基于BOPPPS混合式教學模式的高等數學課程思政教學設計

摘要：本文以高等數學課程中“數列極限”知識點為例，探討將BOPPPS教學模式與混合式教學模式相結合，并融入課程思政元素的教學案例設計.教學實踐中，將教學分為課前學習、課堂教學、課后鞏固拓展三個階段，并融入了BOPPPS教學模式的六個環節，依托線上教學平臺，將線上資源引入教學中，實現多方位、多層次的育人目標，使教與學在時間上、空間上得以延伸.

關鍵詞：BOPPPS模式；混合式教學模式；課程思政；高等數學

高等數學是面向理科、工科、經管類專業大一新生開設的公共基礎課程，為后續學習專業知識提供支撐，對自然科學、工程技術、金融學、管理學等領域的發展具有重要的意義.由于高等數學素有概念多、理論抽象、邏輯性強等特點，存在學生理解困難、學習壓力大等問題.

傳統的課堂教學法缺乏主動探索和實踐的機會，師生之間的互動和反饋不夠充分，不利于幫助學生對知識的理解掌握和內化吸收，因此高等數學的教學改革成為必要課題.近年來，關于高等數學的混合式教學模式和思政教育［1］［2］［3］［4］，一些教師已經進行了實踐探索，獲得了一定的成效，為高等數學的課堂教學提供了參考.BOPPPS教學模式是根據教育學的認知理論提出的一種教學設計［5］，包括Bridgein（導學）、Objective（目標）、Preassessment（前測）、Participatory learning（參與式學習）、Postassessment（后測）、Summary（總結）六個環節，該模式強調互動與反思，注重學生在學習過程中的主體性，是一種閉環反饋課程設計模式.混合式教學模式是將課堂教學與線上學習相結合，既體現教師的主導性，又充分發揮學生的學習能動性，是幫助學生有效提高學習效果的教學方法.本文將BOPPPS教學模式的六個環節與線上線下混合式教學模式的課前、課中、課后三個階段有機結合，并融入思政元素，以“數列極限”為例設計課程思政教學案例.

1教學實踐案例

基于BOPPPS的混合式教學模式，是將BOPPPS教學模式中的六個環節與混合式教學模式的三個階段相結合，依托線上教學平臺，以“線上—（線上+線下）—線上”為主線（如圖1），將課堂教學與線上學習相結合，使教與學在時間、空間上得以延伸，實現多方位、多層次培養人才的目標.本文以高等數學課程中“數列極限”知識點為例，探索BOPPPS教學模式與混合式教學模式相結合的課程思政案例.

1.1課前學習階段

課前學習階段以學生主動參與、自主學習為主，包含了BOPPPS教學模式的前三個環節，即導學（B）、

目標（O）、前測（P）.學生通過自主學習完成課前學習任務，對本節課的基本概念建立起初步的認知結構，為課堂教學打下基礎.

（1）導學（B）.教師通過線上教學平臺發布以下課前學習任務.

任務1：折紙實驗，請拿出一張紙進行對折，記錄下對折的次數與紙張的厚度變化，探討一張紙對折103次是否會超出宇宙？

【設計意圖】學生通過動手操作，發現紙張厚度隨著對折次數的增加會得到一個等比數列，這一步驟加深學生對無窮數列的理解，使學生的認識從有限向無限過渡，為極限概念的學習作鋪墊.借助探究一張紙對折103次是否會超出宇宙，打開學生的視野和思維，感受數學世界與宇宙世界的奧妙，激發學生的學習興趣和熱情.

任務2： 在線網絡搜索觀看“極限概念的歷史”短視頻.

思政切入點：通過視頻學習，了解極限概念的發展歷程，感受數學家探索知識、追求真理的艱辛，體會數學家求知、求真、創新、堅持和不懈努力的精神，培養學生勤奮好學、刻苦耐勞的精神和堅韌不拔的意志.

（2）目標（O）.教師借助線上教學平臺

發布學習目標，讓學生明確學習的深度、廣度以及對所學內容的掌握程度.

知識目標：理解極限的思想與幾何意義，掌握數列極限的描述性定義與精確性定義.

能力目標：會用描述性定義判斷數列的收斂性，能用精確性定義論證某些數列的極限.

