依托導數(shù)工具，研究函數(shù)性質(zhì)

摘要：利用導數(shù)來研究函數(shù)的基本性質(zhì)問題，是導數(shù)應用中最為突出的一個內(nèi)容.筆者結(jié)合復雜函數(shù)問題場景，從零點分析法研究含參函數(shù)的單調(diào)性、二次求導研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導數(shù)研究含參函數(shù)的極值或最值等方面入手，結(jié)合實例剖析與應用，歸納總結(jié)解題技巧與規(guī)律，以期引領并指導數(shù)學教學與解題研究.

關鍵詞：導數(shù)；函數(shù)性質(zhì)；極值；最值

在解決函數(shù)的綜合應用問題與基本性質(zhì)問題中，經(jīng)常離不開導數(shù)及其應用.依托導數(shù)這一基本工具，利用函數(shù)的求導運算，通過導函數(shù)的正負取值情況與函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的聯(lián)系，合理實現(xiàn)轉(zhuǎn)化與應用，巧妙彰顯導數(shù)方法的突出應用與創(chuàng)新應用，成為解決函數(shù)基本性質(zhì)問題的一種基本思維方式．

1零點分析法研究含參函數(shù)的單調(diào)性

在解決一些含參函數(shù)的單調(diào)性及其綜合應用問題時，往往要借助函數(shù)的導函數(shù)，利用導函數(shù)為零時的方程，確定導函數(shù)的零點，進而來判定原函數(shù)的單調(diào)性.要注意的是，根據(jù)含參的特定條件，經(jīng)常要借助分類討論法來分析與應用.

例題（1）已知函數(shù)f（x）=lnx+ax+1－2a（a∈R），討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

（2）已知函數(shù)g（x）=axx（a＞0且a≠1），討論g（x）的單調(diào)性．

解析：（1）由題可知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=x2+（2-a）x+1x（x+1）2.

令f′（x）=0，得x2+（2－a）x+1=0.

當a≤2，x＞0時，f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當a＞2時，方程x2+（2－a）x+1=0的Δ=a2－4a=a（a－4），

①當2＜a≤4時，Δ≤0，則f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

②當a＞4時，Δ＞0，令x2+（2－a）x+1=0，得x1=a-2-a2-4a2＞0，x2=a-2+a2-4a2，

當x∈（0，x1）∪（x2，+∞）時，滿足f′（x）＞0；當x∈（x1，x2）時，滿足f′（x）＜0，則知f（x）在a-2-a2-4a2，a-2+a2-4a2上單調(diào)遞減，在0，a-2-a2-4a2和a-2+a2-4a2，+∞上單調(diào)遞增.

綜上所述，當a≤4時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當a＞4時，f（x）在0，a-2-a2-4a2和a-2+a2-4a2，+∞上單調(diào)遞增，在a-2-a2-4a2，a-2+a2-4a2上單調(diào)遞減.

（2）由題可知，函數(shù)g（x）的定義域為（－∞，0）∪（0，+∞），g′（x）=axxlna-axx2=ax（xlna-1）x2，令g′（x）=0，解得x=1lna.

當a＞1時，令g′（x）＞0，得x＞1lna；令g′（x）＜0，得0＜x＜1lna或x＜0.

當0＜a＜1時，令g′（x）＞0，得x＜1lna；令g′（x）＜0，得1lna＜x＜0或x＞0.

綜上所述，當a＞1時，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為1lna，+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，0）和0，1lna；當0＜a＜1時，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為－∞，1lna，單調(diào)遞減區(qū)間為1lna，0和（0，+∞）.

點評：借助零點分析法研究含參函數(shù)的單調(diào)性時，通過分類討論法研究函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的關鍵，可以從以下四個層面來切入與應用：①導函數(shù)中的二次函數(shù)（可能是局部）開口方向；②導函數(shù)是否存在零點；③導函數(shù)的零點是否在定義域范圍內(nèi)；④導函數(shù)若干零點之間的大小關系．

2二次求導研究函數(shù)的單調(diào)性

研究含參函數(shù)的單調(diào)性時，由于導函數(shù)關系式的復雜性或?qū)Ш瘮?shù)的零點不易確定，這時一次求導無法解決問題，經(jīng)?？梢越柚吻髮硌芯亢瘮?shù)的單調(diào)性.二次求導研究函數(shù)的單調(diào)性時，有時直接對導函數(shù)進行二次求導，有時借助導函數(shù)中的部分關系式來設置函數(shù)再進行求導處理.

例題（1）判斷函數(shù)g（x）=ex+cosx－ax－2（x≥0）的單調(diào)性.

（2）已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）－xex－a－1，且0是f（x）的一個極值點，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解析：（1）由題可知，g′（x）=ex－sinx－a，令函數(shù)p（x）=g′（x）=ex－sinx－a，則p′（x）=ex－cosx.

當x≥0時，p′（x）≥1－cosx≥0，故函數(shù)p（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增.此時p（x）min=p（0）=1－a.

①當a≤1時，p（x）≥p（0）=1－a≥0，即g′（x）≥0，故g（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增；

②當a＞1時，p（0）=1－a＜0，且p［ln（a+1）］=1－sin［ln（a+1）］≥0，故存在x0∈（0，ln（a+1）），使得p（x0）=g′（x0）=0.

