對一道函數(shù)雙動點高考模擬題的研究

2024屆廣東省高三第五次六校聯(lián)考數(shù)學第14題是一道典型的求兩個不同函數(shù)的圖象上雙動點之間的距離最值問題，本文從以下幾個方面研究該試題.

1.試題呈現(xiàn)

題目" 已知A（x1，y1），B（x2，y2）分別是f（x）=mxex+x－ln（mx）和g（x）=2x－1圖象上的動點，若對任意的mgt;0，都有|AB|a恒成立，則實數(shù)a的最大值是""" .

2.解法探究

分析1" 首先通過兩個函數(shù)的差函數(shù)并運用對數(shù)切線不等式確定這兩個函數(shù)圖象的位置關系，然后利用導數(shù)研究函數(shù)f（x）的凹函數(shù)的變化趨勢，并判斷中導函數(shù)的隱零點處函數(shù)f（x）的圖象達到最低點，此時點A到直線y=2x－1的距離即為|AB|的最小值，且點A處的切線平與直線y=2x－1平行，最后利用導數(shù)的幾何意義求解即可.

解法1" 令h（x）=f（x）－g（x）=mxex+x－lnmx－2x－1=mxex－x－lnmx+1=mxex－xlne－lnmx+1=mxex－lnex－lnmx+1=mxex+1－lnmxex.根據(jù)對數(shù)切線不等式“l(fā)nx≤x－1，當且僅當x=1時取等號”，可得lnmxex≤mxex－1，于是h（x）mxex+1－mxex－1=2gt;0，故當xgt;0時，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方.點A到直線y=2x－1的距離為d，則|AB|d.由f（x）=mxex+x－ln（mx），得f′（x）=mex1+x+1－mmx=mex1+x+1－1x.

令f′x0=0，則當x∈0，x0時，f′（x）lt;0，f（x）單調(diào)遞減，當x∈x0，+

SymboleB@ 時，f′（x）gt;0，f（x）單調(diào)遞增，因此函數(shù)f（x）為凹函數(shù).

設f（x）在點A（x1，y1）處的切線與直線y=2x－1平行.令mex11+x1+1－1x1=2，所以mex11+x1－1－1x1=0，所以mex11+x1－1+x1x1=0，所以1+x1mex1－1x1=0，即mex1=1x1，即mx1ex1=1，而結合函數(shù)y=ex與y=1mx的圖象可知mx1ex1=1有正數(shù)解x1，所以mx1=1ex1=e－x1，則此時點A（x1，mx1ex1+x1－ln（mx1））到直線2x－y－1=0的距離d=|2x1－mx1ex1－x1+ln（mx1）－1|" 22+12=|2x1－1－x1+lne－x1－1|" 5=|2x1－x1－x1－2|" 5=2" 5=2" 55，即|AB|min=2" 55.

因為對任意的mgt;0，都有|AB|a恒成立，所以a≤2" 55.故實數(shù)a的最大值為2" 55.

分析2" 首先把點A看作定點，則點A到直線y=2x－1的距離d即為|AB|的最小值，然后把點A看作動點，求出求d的最小值即可.

解法2" 由解法1可知，當xgt;0時，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方.

因為A（x1，y1）在f（x）=mxex+x－ln（mx）圖象上，所以y1=mx1ex1+x1－lnmx1，所以點A到直線y=2x－1，即2x－y－1=0的距離d=|2x1－y1－1|" 22+12=|2x1－y1－1|" 5=|2x1－mx1ex1－x1+lnmx1－1|" 5=|x1+lnmx1－mx1ex1－1|" 5=|lnmx1ex1－mx1ex1－1|" 5，則|AB|mind.

根據(jù)對數(shù)切線不等式“l(fā)nx≤x－1，當且僅當x=1時取等號”，可得lnmxex≤mxex－1，于是lnmx1ex1－mx1ex1－1≤mx1ex1－1－mx1ex1－1=－2，所以|lnmx1ex1－mx1ex1－1|2，所以d2" 5=2" 55，當且僅當mx1ex1=1時，d有最小值為2" 55.而結合函數(shù)y=ex與y=1mx的圖象可知mx1ex1=1有正數(shù)解x1，所以|AB|min=2" 55.

