集值映射多目標(biāo)半定規(guī)劃問題-弱有效解的對偶性

摘 要：在目標(biāo)映射和約束映射為近似錐-次類凸的條件下，討論集值映射多目標(biāo)半定規(guī)劃問題-弱有效解的對偶問題。通過構(gòu)造原問題的Lagrange標(biāo)量型對偶問題，給出了原問題的-弱有效解的弱和強(qiáng)對偶性定理。

關(guān)鍵詞：集值映射；多目標(biāo)半定規(guī)劃；近似錐-次類凸；對偶定理

中圖分類號：O224文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1673-260X（2024）11-0022-03

對偶理論于1947年由匈牙利數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼在研究對策論時(shí)提出，是線性規(guī)劃中非常重要的部分。當(dāng)對偶問題比原始問題有較少約束時(shí)，求解對偶規(guī)劃比求解原始規(guī)劃要方便得多，通過對偶變換，可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為相對簡單的問題，從而更容易找到最優(yōu)解。對偶理論在非線性規(guī)劃、最優(yōu)控制、資源管理、網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，對偶理論的研究一直是優(yōu)化理論與方法研究中的基礎(chǔ)和熱點(diǎn)課題[1-5]。本文在目標(biāo)映射和約束映射為近似錐-次類凸的條件下，主要討論了集值映射多目標(biāo)半定規(guī)劃問題-弱有效解的對偶問題。首先給出了集值映射多目標(biāo)半定規(guī)劃問題的標(biāo)量型Lagrange函數(shù)，然后構(gòu)造了問題的Lagrange標(biāo)量型對偶問題，最后給出了問題的-弱有效解的弱和強(qiáng)對偶性定理。

1 定義與引理

在Euclid空間Rm中，記v={v1，…，vm}T∈Rm，集合

R+m={v∈Rm：vi≥0，i=1，…，m}，

顯然R+m是Rm中的點(diǎn)閉凸錐，且intR+m≠。設(shè)A奐Rm且A≠，A的生成錐定義為

cone（A）={a：≥0，a∈A}，

A的閉包記為cl（A）。設(shè)∈R+m，A關(guān)于序錐R+m的-弱有效點(diǎn)集和-弱極大點(diǎn)集分別定義為

-WMin（A，R+m）={y∈A∶（y--A）∩（intR+m）}=， （1）

-WMax（A，R+m）={y∈A∶（-y-+A）∩（intR+m）}=。（2）

記Sp是p階實(shí)對稱矩陣全體之集，S+p是p階實(shí)對稱半正定矩陣全體之集。對矩陣M1，M2∈Sp有

M1≥M2圳M1-M2∈S+p，

矩陣M1和M2的內(nèi)積定義為M1·M2=tr（M1M2），這里tr（·）表示矩陣的跡。對向量u，v∈Rm，記u·v=uTv。

考慮如下形式的集值映射多目標(biāo)半定規(guī)劃問題：

（MSDP） minF（x），s.t.G（x）∩（-S+p）≠， 0∈H（x）， x∈X0。

其中X0奐Rn是非空集合，映射F：Rn→2，G：Rn→ 2，H：Rn→2是集值映射。

X={x∈X0：G（x）∩（-S+p）≠，0∈H（x）}，

X為問題（MSDP）的可行域，后面假定可行域X是非空的。記

F（X）=F（x）。

定義1.1 若x∈X，點(diǎn)x稱為是（MSDP）的可行解?？尚薪鈞稱為是（MSDP）的-弱有效解，如果存在y∈F（x），使得

y∈-WMin（F（X），R+m），

并稱（x，y）是（MSDP）的-弱極小元。

后面會用到如下的假設(shè)條件H1-H2。

H1（H1.1-H1.3）：

H1.1 clcone（F（X0）+R+m）是凸集；

H1.2 G（x1）+（1-）G（x2）奐G（X0）+S+p，

∈（0，1），x1，x2，∈X0；

H1.3 H（x1）+（1-）H（x2）奐H（X0），

∈（0，1），x1，x2，∈X0。

H2（約束規(guī)格） 對任意的∈S+p，∈Rq，（，）≠（0，0），存在x0∈X0，有

（·G（x0）+·H（x0））∩R-≠

其中R-={r∈R：rlt;0}。

假設(shè)條件H1.1成立，F(xiàn)稱為在X0上是近似R+m-次類凸[6]。假設(shè)條件H1.2成立，G稱為在X0上是S+p-類凸[7]。

設(shè)線性變換T：Sp→Rm，TM=（T1·M，…，Tm·M）T，其中M∈Sp，T=（T1，…，Tm）T，Ti∈Sp（i=1，…，m）。若Ti∈S+p（i=1，…，m），則記T≥0。