當0＜x＜x0時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當x＞x0時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增.

綜上所述，當a≤1時，g（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增；當a＞1時，g（x）在［0，+∞）上先減后增.

（2）由題可知，函數(shù)f（x）=ln（x+1）－xex－a－1的定義域為（－1，+∞），f′（x）=1x+1－ex－a－xex－a.

因為0是f（x）的一個極值點，所以f′（0）=10+1－e0-a－0×e0-a=0，解得a=0，從而f（x）=ln（x+1）－xex－1，則f′（x）=1x+1－ex－xex=1-ex（x+1）2x+1，x＞－1.

令g（x）=1－ex（x+1）2，x＞－1，則g′（x）=－ex（x+1）2－（2x+2）ex=－ex（x+3）·（x+1），x＞－1.

當x＞－1時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，又g（0）=0；當x＞0時，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當－1＜x＜0時，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，所以x=0為函數(shù)f（x）的極大值點.

綜上所述，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（－1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）.

點評：借助二次求導研究函數(shù)的單調(diào)性時，要正確剖析使用場景，對函數(shù)f（x）一次求導得到f′（x）之后，解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0難度較大甚至根本解不出.基于此，二次求導研究函數(shù)的單調(diào)性的基本解題步驟為設g（x）=f′（x），再求g′（x），解g′（x）＞0和g′（x）＜0，得函數(shù)g（x）的單調(diào)性與最值，則可得f′（x）的正負情況，即可知函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

3利用導數(shù)研究含參函數(shù)的極值或最值

研究含參函數(shù)的極值或最值是在利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性基礎上的進一步分析與應用，利用函數(shù)單調(diào)性的確定來深入探究函數(shù)相關的極值或最值.函數(shù)極值或最值問題的探究與應用，是函數(shù)單調(diào)性的深入與拓展.

例題（1）已知函數(shù)f（x）=ex－ax2－2，a∈R，試討論函數(shù)f（x）的極值點的個數(shù).

（2）已知函數(shù)f（x）=xaex-1和g（x）=a+lnxx有相同的最大值，求實數(shù)a的值．

解析：（1）當a=0時，f（x）=ex－2是增函數(shù)，無極值點；

當a≠0時，f′（x）=ex－2ax，由f′（0）=1，得x=0不是極值點.

令ex－2ax=0（x≠0），得2a=exx，令函數(shù)h（x）=exx，則h′（x）=ex（x-1）x2.當x＜0時，h（x）＜0，且h′（x）＜0，當a＜0時，方程2a=exx有唯一小于零的解，故函數(shù)f（x）存在一個極值點；

當0＜x＜1時，滿足h′（x）＜0；當x＞1時，滿足h′（x）＞0，故h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則知h（1）=e為h（x）的極小值，所以當0＜a＜e2時，方程2a=exx無解，函數(shù)f（x）無極值點.

當a=e2時，方程2a=exx有一個解，但當0＜x＜1時，exx＞2a，f′（x）=ex－2ax＞0；當x＞1時，exx＞2a，f′（x）=ex－2ax＞0，故函數(shù)f（x）無極值點.

當a＞e2時，方程2a=exx有兩解，函數(shù)f（x）存在一個極大值點和一個極小值點.

綜上所述，當a＜0時，函數(shù)f（x）存在一個極值點；當0≤a≤e2時，函數(shù)f（x）無極值點；當a＞e2時，函數(shù)f（x）存在一個極大值點和一個極小值點.

（2）由題可知，f′（x）=1aex-1-ex-1x（ex-1）2=1a·1-xex-1，令f′（x）=0，得x=1.

因為f（x）有最大值，所以a＞0，且函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）max=f（1）=1a.

g′（x）=1-a-lnxx2，x＞0，令g′（x）=0，解得x=e1-a，易知函數(shù)g（x）在（0，e1-a）上單調(diào)遞增，在（e1-a，+∞）上單調(diào)遞減，所以g（x）max=g（e1-a）=1e1-a .

因為f（x）與g（x）有相同的最大值，所以1a=1e1-a，即lna=1－a，可得a=1，經(jīng)檢驗符合題意.

點評：利用導數(shù)研究含參函數(shù)的極值或最值時，解題時要注意以下基本事項：①不能忽略函數(shù)f（x）的定義域；②f′（x0）=0是可導函數(shù)在x=x0處取得極值的必要不充分條件；③函數(shù)的極小值不一定比極大值??；④若函數(shù)在開區(qū)間上能取到最值，則最值點一定是極值點．

4結(jié)語

依托復雜函數(shù)，特別是融入冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)以及基本初等函數(shù)間的線性關系于一體，進而研究函數(shù)的基本性質(zhì)問題，解題時充分借助導數(shù)方法，通過求導并結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)來分析與轉(zhuǎn)化，合理鏈接起不同數(shù)學知識之間的本質(zhì)與聯(lián)系，突出函數(shù)與導數(shù)之間的靈活應用與巧妙轉(zhuǎn)化，對于提升學生的數(shù)學解題能力、培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)等方面都有很好的啟智和導向功能．