理想氣體狀態(tài)方程的多維進階推導探究

［摘 要］文章多維度深入推導與討論理想氣體狀態(tài)方程，旨在幫助一線教師更深刻地理解熱學問題的基本處理方法。同時，從高中與大學物理知識銜接的視角宏觀把握處理熱學問題的高階思維，為提升學生的物理學科核心素養(yǎng)提供有益參考。

［關(guān)鍵詞］理想氣體狀態(tài)方程；氣體實驗定律；麥克斯韋速度分布律

［中圖分類號］" " G633.7" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）32-0037-03

隨著2025年四川省新高考政策的調(diào)整，選擇性必修第三冊的熱學內(nèi)容被正式納入高考范圍。由于此前該內(nèi)容非高考重點，教師對其理論架構(gòu)、教學要點及考查方式了解不深，特別是對熱學核心——理想氣體狀態(tài)方程的理解需進一步加強。理想氣體狀態(tài)方程是熱學的核心知識點，其重要性不言而喻。人教版和教科版教材均重視其推導，并特設章節(jié)詳細闡述利用不同氣體實驗定律推導理想氣體狀態(tài)方程的方法。這樣多樣化的推導路徑為學生提供了多元化學習視角。然而，從專業(yè)物理教師視角看，僅掌握推導過程遠遠不夠。為更好地培養(yǎng)學生的物理學科核心素養(yǎng)，提升學生的高階思維能力，需將高中與大學物理知識有機銜接，從更高層面來深入探討理想氣體狀態(tài)方程。基于此，本文多維度深入推導與討論理想氣體狀態(tài)方程，旨在為教師提供全新教學視角，為提升學生的物理學科核心素養(yǎng)提供有益參考。

一﹑用氣體實驗定律推導

（一）具體推導過程

根據(jù)玻意耳定律、蓋呂薩克定律以及阿伏伽德羅定律，我們可以得出氣體的體積隨壓力、溫度以及氣體分子數(shù)的變化而變化，表述為：

[V=V（p，T，N）]

左右兩端求微分可得：

因為研究對象是一定量的氣體，所以分子數(shù)目是一定的，因此①式中的第三部分為0。

兩邊同時積分得：[lnV+lnp=lnT+C]，令[C=lnR]，為方便計算，將一定量氣體設為1 mol，此時[V=Vm]，整理可得[pVm=RT]，兩邊同乘物質(zhì)的量[n]，則可得：[pV=nRT]。證明完成。

（二）理想氣體常數(shù)R的計算

理想氣體狀態(tài)方程中，R是理想氣體常數(shù)，亦稱普適氣體常數(shù)，其數(shù)值是基于標準狀況下1 mol氣體計算出來的，與氣體種類無關(guān)，只與單位有關(guān)。因此，不同單位下R的數(shù)值是不同的。目前，通用的主要有兩種，一是用國際計量單位計算出的[R=8.314 J·mol-1·K-1]，二是在1atm下計算出的[R=0.082atm·L·mol-1·K-1]。

當[p=101325 Pa]，[V=22.414 L=0.022414 m3]，[T=273.15 K]，[n=1 mol]時，代入數(shù)據(jù)得：

二﹑用理想氣體壓強初級微觀理論推導

（一）理想氣體的微觀模型

實際微觀粒子間存在相互作用，短程時表現(xiàn)為強排斥力，長程時則相互作用力較弱，且粒子具有體積，非質(zhì)點。在標準狀態(tài)下，1 mol氣體是[V=22.4 L]，[n=6.02×1023]個，分子間的平均距離[l=3.34×10-7cm]，而氣體直徑約為[10-8cm]，故對于溫度較高、壓強較小的情況，可將具有以下特性的微觀粒子視為理想氣體。

（1）組成氣體的微觀粒子都是質(zhì)點，并遵從牛頓力學定律。

（2）粒子間除碰撞瞬間外，無其他相互作用。

（3）粒子間及粒子與容器的碰撞都是完全彈性碰撞。

理想氣體的壓強微觀本質(zhì)上可理解為大量分子在單位時間內(nèi)對單位器壁面積施加的平均沖量。

（二）長方體容器中的氣體

（1）一個分子碰撞器壁時，給予器壁的沖量為[Iix=2mυix]。

（2）[dt]時間內(nèi)運動到[dS]并與器壁發(fā)生碰撞的分子數(shù)，如圖1所示：體積[Vi=υixdtdS]，設單位體積內(nèi)具有速度[υix]的分子數(shù)密度為[ni]，[dt]時間內(nèi)具有速度[υix]且與[dS]碰撞的分子數(shù)為[N=Vini=niυixdtdS]。

（3）具有速度[υix]的分子給予器壁總沖量為[Ii=2miυixN=2miυ2ixnidtdS]。

（三）球形容器中的氣體

壁后法向沖量[I=2mυicosθ]，距離下一次碰撞器壁時間差為[2Rcosθυi]，單個氣體分子單位時間內(nèi)碰撞器

三﹑用麥克斯韋速度分布律推導

（一）用麥克斯韋速度分布律推導

我們通過麥克斯韋速度分布律來進行嚴格推導。設[x]方向的麥克斯韋速率分布函數(shù)為[f（υx）]。選擇一個平面[dS]，并設垂直于該平面的方向為[x]方向，同時規(guī)定面向平面的方向為正方向，則對于速度分量在[υx]附近的分子產(chǎn)生的壓力[dF]=單一分子的貢獻壓力×單位體積內(nèi)這種分子的數(shù)目×體積，即[dF=2mυx·nf（υx）dυx·υxdSdt]，其中[n]是單位體積內(nèi)的分子數(shù)目。整理得[dF=2nmυxυxf（υx）dυxdSdt]，

由于只有面向平面的分子才能撞到平面上，因此上式對[υx]從零積分至正無窮有：

（二）溫度的統(tǒng)計意義

（1）理想氣體溫度是系統(tǒng)內(nèi)部分子無規(guī)則熱運動的劇烈程度。

（2）溫度是大量分子熱運動的集體表現(xiàn)，含有統(tǒng)計意義。

四﹑用統(tǒng)計物理方法推導

五﹑結(jié)語

本文以理想氣體狀態(tài)方程的進階推導為例，遵循由低階到高階的教學原則，通過大中銜接的四個維度，深化了師生對理想氣體狀態(tài)方程的理解。本文闡述了物理學理論的進階發(fā)展，為物理學習和研究提供了理論框架與豐富素材，旨在逐步消除學生在物理思維上的障礙，培養(yǎng)他們的物理認知能力和學科意識，并構(gòu)建穩(wěn)固的學科邏輯體系。通過具體項目實踐，本文進一步實現(xiàn)了物理學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 汪志誠.熱力學·統(tǒng)計物理[M].6版.北京：高等教育出版社，2020.

[2]" 李椿，章立源，錢尚武.熱學[M].3版.北京：高等教育出版社，2015.