例析概率新定義中極大似然估計的應(yīng)用

極大似然估計是建立在極大似然原理的基礎(chǔ)上的一個統(tǒng)計方法，是概率論在統(tǒng)計學(xué)中的應(yīng)用，是用來估計一個概率模型的參數(shù)的一種方法．本文從極大似然估計的基本原理和具體實例中研究其應(yīng)用.

例1" （2023年2月安徽、吉林、云南和黑龍江四省聯(lián)考數(shù)學(xué)第19題）一個池塘里的魚的數(shù)目記為N，從池塘里撈出200尾魚，并給魚作上標(biāo)識，然后把魚放回池塘里，過一小段時間后再從池塘里撈出500尾魚，X表示撈出的500尾魚中有標(biāo)識的魚的數(shù)目．

（1）若N=5000，求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）已知撈出的500尾魚中15尾有標(biāo)識，試給出N的估計值（以使得P（X=15）最大的N的值作為N的估計值）．

解析" （1）依題意X服從超幾何分布，且N=5000，M=200，n=500，故E（X）=N×Mn=500×2005000=20．

（2）當(dāng)Nlt;685時，P（X=15）=0，當(dāng)N≥685時，P（X=15）=C15200C485N－200C500N，

記a（N）=C15200C485N－200C500N，則a（N+1）a（N）=C485N+1－200C500NC500N+1C485N－200=（N+1－500）（N+1－200）（N+1）（N+1－200－485）

=（N－499）（N－199）（N+1）（N－684）=N2－698N+499×199N2－683N－684．

由N2－698N+499×199gt;N2－683N－684，當(dāng)且僅當(dāng)Nlt;499×199+68415≈6665.7，則可知當(dāng)685≤N≤6665時，a（N+1）gt;a（N）；

當(dāng)N≥6666時，a（N+1）lt;a（N），故N=6666時，a（N）最大，所以N的估計值為6666．

一般結(jié)論" 一般地，如果某批產(chǎn)品中有a件次品、b件合格品，采用不放回抽樣的方式從中抽取n件產(chǎn)品．若從n件產(chǎn)品中抽到k件次品，這批產(chǎn)品的次品率為多少？

解析" 由于從a+b件產(chǎn)品中取出n件產(chǎn)品的總數(shù)為Cna+b，其中次品出現(xiàn)k次的可能為CkaCn－kb．

令N=a+b，則所求概率為hk（N）=CkaCn－kN－aCnN，考慮其單調(diào)性，找到概率最值，最終找到似然估計．

即hk（N）hk（N－1）=CkaCn－kN－aCnNCkaCn－kN－1－aCnN－1=N2－aN－nN+anN2－aN－nN+KN．令hk（N）hk（N－1）=λ，則當(dāng)angt;kN時，λgt;1；

當(dāng)anlt;kN時，λlt;1，即當(dāng)Nlt;ank時，hk（N）是關(guān)于N的增函數(shù)；當(dāng)Ngt;ank時，hk（N）是關(guān)于N的減函數(shù)，所以當(dāng)N=ank時，hk（N）達到最大值，故次品率為aN=kn．

例2" （2023年12月江西省名校高三聯(lián)考題）某綜藝節(jié)目中，有一個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方．為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機抽取了100名盲擰魔方愛好者進行調(diào)查，得到的情況如表所示：

用時/秒［5，10］（10，15］（15，20］（10，15］

男性人數(shù)1522149

女性人數(shù)511177

以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立．若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機抽取20名盲擰魔方愛好者進行測試，其中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能（即概率最大）是（" ）.

