帶參數(shù)敏感度的最優(yōu)權(quán)衡投資組合問題的半定規(guī)劃松弛

摘 要： 考慮帶參數(shù)敏感度的最優(yōu)權(quán)衡投資組合問題，其模型是一個非凸非可微優(yōu)化問題，其中目標(biāo)函數(shù)含有極大和極小函數(shù)。將該優(yōu)化問題變換為一個等價的非凸二次約束二次規(guī)劃問題，提出了等價變換問題的一個緊的半定規(guī)劃松弛，并估計(jì)了其與原問題之間的間隙。數(shù)值結(jié)果表明，該半定規(guī)劃松弛可以有效找到大多數(shù)測試問題的全局最優(yōu)解，且計(jì)算時間優(yōu)于求解器GUROBI，從而為尋求問題的一個好的近似解提供方法。

關(guān)鍵詞： 參數(shù)敏感度；投資組合；非凸二次約束二次規(guī)劃；半定規(guī)劃松弛；GUROBI

中圖分類號： O224

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1673-3851 （2024）11-0861-06

引文格式：王琳，洪陳春，羅和治. 帶參數(shù)敏感度的最優(yōu)權(quán)衡投資組合問題的半定規(guī)劃松弛［J］. 浙江理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2024，51（6）：861-866.

Reference Format：" WANG Lin， HONG Chenchun，LUO Hezhi. Semi-definite programming relaxation for optimal trade-off portfolio selection with sensitivity of parameters［J］. Journal of Zhejiang Sci-Tech University，2024，51（6）：861-866.

Semi-definite programming relaxation for optimal trade-off portfolio selection with sensitivity of parameters

WANG Lin1， HONG Chenchun2， LUO Hezhi1

（1.School of Science， Zhejiang Sci-Tech University， Hangzhou 310018， China; 2.Huaxin Consulting Co.， Ltd.， Hangzhou 310014， China）

Abstract： In this paper， we consider the optimal trade-off portfolio problem with parameter sensitivity. For this problem， the model is a non-convex and non-differentiable optimization problem in which the objective function contains the maximum and minimum functions. This optimization problem is transformed into an equivalent non-convex quadratically constrained quadratic programming problem. A tight semi-definite programming relaxation for the equivalent transformation problem is proposed and the gap between it and the original problem is estimated. The numerical results show that the semi-definite programming relaxation can effectively find the global optimal solution of most test problems， and the computational time is less than that of the solver GUROBI. It can provide a method for finding a good approximate solution to the problem.

Key words： sensitivity of parameters; portfolio selection; non-convex quadratically constrained quadratic programming; semi-definite programming relaxation; GUROBI

0 引 言

1952年，Markowitz［1］提出了投資組合選擇的均值-方差（Mean-variance，MV）模型，開辟了投資組合量化分析的新時代，MV模型開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)是用均值和方差衡量投資組合的預(yù)期收益和風(fēng)險。MV模型中的基本參數(shù)是期望收益和協(xié)方差矩陣，通常來源于歷史數(shù)據(jù)，然而歷史數(shù)據(jù)的缺失可能會導(dǎo)致MV模型的參數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確，參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性直接影響收益和風(fēng)險的測量，因此如何應(yīng)對模型中參數(shù)的估計(jì)誤差成為投資組合選擇問題的一個重要研究方向。

Chopra等［2］研究了均值、方差和協(xié)方差的誤差對最優(yōu)投資組合選擇的影響，指出一個小的參數(shù)誤差都可能會導(dǎo)致結(jié)果與真實(shí)最優(yōu)組合間產(chǎn)生很大的偏差。為了克服參數(shù)估計(jì)誤差的影響，常用的方法是魯棒優(yōu)化，Goldfarb等［3］提出了一個投資組合選擇的魯棒MV模型，并將其等價變換為一個二階錐規(guī)劃問題。然而，Scherer［4］指出，魯棒MV模型不僅不能帶來額外的回報(bào)，反而增加了計(jì)算成本。最近，Cui等［5］考慮投資組合對單個資產(chǎn)期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差的敏感度，利用導(dǎo)數(shù)作為敏感度的度量，將一組參數(shù)敏感度約束集成到傳統(tǒng)的MV模型中，提出了一種具有參數(shù)敏感度控制的MV模型，并通過分支定界算法求解，但當(dāng)分支變量維數(shù)較大時算法的收斂速度較慢，并且該模型中參數(shù)敏感度的上下界選擇比較困難。為克服參數(shù)敏感度上下界的選擇，Bai等［6］提出了一個帶參數(shù)敏感度的最優(yōu)權(quán)衡投資組合選擇問題，將該問題等價變換為無約束復(fù)合優(yōu)化問題，給出了一個改進(jìn)的加速梯度算法，證明了該算法收斂到無約束復(fù)合優(yōu)化問題的一個穩(wěn)定點(diǎn)。

