導體球殼內外電場與電勢分布的可視化研究

［摘 要］內屏蔽的相關知識抽象性強、復雜度高，是培養資優生科學素養的拓展素材。文章結合內屏蔽內容，針對學生的學習困惑，探究點電荷位于非球心位置時導體球殼內外電場與電勢的分布情況。利用鏡像法確定了導體球殼內表面感應電荷的分布；基于疊加原理，推導出了導體球殼空間電場電勢的表達式；根據電場強度與電勢的微分關系，得到了電場的分布情況。通過Mathematica軟件進行數值計算與繪圖，實現了電場與電勢分布的可視化，幫助學生構建了清晰的內屏蔽概念。

［關鍵詞］內屏蔽;導體球殼;電場；電勢；分布

［中圖分類號］" " G633.7" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）32-0033-04

人教版高中物理必修第三冊第九章第四節“靜電的防止與利用”介紹了靜電屏蔽的概念，作為靜電平衡知識的拓展。靜電屏蔽分為外屏蔽和內屏蔽兩類。教材詳細分析了外屏蔽現象并實驗驗證了導體內部不受外電場影響。物理規律往往展現出對稱之美，既然導體內部可以不受外電場影響，那么導體外部是否可以免受內電場的影響呢？教材對此并未給出明確的解釋與說明。內屏蔽的相關知識抽象性強、復雜度高，較難理解，可作為培養資優生科學思維的拓展素材。教師應根據學生情況進行拓展教學。

已有學者對屏蔽內電場的教學展開研究，如田雙老師運用高斯定理分析了點電荷位于導體球殼球心時的場強情況[1]。本文聚焦學生常感到困惑的兩大問題“若點電荷位于非球心位置，空間電場的電勢如何分布？為什么導體球殼內點電荷的移動對球殼外電場沒有影響？”進行探討。

一、利用“鏡像法”確定導體球殼內表面感應電荷分布

處于靜電平衡的導體球殼（內徑為[R1]，外徑為[R2]）內距球心[a]處有一點電荷[+Q]。以球心O為坐標原點，球心與點電荷的連線為[y]軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖1所示。

導體球殼內表面感應負電荷與點電荷在球殼內部區域所產生的作用效果（包括力學和電磁學效應）均可等效為鏡像電荷與點電荷共同產生的作用效果。因此，導體球殼內任意一點的電勢可表示為：

由①式可得導體球殼內表面感應電荷面密度：

利用電荷密度的面積分求出導體球殼內表面感應電荷的電量：

可以看出，球殼內壁感應出等量的負電荷。

二、基于“疊加原理”推導導體球殼空間電場電勢的表達式

鏡像法在利用點電荷與鏡像電荷的共同作用等效求解空間電場電勢時存在局限性。它主要適用于求解點電荷所在區域（即球殼內部空間）的電場強度，而對于球外空間的電場強度無法直接求解。為了打破這一限制，我們可以轉換思路，利用疊加原理來求解。具體來說，可以根據球殼表面感應電荷分布以及點電荷的位置來確定球外空間的電勢分布，再結合電場強度與電勢之間的微分關系進一步確定電場強度的大小。由于整體系統關于[y]軸對稱，因此研究過[y]軸的任一平面便可推斷球外空間的整體情況。為此，可選取[z=0]這一平面（以下簡稱平面）展開研究，[P（x，y，0）]為該平面上的任意一點。

（一）接地導體球殼

1.電勢分布

導體球殼內表面感應負電荷產生的電勢：

導體球殼接地時，外表面不帶電，因此總電勢為點電荷與內表面感應負電荷產生電勢的疊加，即[U=UQ+U1]" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ⑥

2.電場分布

由電場強度與電勢的關系知：[E=-?U]" " " " "⑦

可得：

由⑥、⑧式可得到平面內電場的分布情況，作出電場分布圖（見圖3）。從圖3可以看出，球殼內壁以外空間電場強度恒為0，球殼內部電場強度大于0，且在球殼內表面處發生躍變。其中[y=1]時，躍變量最大，以[x=0]為對稱軸，隨著[y]的減小，球殼內表面兩側電場強度的差值逐漸減??；當[y=-1]時，躍變量最小。說明與點電荷距離近的球殼處，電場強度突變快;與點電荷距離遠的球殼處，電場強度突變慢。

