對2022年新高考Ⅰ卷第12題的思考

摘" 要：以2022年新高考Ⅰ卷多選第12題為例，從函數(shù)周期性、對稱性、奇偶性到函數(shù)圖象的變換，對不同解法進行探究，并對函數(shù)性質之間的聯(lián)系和函數(shù)圖象的變換進行拓展.

關鍵詞：函數(shù)周期性；對稱性；奇偶性；圖象變換

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0057-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：楊明（1985.1—），女，湖北省隨州人，本科，中學一級教師，從事中學數(shù)學教學研究.

基金項目：中山市教育科研2023年度青年項目課題“新教材背景下薄弱學校高中學生數(shù)學運算素養(yǎng)培養(yǎng)的實踐研究”（項目編號：C2023145）.

函數(shù)是數(shù)學中的基本概念，也是高中數(shù)學的重要內容之一.在高考中，函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性、對稱性

等知識點都是必考內容.函數(shù)性質是高考數(shù)學中涉及計算問題最多的知識點之一.

1" 函數(shù)奇偶性和對稱性的結論與證明

結論" f（a+x）=f（a-x）f（x）關于x=a對稱f（a+x）為偶函數(shù)（假設agt;0）.

證明" 充分性.因為f（a+x）=f（a-x），令t=a+x，

所以f（t）=f（2a-t）.

即f（x）=f（2a-x）.

所以f（x）關于x=a對稱.

必要性.因為f（x）關于x=a對稱，所以f（2a-x）=f（x）.令x=t+a，得f（a+t）=f（a-t）.

所以f（a+x）=f（a-x）.

如下是利用函數(shù)圖象的平移變換證明“f（x）關于x=a對稱f（a+x）為偶函數(shù)”.

充分性.因為f（x）關于x=a對稱，f（x）的圖象左移a個單位得到f（a+x）的圖象，對稱軸由x=a平移到x=0即y軸，所以f（a+x）為偶函數(shù).

必要性.因為f（a+x）為偶函數(shù)，所以f（a+x）的對稱軸為y軸，f（a+x）的圖象右移a個單位得到f（x）的圖象，對稱軸由x=0平移到x=a，所以f（x）關于x=a對稱［1］.

拓展結論" f（a+bx）=f（a-bx）f（x）關于

x=a對稱f（a+bx）為偶函數(shù)（假設agt;0，bgt;0）.

證明" 充分性.令t=a+bx，則x=t-ab.

所以f（t）=f［a-b（t-ab）］=f（2a-t）.

所以 f（x）=f（2a-x）.

所以f（x）關于x=a對稱.

必要性.由結論f（x）關于x=a對稱得f（a+x）=f（a-x）.令x=bt，得f（a+bt）=f（a-bt）.

即f（a+bx）=f（a-bx）.

利用函數(shù)圖象的伸縮平移變換證明“f（x）關于x=a對稱f（a+bx）為偶函數(shù)”.

充分性.f（x）的圖象向左平移a個單位得到f（a+x）的圖象，f（x）對稱軸為x=a，所以f（a+x）圖象的對稱軸為x=0，即y軸.

f（a+x）圖象縱坐標不變橫坐標縮短為原來的1b得到f（a+bx）的圖象，對稱軸x=0也縮小為原來的1b，仍然是y軸.

所以f（a+bx）的圖象關于y軸對稱，即f（a+bx）為偶函數(shù).

必要性.因為f（a+bx）為偶函數(shù)，所以x=0為f（a+bx）的對稱軸.

f（a+bx）的圖象向右平移ab個單位得到f［a+b（x-ab）］=f（bx）的圖象，對稱軸由x=0平移到x=ab，f（bx）的圖象縱坐標不變橫坐標伸長為原來的b倍得到的f（x）圖象，對稱軸由x=ab變?yōu)閤=ab·b=a.

或者f（a+bx）的圖象縱坐標不變橫坐標先伸長為原來的b倍得到f（a+x）的圖象，相應的對稱軸x=0伸長b倍仍然是x=0，f（a+x）的圖象向右平移a個單位得到f（x）圖象，對稱軸由x=0平移到x=a，所以f（x）關于x=a對稱［2］.

以上結論得證，對于alt;0，blt;0同理可證明結論成立.

2" 真題呈現(xiàn)與解法探究

例1" （2022年新高考Ⅰ卷第12題）已知函數(shù)f（x）及其導函數(shù)f ′（x）的定義域均為R，記g（x）=f ′（x）．若f（32-2x），g（2+x）均為偶函數(shù)，則（" ）.

A.f（0）=0""" B.g（-12）=0

C.f（-1）＝f（4）D.g（-1）＝g（2）

解法1" 根據(jù)條件f（32-2x）為偶函數(shù)，得出f（x）的對稱軸為x=32.

因為f（-1）=f2×32-（-1）=f（4），故選項C正確.

而g（2+x）為偶函數(shù)，所以g（x）的對稱軸為x=2.

