對一道含雙參變量的函數題的解法探究

摘" 要：培養學生的核心素養和提高學生的解題能力是我們一線教師的重要任務.以一個涉及雙參數的函數問題為例，從不同的角度加以思考、探究，讓學生的思維得以發散，起到了一題多解，提升學生的思維能力的作用.

關鍵詞：構造函數；一題多解；解題能力；思維能力

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0063-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：王建輝（1974.4—），男， 湖南省漢壽人，本科，中小學高級教師，從事高中數學教學研究.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中明確指出：高中數學的核心素養為“數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算、數據分析、數學建模”，其中邏輯推理和數學運算尤其重要，學生的數學成績無法提升主要是這兩大核心素養的欠缺［1］.那么，在教學中如何解決這些問題呢？筆者結合波利亞的《怎樣解題》，摸索出一套行之有效的解題經驗，即解題教學四步法：①弄懂題意，搞清問題；②探尋路徑，擬訂計劃；③規范格式，實現計劃；④回顧反思，借助它用.其中“探尋路徑，擬訂計劃”是靈魂，不同的思考方式會導致不同的解題方向，對思維的發散有很大的激勵作用，從而也就導致一題多解，形成解題合力，提高解題能力［2-4］.

1" 試題呈現

題目" 已知函數f（x）=e2ax+b-x-1a，其中a，b是實數且a≠0.若函數f（x）≥0對一切x∈（-1a，+

SymboleB@ ）恒成立，求ba的最小值.

2" 試題分析

本題是一個典型的通過構造函數利用導數來研究恒成立的題型，但此題難在題干條件少，不易轉化，且含有兩個參變量，突破口在于尋找f（x）的最小值時參變量a，b需要滿足的關系，然后再求b/a的最小值［5］.

3" 多法求解

解法1" 因為f（x）=e2ax+b-x-1a，求導，得

f ′（x）=2ae2ax+b-1.

所以f ″（x）=4a2e2ax+bgt;0（a≠0）.

所以f ′（x）=2ae2ax+b-1在R上單調遞增.

所以當alt;0時f ′（x）lt;0.

所以f（x）在x∈（-1a，+

SymboleB@ ）上單調遞減.

而eb-2agt;-1a，且f（eb-2a）=e2a（eb-2a）+b-（eb-2a）-1alt;eb-（eb-2a）-1a=1alt;0，

所以alt;0時不滿足f（x）≥0恒成立.

當agt;0時，由f ′（x）=0，得e2ax+b=12a.

即x=-b+ln（2a）2a.

所以當xlt;-b+ln（2a）2a時，f ′（x）lt;0，函數f（x）單調遞減；

當xgt;-b+ln（2a）2a時，f ′（x）gt;0，函數f（x）單調遞增.

令ba=k，即a=bk.

則①當-1a≥-b+ln（2a）2a，即b+ln（2a）≥2時，f（x）在x∈（-1a，+

SymboleB@ ）上單調遞增，所以f（x）gt;f（-1a）=eb-2+1a-1a=eb-2gt;0恒成立.

所以b+ln（2a）≥2時，f（x）≥0在x∈（-1a，+

SymboleB@ ）時恒成立，此時ka+ln（2a）≥2.

即k≥2-ln（2a）a（agt;0）.

令h（x）=2-ln（2x）x（xgt;0），h′（x）=ln（2x）-3x2，當0lt;xlt;e32時，h′（x）lt;0，h（x）單調遞減，當xgt;e32時，h′（x）gt;0，h（x）單調遞增，所以h（x）有最小值h（e32）=-2e3.

所以-1a≥-b+ln（2a）2a時ba的最小值為-2e3.

②當-1alt;-b+ln（2a）2a，即b+ln（2a）lt;2時，f（x）在x∈（-1a，-b+ln（2a）2a）上單調遞減，在x∈（-b+ln（2a）2a，+

SymboleB@ ）上單調遞增，所以f（x）在x=-b+ln（2a）2a時取得最小值.

若f（x）≥0在x∈（-1a，+

SymboleB@ ）時恒成立，則f（x）min=f［-b+ln（2a）2a］=1+b+ln（2a）2a-1a≥0.

所以b+ln（2a）≥1.

所以ka+ln（2a）≥1.

則k≥1-ln（2a）a（agt;0）.

令m（x）=1-ln（2x）x（xgt;0），則

m′（x）=ln（2x）-2x2.

當0lt;xlt;e22時，m′（x）lt;0，m（x）單調遞減；

當xgt;e22時，m′（x）gt;0，m（x）單調遞增.

