衛(wèi)星橢圓軌道運行中加速度與向心加速度的關(guān)系及成因分析

［摘 要］學生在學習“萬有引力與航天”專題時，常對衛(wèi)星在橢圓軌道上穩(wěn)定運行時，近地點和遠地點的加速度與向心加速度相等這一現(xiàn)象感到困惑。文章從橢圓的數(shù)學特性、牛頓第二定律及衛(wèi)星軌道能量等角度出發(fā)，深入分析衛(wèi)星橢圓軌道的成因，并進一步探討一般曲線運動的普遍規(guī)律。

［關(guān)鍵詞］衛(wèi)星橢圓軌道；加速度；向心加速度

［中圖分類號］" " G633.7" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）32-0040-03

一、問題來源

（2024屆全國八省八校T8聯(lián)考高三第一次學業(yè)質(zhì)量評價物理試題）2023年11月28日，中國載人航天工程辦公室公布了神舟十六號拍攝到的我國空間站的照片和在空間站拍攝到神舟十六號撤離時的震撼畫面。神舟十六號載人飛船于10月30日成功撤離空間站組合體，標志著中國空間站建設(shè)又六重要里程碑。空間站與神舟十六號飛船分離前按照如圖1所示的運行方向在圓軌道③上做勻速圓周運動，空間站與飛船在[Q]點分離，隨后飛船進入橢圓軌道②，逐步轉(zhuǎn)移到近地軌道①，再尋找合適的時機進入大氣層。不考慮飛船、空間站在太空中受到的阻力，下列說法正確的是（ ）。

A.神舟十六號飛船在[Q]點分離時需要啟動自身推進系統(tǒng)，朝與運行方向相反的方向噴火

B.神舟十六號飛船在從[Q]到[P]的過程中機械能越來越小

C.神舟十六號飛船在軌道②、軌道③上分別經(jīng)過[Q]點時的向心加速度相同

D.神舟十六號飛船在軌道②上經(jīng)過[P]點時運行速度小于第一宇宙速度

本題正確答案為C，核心考點是衛(wèi)星發(fā)射及變軌過程中各物理量的變化。針對C選項的解析如下：飛船在軌道②與軌道③上經(jīng)過[Q]點時，均僅受地球萬有引力的作用，因此這兩點處的加速度相同，同時在軌道②上的[Q]點，飛船速度最小，切向加速度為0，向心加速度相同，故C正確。

學生在分析該題時主要存在以下兩點誤解：

②將離心運動和向心運動相混淆。人教版高中物理必修第二冊第六章第四節(jié)“生活中的圓周運動”描述了離心運動：做圓周運動的物體，由于慣性，總有沿著切線方向飛出去的傾向。但是物體沒有飛出去，這是因為向心力在拉著它，使它與圓心的距離保持不變。一旦向心力突然消失，物體就會沿切線方向飛出去。除向心力突然消失這種情況外，在合力不足以提供所需的向心力時，物體雖然不會沿切線飛出去，也會逐漸遠離圓心[1]。此外，教師在教學中會引入“向心運動”的概念，指出當合力大于所需向心力時，物體會趨向于圓心運動。

在思維遷移的作用下，學生認為飛船在經(jīng)過軌道②的[Q]點時做向心運動，萬有引力大于向心力；而在經(jīng)過軌道③的[Q]點時做勻速圓周運動，萬有引力等于向心力。

雖然答案解析能為學生暫時解惑，但怎樣才能做到嚴密地證明而讓學生擺脫思維困擾呢？

二、理論分析

（一）橢圓軌道上的速度推導

如圖2所示，環(huán)繞天體沿橢圓軌道繞中心天體運動，設(shè)中心天體的質(zhì)量為[M]，環(huán)繞天體的質(zhì)量為[m]，橢圓軌道的半長軸[OA=a]，半短軸[OC=b]，橢圓的焦距[OD=c]。遠地點為[A]，速度大小為[vA]，近地點為[B]，速度大小為[vB]，距離[O]最近的點為[C]，速度大小為[vC]。

我們先研究近地點和遠地點，根據(jù)開普勒第二定律可知[vA]（[a+c]）=[vB]（[a]-[c]）" " " " " " " " " " " " " " " " "（2）

