，如果準周期勢足夠弱的話，即便在一維也能出現擴展態[6]。當準周期勢能大于臨界值后，本征態會被局域化。但這個模型中的擴展態-局域態轉變對能量軸上的所有本征態是同時發生的，因此沒有遷移率邊。

最近，Wang等[7]對AAH模型進行了改進，設計了一個被稱為鑲嵌模型的一維結構，即周期性（周期大于1）地讓格點的勢能為零。這個看似簡單的改變就能讓系統出現遷移率邊：能帶中心為擴展態，能帶邊緣為局域態。

在本論文中，對這個鑲嵌模型的量子輸運進行了更細致的理論研究，尤其是其中擴展態（即金屬態）的行為。計算了該模型不同參數下的分形維度和兩端口電導，并詳細討論了其統計漲落和尺寸標度效應。研究發現擴展態確實對應著非零的電導，但電導的行為有很多有趣的細節，例如干涉共振起伏與波函數的關系。在能帶中心，該模型的擴展態可以在非常大的勢能強度下存活，但這個過程中，其能帶結構和電導的統計性質會有對應的改變。我們分析和解釋了擴展態的特征。

1" 模型和方法

許多原來只出現在理論研究中的一維晶格模型，目前已經能夠通過冷原子、光晶格等現代實驗方法實現。其中的周期、無序或準周期結構也能夠通過越來越成熟的技術進行設計和調控。在本文中，考慮一維晶格中的準周期鑲嵌模型，其緊束縛哈密頓量可以描述為[7]

H=t（cc+H.c.）+2λjnj ， （1）

式中：c（cj）是費米子在第j個格點處的產生（湮滅）算符;nj是該處的粒子數算符（或勢能算符）。t是最近相鄰格點的跳躍系數，把其設為1作為能量單位。同時把晶格常數（最近鄰格點間的距離）設為1作為長度單位。λj是第j個格點上的準周期鑲嵌勢能，由下面的式子給出

λj=λcos[2π（ωj+θ）]，j=mκ

0，其他， （2）

式中：λ是勢能的強度，θ是勢能的空間初相位。參數ω決定了勢能的周期，如果其是無理數就能保證勢能周期與晶格周期非公度，形成研究的準周期勢能。如無明確指出，設置θ和ω的值分別為： θ=0，ω=（-1）/2。κ是決定鑲嵌調制周期的整數，當κ=1時，即為最初的AAH模型，不具備遷移率邊。當κ≠1時，此時模型有鑲嵌，即可出現遷移率邊[7]。本文中κ=2。取 m=1，2，...，N，此時系統長度為L=κN。對于這個模型，文獻[7]中已經給出了不同勢能強度時候的遷移率邊為Ec=±1/λ，也就是說，當能量|E|小于1/λ時，本征態處于擴展態，而|E|大于1/λ時的本征態處于局域態。有了哈密頓量，就可以通過標準的對角化方法求得本征能量和相應的本征態。為了表征本征態的局域化性質，引入逆參與率（IPR），其定義式為[7-8]

IPR（m）=Ψm，j， （3）

式中：Ψm，j表示第m個本征態。典型的擴展態和局域態分別對應著IPR接近0和1。通過IPR還可以定義另一個更直觀的量，即分形維度，表達式如下

Γ=- 。 （4）

在一維晶格中，趨于0和1分別對應局域態和擴展態。

以上物理量研究的都是孤立晶格中波函數的性質。波函數的局域化程度會直接影響量子輸運。設想把一定長度的該模型晶格（即研究對象）接上電極，就可以測量其電導。在零溫時，可以利用著名的Landauer 公式來模擬計算此時的電導，其正比于費米子的量子透射率，用格林函數表達是[9-10]

（5）

式中：e是電子電荷;h是普朗克常數;τ是透射率;ES是測量時研究對象中的費米能。ΓL和ΓR分別是左右電極的譜函數矩陣，其計算公式為

ΓL/R（Elead）=i（ΣL/R （Elead）-Σ（Elead），（6）

式中：ΣL/R（Elead）是描述左右電極自能的矩陣;Elead是電極中的費米能。Gr（E）和Ga（E）分別是推遲和超前格林函數，計算公式為

Gr/a（E）=[E-H-Σr/a（Elead）]-1，（7）

式中：H為研究對象的哈密頓量;E為本征能量。

實驗中測到的電導是經歷了多個相位相干長度后的平均結果，這在無序系統中相當于取了不同的無序構型進行平均[11-12]。在這里的準周期結構中，為了類比無序系統中的無序構型樣本，在其他關鍵模型參數取定的情況下，采用2種抽樣和平均方式。第一種是在公式（2）中取一組隨機的θ，簡稱為“相位平均”。第二種是在公式（5）中取一組隨機的電極費米能Elead，簡稱為“能量平均”。這2個參數的改變都能導致電導的漲落。然后就可以得到相應電導的平均值、方差和統計分布，從而獲得量子輸運的更豐富信息。

