多個度量之和的Gromov雙曲性

摘" 要： 為了將度量空間的Gromov雙曲性由單個度量推廣到多個度量，研究了對數型度量的性質，討論了多個近似超度量之和的Gromov雙曲性，并給出了由兩個Gromov雙曲度量之和構造一個新的Gromov雙曲度量的例子。在Ptolemy空間中，由距離函數的上確界定義了一個含參數的度量，并證明了不同參數的度量之和的Gromov雙曲性。特別地，借助類對數型度量變換的性質，推廣了Gromov雙曲空間的一般構造法。

關鍵詞： Gromov雙曲性；近似超度量；度量變換；度量之和

中圖分類號： O174.5

文獻標志碼： A

文章編號： 1673-3851 （2024） 04-0573-06

DOI：10.3969/j.issn.1673-3851（n）.2024.04.017

收稿日期： 2022-11-04" 網絡出版日期：2023-01-16網絡出版日期

基金項目： 國家自然科學基金項目（11771400）；浙江省自然科學基金項目（LY22A010004）

作者簡介： 曹杰軍（1998—" ），男，浙江臺州人，碩士研究生，主要從事復分析方面的研究。

通信作者：" 張孝惠，E-mail： xiaohui.zhang@zstu.edu.cn

引文格式：曹杰軍，張孝惠. 多個度量之和的Gromov雙曲性［J］. 浙江理工大學學報（自然科學），2024，51（4）：573-578.

Reference Format： CAO Jiejun， ZHANG Xiaohui. Gromov hyperbolicity of sums of metrics［J］. Journal of Zhejiang Sci-Tech University，2024，51（4）：573-578.

Gromov hyperbolicity of sums of metrics

CAO Jiejun， ZHANG Xiaohui

（School of Science， Zhejiang Sci-Tech University， Hangzhou 310018， China）

Abstract：" In order to generalize the Gromov hyperbolicity of metric spaces from a single metric to multiple metrics， we discuss the Gromov hyperbolicity of sums of approximate ultrametrics by showing certain properties of logarithmic metrics. As an example， we construct a new Gromov hyperbolic space by the sum of two Gromov hyperbolic metrics. In a Ptolemy space， we define a metric with a parameter by the supremum of a distance function and further prove the Gromov hyperbolicity of sums of these metrics with different parameters. Specially， we extend a general construction of Gromov hyperbolic metric based on properties of logarithm-like metric transforms.

Key words： Gromov hyperbolicity; approximate ultrametric; metric transform; sum of metrics

0" 引" 言

1987年，Gromov［1］提出了Gromov雙曲空間的概念。設（D，d）是一個度量空間，若存在δ≥0，對于任意的x，y，z，t∈D，都有：

（x|y）t≥（x|z）t∧（y|z）t-δ（1）

其中（x|y）t=12［d（x，t）+d（y，t）-d（x，y）］，則稱度量空間（D，d）為δ-雙曲空間，也稱為Gromov雙曲空間。式（1）等價于如下四點不等式：

d（x，y）+d（z，t）≤（d（x，z）+d（y，t））∨（d（x，t）+d（y，z））+2δ，

其中：對于任意的實數r和s，r∨s=max{r，s}，r∧s=min{r，s}。Gromov雙曲空間中有很多比較滿意的理論［2-6］。例如，Zhou等［5］研究了Gromov雙曲空間中的球化及其應用，Besson等［6］研究了Gromov雙曲空間的緊性和有限性。

雙曲型度量是推動幾何函數論發展的重要工具之一，它在復平面［7］和一般的高維空間中［8-10］都有廣泛的應用。其中，Gromov雙曲性是雙曲型度量的一個關鍵特征。因此，相關研究［11-12］構造了具有Gromov雙曲性的雙曲型度量，并研究了它們的性質。特別地，Dragomir等［13］證明了近似超度量空間的Gromov雙曲性，并將度量變換引入Gromov雙曲空間中，給出了保持度量空間雙曲性的度量變換的特征刻畫。

目前，相關文獻主要研究的是單個度量的Gromov雙曲性。而Aksoy等［14］構造了兩個單點型伸縮不變Cassinian度量的平均，證明了它們的Gromov雙曲性，并舉例說明了兩個Gromov雙曲度量的和不一定是Gromov雙曲度量（見文獻［14］引理4.4）。因此，具有何種性質的多個度量之和是Gromov雙曲的是一個值得研究的問題。