根據(jù)引力勢能公式和機械能守恒定律，可得

聯(lián)立（1）（2）式可得

同理，可以求得[C]點的速度：

（二）應用數(shù)學方法求解橢圓軌道的曲率半徑

以上橢圓曲率半徑的極坐標形式公式，[ρ]由極坐標[r]唯一確定。

將[r=a]代入（11）式，可得[C]點的曲率半徑

（三）應用牛頓第二定律分析加速度

1.近地點和遠地點的加速度和向心加速度

根據(jù)牛頓第二定律，可知遠地點[A]的加速度為

將（4）和（12）兩式代入向心加速度的定義式得

遠地點B的加速度為

將（5）和（12）兩式代入向心加速度的定義式得

由以上分析可以得出結(jié)論：衛(wèi)星在近地點和遠地點時，向心加速度等于加速度。

2.衛(wèi)星在短半軸交點的加速度和向心加速度

根據(jù)牛頓第二定律，分析圖1中衛(wèi)星在[C]點的加速度，即

方向由[C]點指向[D]點。

將（6）和（12）兩式代入向心加速度的定義式

方向由[C]點指向[O]點。

將（18）式的加速度沿[CO]方向分解得

由以上分析可以得出結(jié)論：衛(wèi)星在短半軸交點時，向心加速度等于加速度沿曲率半徑方向的分量。進一步推理，可以得到：衛(wèi)星沿橢圓軌道運行時，只有在近地點和遠地點時向心加速度與加速度相等，其他位置向心加速度等于加速度沿曲率半徑方向的分量。

（四）衛(wèi)星運行軌道分析

據(jù)觀測，衛(wèi)星運行的軌道包括橢圓軌道、圓軌道，以及無法圍繞中心天體運動的雙曲線軌道。那么，這些不同的軌道形態(tài)由什么因素決定呢？

設(shè)質(zhì)量為M的行星僅受質(zhì)量為[m]的中心天體的萬有引力作用（[M]?[m]），以質(zhì)心位置為參考系，系統(tǒng)的機械能為[E]，角動量大小為[L]（[Lgt;0]）。

以中心天體為極點，建立極坐標系（[r]，[θ]），由機械能守恒與角動量守恒得：

聯(lián)立（21）和（22）式，具體推導詳見《更高更妙的物理》[2]。

結(jié)合（23）、（24）和（26）式可知衛(wèi)星運動的軌跡類型與[E]有關(guān)，分別分析如下：

②行星軌道的半長軸[a]只與行星的機械能有關(guān)，與角動量[L]無關(guān)，角動量[L]只影響橢圓軌道的偏心率[e]。對于給定的機械能，[L]不能取任意大的數(shù)值。根據(jù)（25）式勢能曲線方程，[L]的極大值為

此時的軌道為圓軌道，當[L]的取值小于極大值時，對應的軌道為不同偏心率下的橢圓。如圖3所示是利用Matlab軟件模擬不同[L]小于極大值和等于極大值時的衛(wèi)星運行軌跡。

（五）知識遷移與應用

如圖4所示，物體以初速度[v]與水平面成[θ]斜向上拋出，不計空氣阻力。以拋出點為[x]軸，最高點為[y]軸，重力加速度為[g]。

根據(jù)平拋運動規(guī)律，可知拋物線方程為

根據(jù)（7）式可知，最高點的曲率半徑為

[an=g]" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " nbsp; " " " " " " " " " （30）

由此可得拋物線的最高點向心加速度等于重力加速度。

三、結(jié)論

回顧人教版高中物理必修第二冊第29頁的一般曲線運動受力分析（如圖5）[4]，我們得知，物體做曲線運動時，所受合力按照作用效果可分解為徑向分力和切向分力。其中，徑向分力提供向心力，改變速度方向；切向分力則改變速度大小。

綜上所述，我們歸納得出：物體在做曲線運動時，所受合力按照作用效果可分解為兩個方向的分力——徑向分力和切向分力。徑向分力提供向心力，使物體產(chǎn)生向心加速度，從而改變速度的方向，切向分力則改變速度的大小。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]［4］" 人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書 物理必修 第二冊[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]" 沈晨.更高更妙的物理[M].杭州：浙江大學出版社，2017.

[3]" 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程：力學[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.