因為對任意的mgt;0，都有|AB|a恒成立，所以a≤2" 55.故實數(shù)a的最大值為2" 55.

分析3" 利用導數(shù)研究A（x1，y1）到直線y=2x－1，即y－2x+1=0的距離d的最小值，則由題意可知|AB|d，然后求解即可.

解法3" 點A（x1，y1）到直線y=2x－1，即2x－y－1=0的距離d=|y1－2x1+1|" 22+12=|y1－2x1+1|" 5，則|AB|d.y1－2x1+1=mx1ex1+x1－lnmx1－2x1+1=mx1ex1－lnmx1－x1+1=ex1+lnmx1－（x1+lnmx1）+1.令t=x1+lnmx1，則由mgt;0可知t=x1+lnmx1在0，+

SymboleB@ 上單調(diào)遞增，且當x1→0時，t→－

SymboleB@ ；當x1→+

SymboleB@ 時，t→+

SymboleB@ ，所以t∈R.令F（t）=et－t+1，則f′t=et－1，當tlt;0時，f′tlt;0；當tgt;0時，f′tgt;0，所以函數(shù)F（t）在－

SymboleB@ ，0上單調(diào)遞減，在0，+

SymboleB@ 上單調(diào)遞增，所以F（t）min=F0=2，所以ABd=y1－2x1+1" 52" 55.因為對任意的mgt;0，都有|AB|a恒成立，所以a≤2" 55.故實數(shù)a的最大值為2" 55.

3.同型考題

例1" （2024屆合肥市六校期考8）點P，Q分別是f（x）=3x－4和g（x）=x2－2lnx上的動點，則|PQ|2 的最小值為（" ）.

A.35（2+ln2）2" B.35（2－ln2）2

C.35（1+ln2）2"" D.35（1－ln2）2

簡解" 由g（x）=x2－2lnx，得g′（x）=2x－2x=2（x+1）（x－1）x，當x∈0，1時，g′（x）lt;0，g（x）單調(diào)遞減，當x∈1，+

SymboleB@ 時，g′（x）gt;0，g（x）單調(diào)遞增，所以g（x）是凹函數(shù).設g（x）在點x=x0處的切線與y=3x－4平行，則由2x0－2x0=3，解得x0=2，所以切點2，4－2ln2到直線y=3x－4的距離即為|PQ|的最小值，且最小值為|3×2－4+2ln2－4|" 32+（－1）2=|2－2ln2|" 10，所以|PQ|2=35（1－ln2）2.故選D.

例2" （2024屆日照市二模14）在同一平面直角坐標系中，M，N分別是f（x）=－" －x2+4x－3和函數(shù)g（x）=ln （ax）－axex圖象上的動點，若對任意agt;0，有|MN|m恒成立，則實數(shù)m的最大值為""" .

圖1

簡解" 由y=f（x）=－" －x2+4x－3整理得（x－2）2+y2=1（y≤0），即M在圓心2，0，半徑為1的半圓上.g（x）=lnax－axex=lnax－ex+lnax，令h（x）=x－ex，x∈R，則h′（x）=1－ex，又h′0=1－e0=0，所以當x∈－

SymboleB@ ，0時，h′（x）gt;0，h（x）單調(diào)遞增，當x∈0，+

SymboleB@ 時，h′（x）lt;0，g（x）單調(diào)遞減，綜上可知，h（x）在x=0處取得極大值，也是最大值，即h（x）≤h0=－1，于是x+ln（ax）－ex+lnax≤－1，即g（x）=lnax－axex≤－x－1，由圖1可知，當M，N分別對應切點，且MN與兩切線垂直時|MN|取得最小值，即|MN|的最小值為圓心到直線y=－x－1的距離減去半徑，亦即|MN|的最小值為|2+0+1|" 12+12－1=3" 22－1.過圓心2，0與y=－x－1垂直的直線方程為y=x－2，所以當且僅當x+lnax=0，y=x－2，y=－x－1，即a=2e－12，x=12，y=－32時取到最小值.綜上，|MN|3" 22－1.因為若對任意agt;0，有|MN|m恒成立，故m的最大值為3" 22－1.