本文研究帶參數(shù)敏感度的最優(yōu)權(quán)衡投資組合選擇問題的半定規(guī)劃（Semi-definite programming，SDP）松弛方法，以尋求其近似最優(yōu)解。眾所周知，SDP松弛可以為非凸二次約束二次規(guī)劃（Quadratically constrained quadratic programming，QCQP）問題提供更緊的下界或近似解［7-9］。Zheng等［10-11］對非凸QCQP問題給出了基于最佳DC（Difference of convex function，DC）分解、矩陣錐分解和多胞形逼近技術(shù)的SDP松弛。Luo等［12］對非凸QCQP問題提出了基于罰方法的SDP松弛。Luo等［13］對凸二次約束非凸QP問題利用Disjunctive割技術(shù)改進(jìn)了SDP松弛界。章顯業(yè)等［14］針對帶凸二次約束非凸QP問題提出了一個緊的雙非負(fù)規(guī)劃松弛及其解法。丁曉東等［15］給出了帶邊際風(fēng)險控制的投資組合優(yōu)化問題的一個緊的SDP松弛。受以上文獻(xiàn)［12-15］的啟發(fā)，本文首先將帶參數(shù)敏感度的最優(yōu)權(quán)衡投資組合選擇問題變換為一個等價的非凸QCQP問題，進(jìn)而提出基于Secant割的SDP松弛，并給出它與原問題之間的間隙估計(jì)，最后給出數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證SDP松弛的緊性。

表1為GUROBI求解問題（4）與SDR對10個隨機(jī)測試?yán)拥钠骄鶖?shù)值結(jié)果，其中n為資產(chǎn)的數(shù)目，m為參數(shù)敏感度需要控制的資產(chǎn)數(shù)目。表1中“vOpt”“vLB”“vGap”“時間”分別表示10個測試問題得到的平均全局最優(yōu)值、平均下界、平均相對間隙和平均時間（單位：s），“（*）”表示GUROBI在1000 s內(nèi)找到全局最優(yōu)解的實(shí)例數(shù)。從表1的數(shù)值結(jié)果中可知，當(dāng)n=10，m=10時，SDR提供的下界與全局最優(yōu)值的平均相對間隙小于7%，對于20～200維的所有測試?yán)覵DR可以在13 s內(nèi)快速地找到原問題的一個全局最優(yōu)解，而GUROBI在n=50，m=40和n=200，m=80時無法在1000 s以內(nèi)找到問題（4）的10個例子的全局最優(yōu)解。此外，在表1所列的維數(shù)中，除n=100，m=20和n=200，m=20這兩組維數(shù)外，SDR的計(jì)算時間都優(yōu)于求解器GUROBI。

4 結(jié) 論

本文考慮了帶參數(shù)敏感度的最優(yōu)權(quán)衡投資組合問題，其模型是一個非凸優(yōu)化問題，求解它的全局最優(yōu)解是非常困難的。對該問題提出了一個等價的非凸QCQP變換問題，給出了該問題的一個緊的半定規(guī)劃松弛。初步的數(shù)值結(jié)果表明，本文提出的半定規(guī)劃松弛可以快速得到20至200維帶參數(shù)敏感度的最優(yōu)權(quán)衡投資組合問題的全局最優(yōu)解，并且對于大部分測試?yán)樱攵ㄒ?guī)劃松弛的求解時間小于求解器GUROBI。然而，目前只通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明了該半定規(guī)劃松弛可求得原問題的全局最優(yōu)解，后續(xù)將針對更一般的問題研究基于該半定規(guī)劃松弛求解原問題的全局算法。

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（責(zé)任編輯：康 鋒）