A．2" B．3" C．4" D．5

解析" 根據(jù)題意得，1名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率為20100=15，

設(shè)隨機抽取的20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)為X，則X～B20，15，

其中P（X=k）=Ck2015k4520－k，k=0，1，2，…，20，當(dāng)k≥1時，由P（X=k）≥P（X=k+1），

P（X=k）≥P（X=k－1）， 得Ck2015k4520－k≥Ck+12015k+145，

Ck2015k4520－k≥Ck－12015k－14521－k， 化簡得4（k+1）≥20－k，21－k≥4k， 解得165≤k≤215，又k∈Z，所以k=4，所以這20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能是4，故選C．

評注" 一般地，設(shè)總體X的未知參數(shù)θ待估，（x1，x2，…，xn）為X的一組樣本觀察值，則當(dāng)X為離數(shù)型時，該組觀察值發(fā)生的概率L（θ）=P（X1=x1，…，Xn=xn;θ）=Πni=1P（Xi=xi;θ）應(yīng)最大，從而求θ的極大似然估計值即求使上式的L（θ）達最大的估計值θ（x1，x2，…，xn）．

例3" （2024年4月杭州市模擬考試第19題）在概率統(tǒng)計中，常常用頻率估計概率．已知袋中有若干個紅球和白球，有放回地隨機摸球n次，紅球出現(xiàn)m次．假設(shè)每次摸出紅球的概率為p，根據(jù)頻率估計概率的思想，則每次摸出紅球的概率p的估計值為=mn．

（1）若袋中這兩種顏色球的個數(shù)之比為1：3，不知道哪種顏色的球多．有放回地隨機摸取3個球，設(shè)摸出的球為紅球的次數(shù)為Y，則Y～B（3，p）．

注：Pp（Y=k）表示當(dāng)每次摸出紅球的概率為p時，摸出紅球次數(shù)為k的概率.

（i）完成下表：

k0123

P14（Y=k）2764164

P34（Y=k）9642764

（ii）在統(tǒng)計理論中，把使得Pp（Y=k）的取值達到最大時的p，作為p的估計值，記為，請寫出的值．

（2）把（1）中“使得Pp（Y=k）的取值達到最大時的p作為p的估計值”的思想稱為最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然參數(shù)估計方法稱為最大似然估計．

具體步驟：先對參數(shù)θ構(gòu)建對數(shù)似然函數(shù)l（θ），再對其關(guān)于參數(shù)θ求導(dǎo)，得到似然方程l′（θ）=0，最后求解參數(shù)θ的估計值．

已知Y～B（n，p）的參數(shù)p的對數(shù)似然函數(shù)為l（p）=∑ni=1Xilnp+∑ni=1（1－Xi）ln（1－p），

其中Xi=0，第i次摸出白球，

1，第i次摸出紅球，

求參數(shù)p的估計值，并且說明頻率估計概率的合理性．

解析" （1）由Y～B（3，p），得p=14或34．

（ⅰ）表格如下

k0123

P14（Y=k）27642764964164

P34（Y=k）16496427642764

（ⅱ）由題知Pp（Y=k）=Ck3pk（1－p）3－k．

當(dāng)y=0或1時，參數(shù)p=14的概率最大；當(dāng)y=2或3時，參數(shù)p=34的概率最大．所以=14，y=0，1，34，y=2，3.

（2）對對數(shù)似然函數(shù)進行求導(dǎo)，l′（p）=1p∑ni=1Xi－11－p∑ni=1（1－Xi），因此似然方程為1p∑ni=1Xi－11－p∑ni=1（1－Xi）=0，解得=1n∑ni=1Xi，因此，用最大似然估計的參數(shù)與頻率估計概率的是一致的，故用頻率估計概率是合理的．

例4" （2024年4月太原市模擬考試第19題）某制藥公司研制了一款針對某種病毒的新疫苗．該病毒一般通過病鼠與白鼠之間的接觸傳染，現(xiàn)有n只白鼠，每只白鼠在接觸病鼠后被感染的概率為12，被感染的白鼠數(shù)用隨機變量X表示，假設(shè)每只白鼠是否被感染之間相互獨立．

