“學生錯誤”之我見

王曙輝

摘 要：在課堂教學中，合理利用“錯誤”，將其變“廢”為“寶”，成為學生課堂學習的重要資源，其意義深刻。

關鍵詞：錯誤；解題能力；合作探究；師德

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）19-091-2

一、暴露學生的知識弱點，指明教學方向

犯錯誤是學習過程中自然存在的一種現象。在教學中企圖讓學生完全避免錯誤是不可能的，也是沒有必要的。事實上，一方面可以充分暴露學生知識點薄弱環節，可以對癥下藥；另一方面，有時錯誤比正確更有教學價值，更重要的是學生的錯誤可以讓教師的教學方向更明確。

案例1：已知雙曲線右準線為x=4，右焦點F（10，0），離心率e=2，求雙曲線方程。

（請兩位同學上黑板解答，其他同學在下面做，教師要留意下面同學做的情況）

學生1 ∵x=a2c=4，c=10，∴a2=40，∴b2=c2-a2=60。

故所求的雙曲線方程為x240-y260=1。

學生2 由焦點F（10，0）知c=10，∵e=ca=2，∴a=5，b2=c2-a2=75。

故所求的雙曲線方程為x225-y275=1。

毫無疑問，這兩個解法都是錯誤的，兩位同學都誤認為雙曲線的中心在原點，而題中并沒有告訴中心在原點這個條件（班上有近一半人都這樣認為的）。由于判斷錯誤，而造成解法錯誤。這里充分暴露了同學們在學習橢圓的標準方程及簡單的幾何性質時，沒能從真正意義上體會和感受教師所講解的數學概念和相關的知識點。鑒于此，我覺得數學教師在備課時一定要把主要的精力放在如何講透概念上，課堂上重點是讓學生真正懂得數學概念的本質。有時學生的錯誤更是一種真實的、有價值的課程資源，通過學生的錯誤，教師可以及時發現學生所學知識的不足，發現他們思維中的困惑。針對作業中生成的這些錯誤，需要教師把錯誤當成教學的有效資源，善于適時放大有利用價值的錯誤資源，透過錯誤的分析使學生找到錯因，弄清道理，吸取教訓。幫助學生及時解除思維中的困惑，突破學習的難點，從而更扎實有效地掌握新知。

二、分析錯誤的原因，提高數學解題能力

數學解題的思維過程是數學問題的變換過程；數學問題的推廣、引申和應用過程是新的數學問題發現和解決的過程，也是數學思維深化過程和數學知識發展的過程。在教學中，學生常常會犯這樣或那樣的錯誤，如果教師在平時的教學中注意引導學生分析錯誤的原因，注意收集錯題及解決的方法，避免以后的學習中再犯同樣的錯誤。

案例2：雙曲線x29-y216=1上有一點P到左準線的距離為165，則P到右焦點的距離為 。

學生錯解：設F1、F2分別為由雙曲線的左、右焦點，則由雙曲線的方程為x29-y216=1，易求得a=3，c=5，從而離心率e=53，再由第二定義，易求|PF1|=ed1=53×165=163，于是又由第一定義||PF2|-|PF1||=2a=6，得|PF2|=6±163。

事實上P若在右支上，則其到F1的最短距離應為右頂點A2到F1的距離|A2F1|=a+c=8，而163<8，故點P只能在左支，于是|PF2|=6+163=343。一般地，若|PF1|≥a+c，則P可能在兩支上，若|PF1|

三、解決錯誤，激發學生數學學習的興趣

興趣是數學學習最好的老師，作為數學教師最重要的是培養學生學習數學的興趣。當學生學完知識，應用自己掌握的知識解決問題、找出錯誤時，學生就會產生了強烈的糾錯感。同時在解決問題、尋找到錯誤的過程中讓學生體會到學習的成就感，更能激發學生學習數學的強烈興趣。