因為g（-1）=g2×2-（-1）=g（5），故選項D錯誤 .

因為x=32為f（x）的一個極值點，所以f ′（32）=

g（32）=0.

因為x=2為g（x）的一條對稱軸，

所以g（52）=g（32）=0.

所以f ′（52）=g（52）=0.

因為x=32為f（x）的一條對稱軸，

所以f ′（52）=f ′（12）=0，

g（12）=g（72）=0，

f ′（72）=f ′（-12）=0.

所以f ′（-12）=g（-12）=0，故選項B正確.

由題目條件不能得出A選項正確，故BC正確.

解法2" 因為f（32-2x）為偶函數(shù)，不妨設

f（32-2x）=cos（ωx）+1，ωgt;0，

令32-2x=t，則x=34-12t.

則

f（t）=cos（34ω-ω2t）+1.

所以f（x）=cos（34ω-ω2x）+1，

f ′（x）=g（x）=ω2sin（34ω-ω2x），

g（x+2）=-ω2sin（ω4+ω2x）.

因為g（2+x）為偶函數(shù)，所以ω4=π2+kπ，k∈Z，不妨設k=0，ω=2π，代入f（x）中得

f（x）=-sin（πx）+1，g（x）=-πcos（πx），f（32-2x）=cos（2πx）+1，

g（x+2）=-πcos［π（x+2）］=

-πcos（πx）均為偶函數(shù).

所以f（x）=-sin（πx）+1，g（x）=-πcos（πx）符合題意.

因為f（0）=1≠0，所以選項A錯誤.

因為g（-12）=0，所以選項B正確.

因為f（-1）=1，f（4）=1，所以選項C正確.

因為g（-1）=π，g（2）=-π，所以選項D錯誤.

解法3" 因為g（x）為f（x）的導函數(shù)，g（2+x），f（32-2x）為偶函數(shù)，可設g（2+x）=cos（ωx）（ω≠0），換元得g（x）=cos（wx-2ω），f（x）=1ωsin（ωx-2ω）+1.

所以f（32-2x）=-1ωsin（12ω+2ωx）+1為偶函數(shù).

所以12ω=π2+kπ（k∈Z）.

不妨設k=0，解得ω=π.

所以f（x）=1πsin（πx）+1，g（x）=cos（πx），符合題意.

兩個函數(shù)分別代入四個選項得出正確的答案.

3" 結論在解題中的應用

變式1" （2021年新高考Ⅱ卷第8題）已知函數(shù)f（x）的定義域為R（f（x）不恒為0），f（x+2）為偶函數(shù)，f（2x+1）為奇函數(shù)，則（" ）.

A.f（-12）=0""" B.f（-1）=0

C.f（2）=0D.f（4）=0

解析" 因為f（x+2）為偶函數(shù)，所以f（x）關于x=2對稱.所以f（1）=f（3）=0.

又因為f（x）的定義域為R，f（2x+1）為奇函數(shù)，

所以f（x）關于（1，0）對稱，f（1）=0且周期為4.

所以f（-1）=f（-1+4）=f（3）=0.故選B.

變式2" （2023年宣城模擬）已知函數(shù)f（x）及其導函數(shù)f ′（x）的定義域均為R，記g（x）=f ′（x）．若f（x+3）為奇函數(shù)，g（32+2x）為偶函數(shù)，且

g（0）=-3，g（1）=2，則∑2 023i=1g（i）=.

解析" 因為f（x+3）為奇函數(shù)，所以f（-x+3）=-f（x+3）.

所以f ′（-x+3）=f ′（x+3）.

又因為g（x）=f ′（x），所以g（-x+3）=g（x+3）.

所以g（x）的對稱軸為x=3.①

又因為g（32+2x）為偶函數(shù)，

所以g（32-2x）=g（32+2x）.

所以將式中2x換成x，得g（32-x）=g（32+x）.

所以g（x）的對稱軸為x=32.②

由①②得g（x）的一個周期為T=2（3-32）=3.

所以g（3）=g（0）=-3．

又因為g（x）的對稱軸為x=32，

所以g（1）=g（3-1）=g（2）=2.

所以g（1）+g（2）+g（3）=2+2-3=1.

又因為2 023=3×674+1，

所以Σ2 023i=1g（i）=676.

4" 結束語

研究函數(shù)性質涉及計算的問題對高考具有重要的意義，可以為學生的高考做好充分的準備，同時也可以提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和應用意識.因此在日常教學中，教師既要引導學生注重對定義的理解和掌握，掌握通性通法；也要注重引導學生對同類題型解題技巧的積累和規(guī)律的總結，可以一題多解、多題一解，避免思維定式，這樣學生才能在考試時胸有成竹，應對如流！

參考文獻：

［1］

陳泳.八省聯(lián)考單選壓軸第七題的背景探究及應用［J］.理科考試研究，2021，28（23）：22-25.

［2］ 閆偉.一道清華大學自招試題的解法探究及拓展［J］.中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2020（01）：37-39，25.

［責任編輯：李" 璟］