（1）若PX=5=PX=95，求數(shù)學(xué)期望E（X--）；

（2）接種疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率為p，現(xiàn)有兩個不同的研究團隊理論研究發(fā)現(xiàn)概率p與參數(shù)θ0lt;θlt;1的取值有關(guān).團隊A提出函數(shù)模型為p=ln1+θ－23θ2，團隊B提出函數(shù)模型為p=121－e－θ.現(xiàn)將100只接種疫苗后的白鼠分成10組，每組10只，進行實驗，隨機變量Xi（i=1，2，···，10）表示第i組被感染的白鼠數(shù)，將隨機變量圖1Xi（i=1，2，···，10）的實驗結(jié)果xii=1，2，···，10繪制成頻數(shù)分布圖，如圖1所示．

（i）試寫出事件“X1=x1，X2=x2，···，X10=x10”發(fā)生的概率表達式（用p表示，組合數(shù)不必計算）；

（ⅱ）在統(tǒng)計學(xué)中，若參數(shù)θ=θ0時使得概率PX1=x1，X2=x2，···，X10=x10最大，稱θ0是θ的最大似然估計．根據(jù)這一原理和團隊A，B提出的函數(shù)模型，判斷哪個團隊的函數(shù)模型可以求出θ的最大似然估計，并求出最大似然估計．參考數(shù)據(jù)：ln32≈0.4055．

解析" （1）由題知，隨機變量X服從二項分布，X～Bn，12，由PX=5=PX=95，

即C5n1251－12n－5=Cn－5n12n－51－125=C95n12951－12n－95，得n=100，所以E（X--）=np=50.

（2）（i）A=“X1=x1，X2=x2，···，X10=x10”，

P（A）=［C910p1－p9］3［C210p21－p8］3［C310p31－p7］2［C410p41－p6］［C610p61－p4］，所以P（A）=（C110）3C2103C3102C4102p251－p75.

（ii）記gp=lnC10103C2103C3102C4102+25lnp+75ln1－p，則g′p=25p－751－p=25－100pp1－p，當(dāng)0lt;plt;14時，g′pgt;0，gp單調(diào)遞增；當(dāng)14lt;plt;1時，g′plt;0，gp單調(diào)遞減；

當(dāng)p=14時，gp取得最大值，即p取得最大值，在團隊A提出的函數(shù)模型p=ln1+θ－23θ20lt;θlt;1中，記函數(shù)f1（x）=ln1+x－23x20lt;xlt;1，有f′1x=11+x－43x=－4x2－4x+331+x，當(dāng)0lt;xlt;12時，f′1xgt;0，f1（x）單調(diào)遞增；當(dāng)12lt;xlt;1時，f′1xlt;0，f1（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x=12時，f1（x）取得最大值ln32－16lt;14ln32≈0.4055，則θ不可以估計，在團體B提出的函數(shù)模型p=121－e－θ中，記函數(shù)f2（x）=121－e－x，f2（x）單調(diào)遞增，令f2（x）=14，解得x=ln2，則團隊B可以求出θ的最大似然估計，且θ0=ln2是θ的最大似然估計．

評注" 當(dāng)X為連續(xù)型時，觀察值（x1，x2，…，xn）發(fā)生的概率為0，但由于樣本（x1，x2，…，xn）的概率密度在一點處的函數(shù)值大小反映和決定樣本在該點附近取值的概率大小，因此，觀察值（x1，x2，…，xn）發(fā)生的概率最大可用樣本的概率密度在該觀察值點的函數(shù)值f（x1，x2，…，xn;θ）=Πni=1f（xi;θ）最大來反映和表示（其中f（xi;θ）為總體概率密度）求θ的極大似然估計就是求使以上函數(shù)值達最大的估計值θ（x1，x2，…，xn）．

在概率的最值問題研究過程中，不論是用“代數(shù)法”的視角探究最值，還是用“概率原理”去描述推證，均旨在通過不同視角的研究拓展思維．相比而言，“代數(shù)法”多用于論證和試題的解答，“運用概率、統(tǒng)計原理”去描述的方法可增強理解蘊含在實際問題中的概率、統(tǒng)計規(guī)律，更好揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)．