2" 結果和討論

首先來研究孤立體系的性質，即本征波函數的分形維數。由之前的介紹得知，當分形維度Γ趨于1時，模型處于擴展態，這引發了筆者對于分形維度與樣本長度之間關系的深入探討。

在圖1中，取勢能強度λ=1，畫出了本征函數的分形維度Γ作為本征能量E的函數，不同形狀的點代表了不同的樣品長度。由于計算結果對于能量原點是對稱的，因此只畫了正能量部分的結果。圖中第一個明顯的特征是：本征能量的分布并不完全連續，而是被分割成了幾個子能帶。這是鑲嵌勢能的一個特點[7]。

現在仔細觀察數值點的細節。可以看到，在遷移率邊Ec=1的兩側，分形維度的尺寸標度確實具有不同的特征。在遷移率邊左側的本征態，其分形維度數值都隨著尺寸N的增加而增大。例如，菱形數據點（N=25 600）位于圓形數據點（N=400）的上方。因此可以預見在熱力學極限N→∞時，分形維度將趨于1，顯示出明顯的擴展態行為。另一方面，在遷移率邊右側的本征態，其標度行為則是相反的：菱形數據點（N=25 600）位于圓形數據點（N=400）的下方，也就是分形維度隨著尺寸增大而減小，從而在熱力學極限下趨于0，顯示出標準的局域態行為。

以上是一個固定λ值時孤立體系的波函數局域化性質，應證了解析計算的結果。現在轉到輸運性質。在圖2中，畫出了平均電導隨著樣品能量與勢能的變化的相圖。圖2（a）、圖2（c）、圖2（e）表示電極能量EL的平均的結果，圖2（b）、圖2（d）、圖2 （f）表示相位偏移θ的平均的結果。圖2（a）、圖2（b）中的Nx=1 000， 圖2（c）、圖2（d）中的Nx=2 000，圖2（e）、圖2（f）中的Nx=4 000。圖中的淺色和深色分別代表電導接近1和0。首先可以看到，2種平均下亮色的區域都是一致的，而且這些區域的范圍并不隨著長度增長而縮小，因此代表了穩定的擴展態。這些擴展態的分布區域與分形維度[5]的計算結果一致。因此，量子輸運確實忠實地體現了波函數的性質。

Nx=1 000，2 000，4 000，朗道電導的平均值L作為樣本中心能量ES和準周期勢強度λ的函數，圖2（a）（c）（e）表示電極能量EL的改變，圖2（b）（d）（f）表示相位偏移θ的改變。

進一步觀察發現，淺色區域的電導盡管都遠大于0，但并不都等于1，而是有起伏，形成精致的干涉共振條紋。其中最顯眼的是ES=0的中心線上的淺色的點，代表了最明顯的共振峰。在相同長度的情況下，共振峰的位置對2種平均都是相同的，但共振峰的個數隨著長度的增長而增加。

為了更好地理解電導和波函數之間的對應關系，例如圖2所示的共振峰的來源，比較實空間波函數的起伏。與電導隨長度變化的關聯性。為了反映波函數對于樣品空間的依賴細節，選取一個位于擴展態區域的本征能量，計算波函數模平方的傅里葉變換，其包含了波函數實空間漲落的特征性信息。與此同時計算該樣品處于這個費米能時，電導作為樣品長度的依賴關系，并且對其也作傅里葉變換。在圖3中，選取了2個典型的能量，分別用黑線和灰線畫出了這2個量的傅里葉變換。可以看到，2條曲線在多數情況下具有相同的峰值位置，這就說明了電導的起伏確實來源于波函數的起伏，兩者是高度相關的。剩下有少數峰值不相關，可以歸結為樣品邊界的散射影響，因為計算波函數時采用的是固定邊界條件，但計算電導時樣品邊界則連著半無限電極。這2種不同邊界對波函數的散射，會導致一些不同的相干空間漲落，于是形成不同的傅里葉峰。

上面討論的是電導的平均值，現在來研究其統計漲落。眾所周知，電導的統計性質與局域化性質密切相關[2，11-12]。在圖4中展現了電極能量改變時電導的統計直方圖，4個子圖對應著依次增大的勢函數強度λ。在圖4（a）中，極弱勢能時（λ=0.125 63），電導集中分布高度集中在接近1的區域，也就是接近完美透射的擴展態。隨著勢能增大，如圖4（b）和圖4（c）所示，電導分布逐漸展寬，直到占滿區間（0，1）。與此同時，統計分布的重心往低電導方向移動。最后，強勢能時，如圖4（d）所示，電導出現一個峰值接近0的長尾分布。此時盡管電導的平均值比較小，但即便在很長樣品的情況下（例如N=100 000）這個平均值仍然不是0，而且時不時還會出現一些電導遠大于零的統計樣本。這對于只有一個通道、背散射風險很大的一維時間反演模型已經非常不容易了[2，11]。總之，此時系統仍然處于良好定義的擴展態。與此相反，在|E|gt;1/λ時的局域態，即便在弱勢能、樣品長度不大的情況下，所有統計樣品的兩端口電導都非常接近零了。