本文首先通過對數型度量構造了一類近似超度量空間，進而研究與這類近似超度量有關的度量之和的Gromov雙曲性（定理1）；并根據兩個特殊的Gromov雙曲空間構造出一個新的Gromov雙曲空間（推論2）。其次，通過距離函數的上確界，在Ptolemy空間中定義了一個新的雙曲型度量，并證明了它的Gromov雙曲性（定理2）。最后，給出更一般的構造法，通過刻畫一類度量變換的特征，使得變換后的度量之和為Gromov雙曲度量（定理3）。這些構造方法有助于推廣函數以及度量變換在空間中的應用。

1" 主要結論

本文采用的符號如下：R表示實數集，Rn表示n維歐氏空間。d（x，y）表示度量空間（D，d）中任意的兩點x和y之間的距離，d（x）表示x與D的邊界D之間的距離。當DRn時，|x-y|表示x和y之間的歐氏距離。

設（D，d）是一個度量空間，η≥0為一給定的常數。若對于任意的x，y，z∈D，都有

d（x，y）≤d（x，z）∨d（y，z）+η，

則稱（D，d）是η-超度量空間，也稱為近似超度量空間。

為了研究多個近似超度量之和的Gromov雙曲性，本文引入一個新的概念：如果對于任意的x，y，z∈D，都有d1（x，y）≤d1（x，z）當且僅當d2（x，y）≤d2（x，z），則稱度量d1和d2是類距的。由此，通過近似超度量的相加求和，定理1構造了兩類Gromov雙曲空間。

定理1" 設（D，di），i=1，2，…，n是n個近似超度量空間，那么，

a）對于任意的正數λ、a和b，空間（D，λdi+log（1+adi）b）是Gromov雙曲空間；

b）若所有度量是類距的，則D，∑ni=1di是Gromov雙曲空間。

根據定理1，可以構造出很多具體的Gromov雙曲空間。例如，定理2給出了由SD，c構造的多個度量之和的Gromov雙曲空間。其中，距離函數SD，c定義為：

SD，c（x，y）=supp∈Dlog1+cd（x，y）（1+d（x，p））（1+d（y，p）），

（D，d）是一個度量空間，且D≠，參數c為任意大于0的常數。

設（D，d）是一個度量空間，若對于所有的x，y，z，t∈D都有

d（x，y）d（z，t）≤d（x，z）d（y，t）+d（x，t）d（y，z），

則稱（D，d）是Ptolemy空間。

定理2" 設（X，d）是一個Ptolemy空間。對于任意的開集DX且D≠，（D，SD，c）是Gromov雙曲空間。特別地，對于任意的cigt;0，i=1，2，…，n，空間D，∑ni=1SD，ci是Gromov雙曲空間。

由文獻［13］定義2.1，對于任意的度量空間（D，d），若函數φ：［0，∞）→［0，∞）滿足（D，dφ）仍然是一個度量空間，其中dφ=φd，就稱φ是一個度量變換。度量變換的特征決定了變換后的度量空間的性質。因此，通過刻畫一類具體的度量變換的特征，可以給出多個度量之和的Gromov雙曲空間的一般構造法，見定理3。

定理3" 設（D，d）是一個度量空間。若φi（x）=log（1+aix）bi+fi（x），其中ai，bigt;0，i=1，2，…，n，fi（x）是連續的、非遞減的有界凹函數，且滿足fi（0）=0，則D，∑ni=1dφi是Gromov雙曲空間。

2" 定理的證明及推論

2.1" 定理1的證明及推論

由文獻［13］命題3.9，任意的η-超度量空間是η-雙曲空間。

引理1" 設（D，d）是度量空間。對于任意a，bgt;0，空間（D，log（1+ad）b）是blog2-超度量空間，因此是blog2-雙曲空間。

證明" 對于任意的度量空間（D，d），log（1+d）是區域D上的度量［15］。因此，如果記d′=log（1+ad）b，則d′也是一個度量。對于任意的x，y，z∈D，由三角不等式，度量d′滿足

d′（x，y）=log（1+ad（x，y））b

≤blog（1+ad（x，z）+ad（y，z））

≤blog（1+2（ad（x，z））∨（ad（y，z）））

≤blog2（1+（ad（x，z））∨（ad（y，z）））

=blog（1+（ad（x，z））∨（ad（y，z）））+blog2

=log（1+ad（x，z））b∨log（1+ad（y，z））b+blog2=d′（x，z）∨d′（y，z）+blog2。

因此，（D，d′）是blog2-超度量空間，進而是blog2-雙曲空間。

定理1的證明" 先證明結論a）。對于任意的η-超度量空間（D，d），記度量d′=d1+d2，其中：d1=λd，d2=log（1+ad）b。注意到，d1和d2都是關于d的函數，而且具有相同的單調性。由引理1，對于任意的x，y，z∈D，都有

