學會裂項 求和無憂

［摘 要］文章以2022年一道數列求和高考題為引，結合幾道典型例題，分析探討裂項相消法的主要類型及應用，以拓寬學生的思維路徑。

［關鍵詞］數列求和；高考題；裂項相消法

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）32-0021-03

數列求和歷來是高考的必考題型，尤其是對裂項相消法的考查更為頻繁。下面以2022年新高考Ⅰ卷第17題為引，結合幾道典型例題，探究裂項相消法的主要類型及應用，以拓寬學生的思維路徑。

一、高考試題

本題作為數列問題典型考題，聚焦了兩大考查重點：數列通項和數列求和。本文暫不討論數列通項，僅探究如何運用裂項相消法進行數列求和。

二、裂項相消法的原理

裂項相消法的作用在于通過把一個數列的每一項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終化簡求和。

裂項相消法的基本步驟見圖1。

裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發現被消去項的規律為止。

消項規律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項；前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項。

在應用裂項相消法時需注意，抵消后不一定只剩第一項和最后一項，也可能前面剩兩項，后面剩兩項，還需注意有時要調整前面的系數，使裂項前后等式兩邊保持相等。

三、裂項相消法的運用類型

（一）等差型

出現在中檔題中，如上文提到的高考題就是屬于這種類型。那么等差型裂項求和應如何求解呢？以下結合例題進行分析。

評注：從以上兩道例題可以觀察到，等差型裂項求和的解題方法有一定的規律可循，但教學中仍須提醒學生：具體問題具體分析，合理配湊，才會有所收獲。

（二）根式型

評注：根式型裂項求和題在高考中屬于基礎題，其解答難度在于“裂項”。教學中教師應引導學生總結歸納，積累方法，以靈活運用“裂項”技巧。

（三）指數型

若問題中將數列裂項求和與指數運算相結合，則會使“裂項”難度陡增。

評注：從以上兩道例題可以看出，“裂項”中加入指數運算，題目難度直線上升，當通項中出現[（-1）n+1]時，往往將通項分裂成[（-1）n+1]乘以兩項之和，然后借助[（-1）n+1]得到一正一負的項，相互抵消；當通項中出現[an]，應將通項分裂成含有指數的兩項之差，而這兩項剛好是某數列的連續兩項。

總之，數列問題中裂項相消法的考查方式靈活多樣，教學中應引導學生深入理解其基本原理和應用技巧。教師應通過分析不同題型的特點，幫助學生掌握裂項相消法的關鍵點——裂項，讓學生通過多練習，感悟方法，并積累裂項相消法的經驗，以使學生獲得更深層次的理解和提升。