對于周期系統，良好定義的能帶結構與輸運性質之間有良好的對應關系[2-3]。雖然嚴格來說，準周期結構不具備周期性，但仍然可以用周期結構來逼近準周期結構，如斐波那契結構[5，8]，從而獲得能帶結構。為了更加深入地理解不同勢能強度下輸運特性與量子態的內在聯系，利用斐波那契晶格來計算準周期勢能系統的能帶結構，具體計算方法如下。取一個長度為第n個斐波那契數Fn的樣本，即L=Fn，此時取公式（2）中勢能的周期參數ω=ωn=Fn-1/Fn，其是一個有理數。于是就可以以這個長度為Fn的樣品作為超元胞，按照標準的傅里葉變換來計算能帶結構，即色散關系E（k）。當n趨于無窮時，ωn也趨于無理數（-1）/2，從而使得樣品趨于本文研究的準周期勢模型[5，8]。

圖5就是按照這種方法計算的能帶結構，超元胞長度L=F17=1 597。只畫出了關心的能帶中心附近的幾個子能帶。4個子圖分別對應著圖4中4個子圖的勢能強度λ。在圖5（a）展示的弱勢能情形，子能帶顯示出接近線性的色散關系，并且子帶之間的子帶隙非常小。根據Thouless公式，電導正比于群速度（即色散關系的斜率）與態密度的乘積[13]。因此，圖5（a）中的這種能帶結構，即接近于常數的群速度與極小的帶隙，在2個因素上都有利于形成較大的電導，并且攜帶較大電導的本征態稠密地分別在能量軸上。這就是本文在前面的圖4（a）中看到的現象。

隨著勢能的增強，在圖5（b）—圖5（d）中，子能帶變得越來越平，子帶隙也變得越來越大。這種變化趨勢可能會導致量子態的輸運能力下降。但是，系統通過2個方面的努力來讓自己避免被完全局域化。首先，子能帶在強勢能的時候雖然被壓制得很窄，但其寬度并不是零，這與局域態有數量上的明顯差別。其次，子能帶之間變得更密集（阻止態密度過度降低），以此來彌補群速度降低而給Thouless電導帶來的損失。因此在強勢能情況下，最后的總效果就是，能帶中心仍然存在著擴展態，但擴展態之間的子帶隙仍然比弱勢能情況下的更大。這就導致一個現象：當費米面穿過頑強的子能帶時，電導遠大于0;當費米面穿過子帶隙時，電導接近于0。這就造成了在圖4（b）—圖4（d）中顯示的電導漲落增強。

上面這個物理圖像，還可以在更強的勢能強度下得到進一步的印證。可以看到，在準周期勢λ遠大于帶寬的情形下，這個一維模型在ES=0附近仍然存在擴展態，這是比較特別的。為了更清楚地看到大λ情況下發生了什么，在圖6中畫出了E=0附近的分形維度（圖6（a））和電導圖（圖6（b）），但擴大了λ的掃描范圍。從圖6（a）的分形維度可以看到，數值接近1的擴展態（淺灰色）在λ接近100的情況下仍然非常頑強地存在著。但與此同時，圖6（b）的電導在λ不到10的時候就接近0（黑色），似乎變成局域態了。但放大后就能看到，此時是在黑色（電導接近0）的海洋里點綴著淺灰色（電導接近1）的孤立點。

這些現象再一次反映了在圖4和圖5中看到的物理圖像。擴展態能帶分裂為多個擴展態子能帶。隨著λ的增加，子能帶逐漸變窄，它們之間的子帶隙則變寬。于是，當掃描能量的時候，如果掃到了子能帶里，就能得到電導接近1;如果掃到了帶隙，就得到電導接近0。這就是圖3中電導分布越來越寬、平均值越來越接近0的原因。但無論如何，只要能量在子能帶里，電導就不會是0，因此也仍然是良好定義的擴展態。有理由相信，在λ趨于無窮時，仍然會在ES=0附近存在一個無限細的擴展態子能帶。

3" 結論

本文研究了一維準周期嵌套模型的量子輸運性質，得到以下結論。

1）擴展態的電導不為零，且具有隨著能量和勢能強度改變的干涉共振起伏。這些起伏的大部分都與波函數的起伏對應，少部分來源于界面處的反射與干涉。

2）在主能帶中心，隨著勢能增長，擴展態一直存在，但能量分布范圍縮小。這種分布可以緩解由于子能隙擴大而導致的態密度下降，并彌補子能帶變平而導致電導的過度下降。

3）在此過程中，電導的漲落逐漸增大，平均值也在降低，但不為零。原因是擴展態子帶的帶寬逐漸變小（但不會變為零），子帶隙逐漸變大。于是當費米能碰到子帶（帶隙）的時候就表現為接近1（0）的數值。

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基金項目：廣東省自然科學基金（2023A1515010698）

第一作者簡介：張彪（1997-），男，碩士研究生。研究方向為量子輸運。

*通信作者：張艷陽（1978-），男，博士，副教授。研究方向為量子輸運。