d′（x，y）=d1（x，y）+d2（x，y）≤d1（x，z）∨d1（y，z）+λη+d2（x，z）∨d2（y，z）+blog2

=（d1（x，z）+d2（x，z））∨（d1（y，z）+d2（y，z））+λη+blog2=d′（x，z）∨d′（y，z）+λη+blog2。

因此，（D，d）是（λη+blog2）-雙曲空間。

再證明結論b）。設（D，di）是ηi-超度量的，那么，

∑ni=1di（x，y）≤∑ni=1di（x，z）∨di（y，z）+∑ni=1ηi=∑ni=1di（x，z）∨∑ni=1di（y，z）+∑ni=1ηi，

因此，D，∑ni=1di是∑ni=1ηi-超度量空間，進而也是∑ni=1ηi-雙曲空間。

由引理1可知，log（1+d）是log2-雙曲度量。又因為定理1的證明過程中給出了雙曲空間的Gromov參數，所以得到推論1。

推論1" 設（D，di），i=1，2，…，n是n個度量空間。若所有的度量都是類距的，則空間D，∑ni=1log（1+di）是nlog2-雙曲空間。

根據推論1，下面給出由兩個Gromov雙曲度量之和構造出新的Gromov雙曲度量的例子，見推論2。對于任意x1，x2∈R，記x=（x1，x2）∈R2。二維歐氏空間上的兩個距離函數d1和d2分別定義為：

d1（x，y）=log（1+|x1-y1|）+arctan|x2-y2|，d2（x，y）=log（1+|x2-y2|）+arctan|x1-y1|。

這里定義R2的一個子集：Vk=｛（x1，x2）：x2=kx1+b｝，kgt;0，b∈R。

推論2" 按照上述的定義方式，度量空間（R2， d1）和（R2， d2）都是π2+log2-雙曲空間。進一步，對于任意的kgt;0，都有（Vk，d1+d2）是（π+2log2）-雙曲空間。

證明" 顯然，d1和d2都是非負的、對稱的，dm（x，y）=0（m=1，2）當且僅當x=y。注意到arctanx在區間［0，∞）上是單調遞增的凹函數，所以d1和d2都遵循三角不等式。因此，d1和d2都是R2上的度量。

現在證明結論的第一部分。由于度量d1和d2的情況是類似的，這里只需要證明（R2， d1）是π2+log2-雙曲空間。記d′1（x1，y1）=log（1+|x1-y1|），則度量d′1在R上是log2-雙曲的。也就是說，對于任意的p，q，r，v∈R，都有

d′1（p，q）+d′1（r，v）≤［d′1（p，r）+d′1（q，v）］∨［d′1（p，v）+d′1（q，r）］+2log2（2）

令x=（x1，x2），y=（y1，y2），z=（z1，z2）以及t=（t1，t2）為R2上的任意點。注意到，對于任意的a∈［0，∞）都有arctanalt;π2，于是由式（2）得到：

d1（x，y）+d1（z，t）=d′1（x1，y1）+d′1（z1，t1）+arctan|x2-y2|+arctan|z2-t2|≤d′1（x1，y1）+d′1（z1，t1）+π2+π2≤［d′1（x1，z1）+d′1（y1，t1）］∨［d′1（x1，t1）+d′1（y1，z1）］+2log2+π

≤［d1（x，z）+d1（y，t）］∨［d1（x，t）+d1（y，z）］+2log2+π。

由四點不等式即證得結論成立。

對于任意kgt;0，下面證明（Vk，d1+d2）是Gromov雙曲空間。對于任意x，y∈R2，度量dT定義為：

dT（x，y）=log（1+|x1-y1|）+log（1+|x2-y2|）。

那么，

dT（x，y）≤d1（x，y）+d2（x，y）≤dT（x，y）+π（3）

因為集合Vk上的點滿足等式|x2-y2|=k|x1-y1|，所以度量|x1-y1|和|x2-y2|是類距的，從而由推論1可知，度量空間（Vk，dT）是2log2-雙曲空間。由式（3），進一步證得度量空間（Vk，d1+d2）是（π+2log2）-雙曲空間。