素質目標：借助數學知識的發展歷程，培養學生勤奮好學、刻苦耐勞的精神和堅韌不拔的意志；

通過引入我國偉大數學家的杰出成果，傳播中國智慧，樹立堅定的文化自信，激發學生民族自豪感和愛國主義精神；剖析數列極限的內涵，培養學生的辯證思維，鼓勵學生樹立遠大目標，并為實現目標而努力；通過合作學習，培養學生的協作精神和集體意識，提升學生查閱資料、分析問題、解決問題的能力，激發學生科學探究的精神.

（3）前測（P）.教師通過查看學習數據、課堂提問的方式，檢驗學生課前學習任務的完成效果，了解學生對極限思想的理解、掌握程度，為參與式學習環節的設計做準備.

問題1隨著對折次數的增加，紙張厚度的變化規律？

問題2談談你對數列極限的認識？

問題3紙張厚度變化規律形成的數列存在極限嗎？

1.2課堂教學階段

課堂教學階段，融入了BOPPPS教學模式的參與式學習（P）、后測（P）、總結（S）三個環節，以學生為中心開展教學活動，幫助學生理解和掌握新知識.

（1）參與式學習（P）.

例1觀察下列數列的變化趨勢（如圖2），判斷數列的極限是否存在？

①1n：1，12，13，…，1n，….

②n+（-1）nn：0，32，23，…，n+（-1）nn，….

教師利用GeoGebra軟件繪制兩個數列的值隨著n的逐漸增大的變化趨勢的動畫演示，引導學生通過觀察總結出兩個數列的共同特點，即隨著n的無限增大，數列無限趨近于一個確定的常數.

【設計意圖】借助兩個簡單實例，采用數形結合的方式，化抽象為具體，

引導學生

通過圖形直觀地理解數列極限的概念，感受數列收斂的幾何形態，深化學生對極限思想的理解，并概括提煉出數列極限的定義，引入教學重點.

定義1（描述性定義）：對于數列{xn}，當n無限增大（n→∞）時，若xn無限趨近于一個確定的常數a，則稱a為數列{xn}的極限（或稱數列{xn}收斂于a），記作limn→∞xn=a或xn→a（n→∞）.

此時，稱數列{xn}的極限存在；否則，稱數列{xn}的極限不存在（或稱數列{xn}是發散的）.［6］

思政切入點：數列{xn}收斂于a的過程，體現了有限到無限、量變到質變、過程與結果的辯證關系，鼓勵學生樹立遠大目標，并為實現目標艱苦奮斗.

教師列舉以下兩個發散數列，以幫助學生深刻理解數列極限的定義.

例2觀察下列數列的變化趨勢（如圖3），判斷數列的極限是否存在.

①｛（-1）n｝：-1，1，-1，…，（-1）n，….

②｛n2｝：1，4，9，…，n2，….

利用GeoGebra軟件繪制數列隨著n增大的變化趨勢的動畫演示.學生通過觀察發現兩個數列的特點，數列｛（-1）n｝在1與-1之間無限振蕩，數列｛n2｝在n→∞的過程中無限增大.

提問：數列｛n2｝具有唯一的變化趨勢，這是否說明數列存在極限？

解釋：數列收斂刻畫的是在n無限增大時，數列無限趨近于一個確定常數的狀態，數列｛n2｝雖有唯一的變化趨勢，但是不存在無限趨近的常數，故此時的數列是發散的.為了方便描述這一變化趨勢，通常稱數列{xn}的極限是無窮大，記作limn→∞xn=∞.

教師利用線上教學平臺發布以下課堂討論問題.

討論問題1什么是“n無限增大”，什么是“xn無限接近a”？

討論問題2如何用數學符號描述“n無限增大”“xn無限接近a”？

結合小組討論情況，教師進行梳理匯總，“n無限增大”的含義是“比任意給定的有限數都要大”，用數學語言可表述為“對任意正整數N，有n＞N成立”.“xn無限接近a”表示的是“xn與a之間的距離無限接近于0”，用數學語言可表述為“對任意給定的正數ε，有|xn-a|＜ε成立”.

教師引導學生回顧例1中數列的圖象，發現上述提及的正整數N的取值范圍依賴于ε的取值大小，從而引入數列極限的精確性定義.

定義2（ε-N定義）：設{xn}為一數列，a是常數，如果對ε＞0，N∈N+，使對于滿足n＞N的一切xn，總有|xn-a|＜ε成立，則稱a為數列{xn}的極限（或稱數列{xn}收斂于a），記作limn→∞xn=a或xn→a（n→∞）.［7］

幾何解釋：對任意給定的正數ε，當n＞N時，所有的點xn都落在（a-ε，a+ε）內，只有有限個點（至多只有N個）落在（a-ε，a+ε）外（如圖4）.