3.電場線與等勢面分布圖

為了直觀展示電場強度的矢量特性及其與電勢的關系，我們作出了平面電場線與等勢面分布圖（見圖4）。圖4顯示，導體球殼及外部電場強度與電勢均為0。在球殼內部，電場強度受到點電荷與感應負電荷的影響，靠近點電荷的地方，球殼內表面感應電荷面密度越大，其附近電場強度大，電場線與等勢面密集。

（二）不接地導體球殼

1.電勢分布

當導體球殼不接地時，內表面會感應出等量異種電荷，且感應負電荷分布情況不變；外表面會感應出正電荷，總量為[Q]，分布情況由所處電場及導體形狀決定。

由于導體球殼內表面感應電荷與點電荷在球殼內壁以外的空間中激發的合電場強度恒為0，因此球殼外表面感應正電荷不受外部電場的作用力，均勻分布在外球面上。

導體球殼外表面感應電荷面密度：

導體球殼外表面感應正電荷產生的電勢：

總電勢為點電荷、導體球殼內表面感應負電荷與外表面感應正電荷產生電勢的疊加：

[U=UQ+U1+U2]" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "?

將④、⑤、⑩式代入?式即可求得平面內電勢，電勢分布如圖5所示。由圖5可以看出，各部分電勢呈現連續分布。其中，球殼外部電勢隨著離球心距離增大而降低；球殼內部電勢保持恒定，球殼內部越靠近點電荷的地方，電勢升高越快。與接地導體球殼周圍空間的電勢相比，兩者球內電勢分布趨勢相同，外表面感應電荷對球內電勢的影響僅是將各部分電勢都提高一個定值，但對球殼外部的電勢有作用，使得外部電勢不為0。

2.電場分布

由電場強度與電勢的微分關系有：

[E′=-?U]" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "?

可得：

由?、?式即可得出平面內的場強分布，并作出電場分布圖（見圖6）。從圖6可以看出，導體球殼內電場強度為0，球殼內外電場強度均大于0，且電場強度在球殼內外表面處發生躍變。其中，在球殼外表面兩側，電場強度的躍變量相同，而在球殼內表面兩側，電場強度的躍變量則不同，越靠近點電荷的地方躍變量越大。與接地時導體球殼周圍空間的電場分布相比，球殼內電場強度分布保持不變。這表明球殼外表面感應電荷對球殼內空間電場沒有貢獻，而球殼外部電場會受到外表面感應正電荷的影響，導致電場強度隨著離球心距離的增大而減小。

3.電場線與等勢面分布

為了直觀展示電場線與等勢面的空間分布，我們作出了平面內電場強度與等勢面分布圖（見圖7）。圖中顯示，導體球殼及其內部的電場線分布與球殼接地時情形相同。球殼外部空間的電場電勢分布與一個位于球心、電荷量相等的點電荷產生的作用效果相同，在球殼外表面處電場強度最大、電勢最高，隨著離球心距離的增大電場強度減小，電勢降低。

三、小結

研究發現，導體球殼對內電場有屏蔽作用。當球殼外壁接地時，球殼內表面感應電荷與點電荷在導體球殼外部空間共同激發的合電場強度為0，即外部空間不受到內電場的影響，實現了內屏蔽。當球殼外壁不接地時，外表面感應電荷在球殼外部激發的電場與球殼內點電荷所處的位置無關，可以等效為電荷集中于球心處的點電荷產生的電場。究其本質是由于點電荷與內表面感應電荷產生的電場在殼外空間能夠相互抵消，不顯示作用效果。因此，外表面上的感應電荷始終保持均勻分布，外部電場也不隨點電荷位置的變化而變化，這同樣可以被視為一種“屏蔽”。

內屏蔽的內容較抽象且難度較大，主要考查學生的科學推理與分析能力。真正理解內屏蔽概念需形成正確的科學本質觀，即內電場與內表面感應電荷產生的電場在球殼外部始終相互抵消，內電場變化對外部空間電場沒有影響。

本文通過Mathematica軟件進行數值計算與繪圖，從數理方法與圖形結合兩個方面向學生展示內屏蔽的本質規律，既豐富了學生的感性認識，又提升了學生的模型建構能力，實現了對知識的深度理解。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 田雙.關于屏蔽內電場的教學研究[J].中學物理教學參考，2023（10）：11-13.

[2]" 郭碩鴻.電動力學[M].3版.北京：高等教育出版社，2008.

[3]" 廖其力，鄧婭，余艷.導體球殼內的電場[J].物理與工程，2019（5）：90-95.