2.2" 定理2的證明

注意到，距離函數SD，c在一般空間中不滿足三角不等式，所以不是一個度量。因此，定理2研究的是距離函數SD，c在Ptolemy空間中的Gromov雙曲性。

定理2的證明" 首先證明距離函數SD，c是一個度量。對于任意的x，y，z∈D，顯然SD，c（x，y）≥0，SD，c（x，y）=SD，c（y，x），SD，c（x，y）=0當且僅當x=y，因此只需要證明SD，c滿足三角不等式。記SD，c（x，y）=supp∈Dlog（1+csp（x，y）），其中：

sp=d（x，y）（1+d（x，p））（1+d（y，p））。

在Ptolemy空間（D，d）中，對于任意取定的p∈D，由文獻［16］定理3可知csp是一個度量，所以（D，log（1+csp））是一個度量空間。因此，

log（1+csp（x，y））≤log（1+csp（x，z））+log（1+csp（y，z））≤SD，c（x，z）+SD，c（y，z）。

由p的任意性，證得SD，c（x，y）≤SD，c（x，z）+SD，c（y，z）。

下面證明（D，SD，c）的Gromov雙曲性。由引理1，有

log（1+csp（x，y））≤log（1+csp（x，z））∨log（1+csp（y，z））+log2≤SD，c（x，z）∨SD，c（y，z）+log2。

由p的任意性，得到SD，c（x，y）≤SD，c（x，z）∨SD，c（y，z）+log2。也就是說，（D，SD，c）是log2-超度量空間，因此是log2-雙曲空間。

特別地，對于任意的cigt;0，SD，ci都是近似超度量，而且任意兩個這樣的度量都是類距的。由定理1，即證得D，∑ni=1SD，ci是Gromov雙曲空間。

2.3" 定理3的證明及推論

為方便起見，下文用K表示所有度量變換組成的集合。

引理2" 設（D，d）是一個度量空間，φi∈K，δi≥0，i=1，2，…，n。若對于任意t≥0，都有φi（t）是非遞減的，且滿足φi（2t）-φi（t）≤δi，則D，∑ni=1dφi是Gromov雙曲空間。

證明" 由文獻［13］命題3.12可知，（D，dφi）是δi-超度量的。因為度量變換φi都是非遞減的，所以變換后的度量dφi都是類距的。由定理1，即證得結論成立。

度量變換的形式有很多種。根據文獻［17］命題2.3，若函數φ：［0，∞）→［0，∞）滿足次可加性、非遞減性以及φ-1（0）={0}，則φ∈K。引理2中滿足φ（2t）-φ（t）≤δ的度量變換通常稱為類對數型度量變換，定理3中給出的度量變換是它的一種特殊形式。

定理3的證明" 顯然，φi是非遞減的。由引理2，只需要證明φi∈K和φi（2t）-φi（t）的有界性。

先證明φi∈K。因為fi是凹函數且滿足fi（0）=0，所以對于任意的0lt;x≤y，有

fi（x+y）x+y≤fi（y）y，fi（y）y≤fi（x）x。

因此，

fi（x+y）≤x+yyfi（y）=xyfi（y）+fi（y）≤fi（x）+fi（y）。

顯然，當x=0時，fi（x+y）≤fi（x）+fi（y）也成立。因此，對于任意的x，y≥0，有

φi（x+y）=bilog（1+aix+aiy）+fi（x+y）≤bilog（1+aix）+bilog（1+aiy）+fi（x）+fi（y）

=φi（x）+φi（y）。

也就是說，φi滿足次可加性，從而φi∈K。

下面證明φi（2t）-φi（t）的有界性。由fi的有界性，存在Mi≥0，使得0≤fi（t）≤Mi對于任意的t≥0都成立。因此，

φi（2t）-φi（t）=bilog1+2ait1+ait+fi（2t）-fi（t）≤bilog2+Mi，

即證得結論成立。

推論3" 設（D，d）是一個度量空間。定義兩個度量變換：

φ1（x）=log（1+x）+arctanx，φ2（x）=3log（1+2x）+1-e-x，

則（D，dφ1+dφ2）是Gromov雙曲空間。

比較定理3和推論1可發現：推論1是從不同的度量出發，構造同樣形式的對數型度量，從而研究這些度量之和的Gromov雙曲性；而定理3是從同一個度量出發，通過不同的度量變換構造新的度量，從而研究這些度量之和的Gromov雙曲性。

3" 結" 論

目前，關于單個度量的Gromov雙曲性已經有了廣泛研究，本文主要研究了多個度量之和的Gromov雙曲性。

a）通過近似超度量的Gromov雙曲性，研究了對數型度量的性質，從而由對數型近似超度量之和構造了兩類Gromov雙曲空間；作為一個推論，由二維歐氏空間上的兩個Gromov雙曲度量之和構造出了一個新的Gromov雙曲空間。

b）通過特殊的對數型距離函數的上確界，在Ptolemy空間上定義了一類含參數的度量，并證明了它的Gromov雙曲性；進一步地，根據參數的不同取值，由這類度量之和構造了一個Gromov雙曲空間。

c）給出了一類具體的類對數型度量變換，使得任意一個度量在這類度量變換下得到的度量之和是Gromov雙曲度量，這一結論建立了函數與度量空間的聯系，推廣了Gromov雙曲空間的構造方法。

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（責任編輯：康" 鋒）