提問：數列前面有限項是否影響數列極限的存在性？

解釋：根據精確性定義，“數列的極限為a”是指從數列的第N項起后面的任意項與a的距離無限接近于0，故研究數列的極限，只需要探究數列后面無限項的狀態，數列前面有限項的改變不影響數列的極限.

（2）后測（P）.

教師利用線上教學平臺發布以下后測問題，讓學生思考并動手完成.

后測問題1證明：數列n+（-1）nn的極限為1.

【設計意圖】在例1中通過觀察圖象，學生已經得知該數列的極限為1.在此利用數列極限的精確性定義進行理論證明，通過觀察、分析、猜想、驗證的科學方法，培養學生的邏輯推理能力和嚴謹的科學態度.

后測問題2設|q|＜1，證明：等比數列{qn}的極限為0.

【設計意圖】等比數列是學生已經熟悉的數學概念，將新知識、新方法運用于熟悉的對象，幫助學生掌握新知識、新方法的同時，增強學生的學習自信，體驗學習成功的喜悅，激發學生對數學的喜愛之情.

（3）總結（P）.

課堂總結是教學活動中的重要環節，通過梳理重難點知識，可以起到鞏固學習效果、促進知識內化的作用，同時幫助學生構建知識框架、形成知識體系.

教師借助線上教學平臺的彈幕功能收集學生對本節課的學習收獲，了解學生的學習效果.同時，利用PPT呈現本節課的重點和難點，幫助學生回憶數列極限的描述性定義和精確性定義，總結用精確性定義證明數列極限的方法和步驟，強調數列極限中蘊含的“有限到無限、量變到質變、過程與結果”的辯證思想方法.

1.3課后鞏固拓展

教師通過線上教學平臺發布以下課后拓展練習.

拓展練習一個球從10米高處落到地板后彈起，每次彈起的高度是前一次彈起高度的34，求球在第n次觸地反彈時的高度？并用本節課的知識說明球是否會永遠不停地彈跳？［8］

【設計意圖】通過生活實例，提升學生將數學知識運用于分析和解決實際問題的能力，培養學生將實際問題抽象為數學問題的數學建模能力.

小組任務查閱資料了解芝諾悖論，阿基里斯追不上烏龜，并用數列極限的思想解釋悖論產生的原因.

【設計意圖】深化學生對有限與無限的對立統一辯證關系的認識和理解，強調“無限”的概念不能用“有限”的思維方法簡單的理解、分析和推理.

思政切入點：采用小組合作的形式，培養學生的協作精神和團隊意識，提升學生查閱資料、分析問題、解決問題的能力，激發學生科學探究的精神.

2結語

本文設計的案例

以提高教學效果和學習體驗為目標，在BOPPPS教學模式與線上線下教學模式相結合的環境中探索高等數學課程思政的教學實踐.教學過程中教師充分發揮兩種模式的優勢與互補性，強調學生的互動反饋和課程的閉環設計，依托線上教學平臺，將課堂教學與線上學習有機結合，實現教師與學生、學生與學生、教學與資源的互動，以學生為中心、問題為導向開展教學活動，充分發揮學生在學習過程中的主體性.同時注重挖掘課程思政元素，使課程教學與思政教育協同進行，以實現立德樹人的育人目標.

參考文獻

［1］劉會剛，祝文壯，趙紅梅.理工科高等數學課程思政的探索與實踐［J］.大學教育，2024（1）：96-99.

［2］單妍炎.混合式教學下高等數學課程思政建設的優化路徑［J］.高教學刊，2024（4）：165-167+172.

［3］顧燕，嚴亞強.高等數學課程思政建設與實踐［J］.大學教育，2023（24）：89-92.

［4］陳凌蕙，徐偉，李曦.高等數學線上線下混合式教學的探索與實踐［J］.南昌航空大學學報（自然科學版），2022（4）：143-148+81.

［5］張麗，武燕.基于問題驅動BOPPPS教學模式在高等數學混合式教學的應用［J］.高等數學研究，2021（1）：103-106.

［6］［7］張天德，王瑋.高等數學慕課版（上冊）［M］.北京：人民郵電出版社，2022.

［8］羅婷婷，彭建奎.線上線下混合式教學視角下“高等數學”課堂翻轉的設計與研究——以“數列極限的概念”為例［J］.教育現代化，2020（48）：76-80.