所以m（x）有最小值m（e22）=-2e2.

故當-1alt;-b+ln（2a）2a時ba的最小值為-2e2.

又-2e2lt;-2e3，

所以ba的最小值為-2e2.

反思" 該解法是利用導數來研究函數的性質，針對參數a進行討論.在討論alt;0時，如果不易尋找eb-2a這個值時，也可以考慮x→+

SymboleB@ 時，e2ax+b→0，從而可知f（x）→-

SymboleB@ ，f（x）≥0不可能恒成立；當agt;0時，由f ′（x）=0

得x=b+ln（2a）-2a，結合定義域進行分類討論［6］.考慮到要求的目標是ba的最值，引進變量ba=k，再把k表示成關于a的函數，構造函數利用導數從而求出ba的最值即可.

解法2

當agt;0時，由f（x）≥0，可知

e2ax+b≥x+1a=2ax+22a.

令2ax=t（t∈（-2，+

SymboleB@ ）），

所以

et+b≥t+22a恒成立.

即t+2et≤2aeb恒成立.

令h（t）=t+2et（tgt;-2），則h′（t）=-t+1et.

故t∈（-2，-1）時，h′（t）gt;0，h（t）單調遞增；

t∈（-1，+

SymboleB@ ）時，h′（t）lt;0，h（t）單調遞減.

所以h（t）在t=-1取極大值即最大值，h（t）≤h（-1）=e，所以2aeb≥e.

則b≥1-ln（2a）.

所以ba≥1-ln（2a）a.

令g（a）=1-ln（2a）a，則g′（a）=ln（2a）-2a2.

所以a∈（0，e22）時，g′（a）lt;0，g（a）單調遞減；

a∈（e22，+

SymboleB@ ）時，g′（a）gt;0，g（a）單調遞增.

所以g（a）在a=e22取極小值即最小值，g（a）≥g（e22）=-2e2，此時a=e22，t=-1，x=-1e2.

所以ba的最小值為-2e2.

解法3

當agt;0時，由函數f（x）≥0對一切x∈（-1a，+

SymboleB@ ）恒成立可知：eb≥x+1/ae2ax.

令g（x）=x+1/ae2ax，則g′（x）=-2ax-1e2ax.

所以x∈（-12a，+

SymboleB@ ）時，g′（x）lt;0，g（x）單調遞減；x∈（-1a，-12a）時，g′（x）gt;0，g（x）單調遞增.

所以g（x）在x=-12a取極大值即最大值.

所以g（x）≤g（-12a）=e2a.

所以eb≥e2a.

即0lt;1a≤2ebe.

當b≥0時，ba≥0；

當blt;0時，0gt;ba≥2ebbe.

令h（b）=2bebe，則h′（b）=2e（b+1）eb.

可知b∈（-

SymboleB@ ，-1）時，h′（b）lt;0，h（t）單調遞減；b∈（-1，0）時，h′（b）gt;0，h（t）單調遞增.

所以h（b）在b=-1取極小值即最小值，h（b）≥h（-1）=-2e2.所以ba的最小值為-2e2.

4" 結束語

丘成桐先生在北京師范大學附屬中學110周年校慶的演講中，也曾著力推崇“一題多解”.他說：“不同的方法來自不同的想法，不同的想法導致不同方向的發展，所以，數學題的每種解法有其深厚的意義，你會領會不同的思想，我們要允許學生用不同的方法來解決.”

參考文獻：

［1］

南愛玲.支架式教學法在復習課中的應用：以“利用導數研究函數的單調性”復習課為例［J］.高中數學教與學，2022（02）：18-20，17.

［2］ 李娜.利用導數研究含參函數的極值的教學啟示［C］//

中國智慧城市經濟專家委員會.

2023智慧城市建設論壇廣州分論壇論文集.北京市第二中學通州校區，2023：2.

［3］ 錢大林，金建軍.基于關鍵能力考查的“利用導數研究函數的極值與最值問題”復習課設計示例［J］.中學數學教學參考，2023（04）：54-57.

［4］ 謝永惠.剖析典型例題 促進思維發展：以“利用導數證明函數不等式方法探究”教學為例［J］.高中數學教與學，2023（22）：51-53.

［5］ 靖晶，陳艷寶.高三復習課微單元設計與教學思考：以“利用導數研究函數的零點問題”為例［J］.數理化解題研究，2023（27）：2-4.

［6］ 陳偉平.變易圖式在數學教學上的應用研究：以“利用導數研究函數的單調區間”為例［J］.中學課程輔導，2022（25）：30-32.

［責任編輯：李" 璟］