案例3：求與y軸相切于右側，并與⊙C：x2+y2-6x=0也相切的圓的圓心的軌跡方程。

學生錯解：已知⊙C的方程為（x-3）2+y2=9。設點P（x，y）（x>0）為所求軌跡上任意一點，并且⊙P與y軸相切于M點，與⊙C相切于N點。根據已知條件得

|CP|=|PM|+3，即（x-3）2+y2=x+3，化簡得y2=12x（x>0）。

教師：本題只考慮了所求軌跡的充分性，而沒有考慮所求軌跡的必要性。事實上，符合題目條件的點的坐標并不都滿足所求的方程。

學生：還有一部分忽視了。

教師：我們還請剛才那位同學上黑板解決，其他同學在下面完成。

（學生在黑板上給出下面的部分）

從動圓與已知圓內切，可以發現以x軸正半軸上任一點為圓心，此點到原點的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以y=0（x>0且x≠3）也是所求的方程。即動圓圓心的軌跡方程是y2=12x（x>0）和y=0（x>0且x≠3）。（其他同學也相繼完成）

對于補充的這一部分，我給予了充分的肯定。我看到這位同學臉上露出了微笑，我相信學生在發現問題、然后自己解決問題的過程中一定能體驗收獲，從而興趣倍增。

四、充分利用錯誤，培養學生的自信心

我們說，錯誤是不可避免的，為此，我們必須正視錯誤的出現，更要尊重出錯的學生，幫其樹立自信心，不應對學生鄙視。應感謝這些為我們提供“錯誤”這一寶貴資源的學生，發揮“錯誤”潛能，發揮錯誤的價值。

案例4：1）若方程x2m+y2=1表示橢圓，則m的范圍是 。（0，1）∪（1，+∞）（漏解）

2）已知橢圓x2m+y2=1的離心率為32，則m的值為 。4或14（漏解）

3）橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，橢圓短軸的一個頂點B與兩焦點F1、F2組成的三角形的周長為4+23且∠F1BF2=2π3，則橢圓的方程是 。x24+y2=1或x2+y24=1（漏解）

以上都是同學們練習時易出現漏解的題目，面對同學們犯的錯誤，盡管題目不難，可我沒有對犯錯誤的學生給予批評和指責，更沒有對此表現出失望。相反，我鼓勵做錯的同學重新做一遍，對于第二次做對的學生，我還是給予了肯定。從而大大增強他們的自信心，讓他們知道只要自己多注意，就一定能做得很好。我們應善加利用“錯誤”，巧妙地運用這一教育資源，為學生的全面發展服務。

五、利用好錯誤，培養學生合作探究的能力

“當局者迷，旁觀者清。”對于學生個人學習中產生的各種各樣的錯誤，學生本人往往比較難于發現，許多時候需要靠合作學習來發現、分析、共同探討解決。

案例5：如圖，具有公共y軸的兩個直角坐標平面α和β所成的二面角α-y軸-β等于60°。已知β內的曲線C′的方程是y2=2px′（p>0），求曲線C′在α內的射影的曲線方程。

（學生板書）

學生1：依題意，可知曲線C′是拋物線，

在β內的焦點坐標是F′（p2，0），p>0。

因為二面角α-y軸-β等于60°，

且x′軸⊥y軸，x軸⊥y軸，所以∠xox′=60°。

設焦點F′在α內的射影是F（x，y），那么，F位于x軸上，

從而y=0，∠F′OF=60°，∠F′FO=90°，

所以OF=OF′·cos60°=p2·12=p4。所以點F（p4，0）是所求射影的焦點。依題意，射影是一條拋物線，開口向右，頂點在原點。所以曲線C′在α內的射影的曲線方程是y2=px。

（同學爭議……）

此時，做錯的同學一臉無奈，不知道自己哪里錯了。我有目地引導同學們相互之間進行合作探討，尋求正確的解法。（此時同學們討論開來了……）

教師：下面我請一位同學回答。

學生2：上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認為F是射影（曲線）的焦點，其次，沒有證明默認C′在α內的射影（曲線）是一條拋物線。

學生3：應該重點尋找原曲線上的任意點和射影曲線上的任意點之間的關系，利用原曲線的方程得出射影曲線的方程。（詳細解答略）

此時，教師應充分發揚民主，不急于點評錯誤，給學生辯駁“錯誤”的機會與空間，引導學生自己去分析產生錯誤的原因，體驗尋求糾正錯誤的過程，進而讓學生否定自己的錯誤。這樣比教師權威性的、灌輸性的正面點評，效果要好，學生從心理上更容易接受，學生主體性地位才能得以充分地體現出來，這對培養同學們相互合作也是大有裨益的。