下面構(gòu)造（MSDP）的標(biāo)量型Lagrange函數(shù)

l（x，，，）=·y+·Z+·，

其中x∈X0，y∈F（x），Z∈G（x），∈H（x），∈R+m，∈Ｓ+p，∈Rq。

引理1.1[8] 設(shè)x∈X，y∈F（x），F(xiàn)-y+，G，H在X0上滿足H1，H2，（x，y）是（MSDP）的-弱極小元，則存在向量（ ， ， ）∈R+m×S+p×Rq， ≠0，使得

·y≤·y+·Z+·+·，x∈X0，

y∈F（x），Z∈G（x），∈H（x）。

2 對偶定理

構(gòu)造集值映射多目標(biāo)半定規(guī)劃問題（MSDP）的標(biāo)量型Lagrange對偶問題（SD）

（SD） MaxD（，，）。

其中

D（，，）=inf{·F（x）+·G（x）+·H（x）-·：x∈X0}，（（，，）∈R+m×S+p×Rq）。

通過-Lagrange乘子把原問題（MSDP）和對偶問題（SD）聯(lián)系起來，然后討論（MSDP）的-弱有效解的弱和強(qiáng)對偶性。

定理2.1 設(shè)x∈X，任意y∈F（x），有D（，，）≤·y-·，（，，）∈R+m×S+p×Rq。

證明 一方面，當(dāng)x∈X時(shí)，

D（，，）=inf{·F（x）+·G（x）+·H（x）-·：x∈ X}，（，，）∈R+m×S+p×Rq）。

進(jìn)而有

D（，，）≤·y+·Z+·-·，

y∈F（x），Z∈G（x），∈H（x），

另一方面，由于x∈X，存在Z∈G（x）∩（-S+p），0∈H（x），又∈S+p，·Z≤0，所以，對于任意y∈F（x），有D（，，）≤·y-·，（，，）∈R+m×S+p×Rq。

定理2.2（弱對偶性定理） 設(shè)x∈X，y∈F（x），如果·y≤D（，，）+·，（，，）∈R+m×S+p×Rq，≠0，則x是（MSDP）的-弱有效解。

證明 對任意x∈X，y∈F（x）由定理2.1有

D（，，）≤·y-·，（，，）∈R+m×S+p×Rq

取∈R+m/{0}有

D（，，）≤·y-·，（3）

由已知條件·y≤D（，，）+·，（，，）∈R+m×S+p×Rq， =0，由（3）式可得·y≤·y，又由于∈R+m/{0}，∈R+m，所以·∈R+m，進(jìn)而有

·y≤·y+·，y∈Ｆ（x），（4）

假設(shè)y埸-WMin（F（X），R+m），因x∈X，y∈F（x）則存在y′∈F（x），x∈X，使得

y--y′∈intR+m，

即y′lt;y-，由于∈R+m/{0}，這樣有·y′lt;·y-·，即·gt;·y′+·，這與（4）式矛盾，所以y∈-WMin（F（X），R+m），從而x是（MSDP）的-弱有效解。

定理2.3（強(qiáng)對偶性定理） 設(shè)∈X，∈F（），F(xiàn)-+，G，H在X0上滿足H1，H2，且D（，，）≤·-2·，（，，）∈R+m×S+p×Rq，如果（，）是（MSDP）的-弱極小元，則存在（，，）∈R+m×S+p×Rq，≠0使得（，）是對偶問題（SD）在=時(shí)的最優(yōu)解。

證明 設(shè)x∈X，y∈F（x），F(xiàn)-y+，G，H在X0上滿足H1，H2，由引理1.1，

存在（，，）∈R+m×S+p×Rq，≠0使得

·y≤·y+·Ｚ+·+·，x∈X0，y∈F（x），

Z∈G（x），∈H（x）。（5）

由已知條件D（，，）≤·y-2·，（，，）∈R+m×S+p×Rq，取=，則有

D（，，）≤·y-2·，（6）

又由（5）式有

·y-2·≤·y+·Ｚ+·-·，x∈X0，

y∈F（x），Z∈G（x），∈H（x）。（7）

由（6），（7）式可得

D（，，）≤inf{·F（x）+·G（x）+·H（x）-·∶x∈X0}

=D（，，）。

這樣（，）是對偶問題（SD）在=時(shí)的最優(yōu)解。

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收稿日期：2024-08-19

基金項(xiàng)目：內(nèi)蒙古自治區(qū)自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2020MS01018）