線性矩法在分布未知條件下的隨機(jī)結(jié)構(gòu)抗震可靠度分析
2025-01-26 00:00:00吳羅成張龍曾夢瀾
振動工程學(xué)報 2025年1期
摘要： 在工程結(jié)構(gòu)領(lǐng)域，由于數(shù)據(jù)不足，結(jié)構(gòu)參數(shù)的分布通常未知，這成為結(jié)構(gòu)可靠性分析中常見而復(fù)雜的挑戰(zhàn)。在結(jié)構(gòu)參數(shù)分布未知的情況下，本文提出了隨機(jī)結(jié)構(gòu)抗震可靠度分析的線性矩法。構(gòu)造了僅由兩個基本隨機(jī)變量描述的隨機(jī)動力系統(tǒng)：（1）基于結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)的前四階線性矩，借助標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量的隨機(jī)函數(shù)表達(dá)，將結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)變量表示為僅有一個基本隨機(jī)變量的一元三次多項式；（2）利用一個基本隨機(jī)變量的隨機(jī)函數(shù)?譜表示模型描述非平穩(wěn)地震動過程。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)數(shù)論方法確定兩個基本隨機(jī)變量的代表點(diǎn)集，進(jìn)行時程分析并計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值，進(jìn)而計算確定界限下功能函數(shù)的樣本及其線性矩；利用功能函數(shù)的前四階線性矩求解三次多項式轉(zhuǎn)換系數(shù)；并根據(jù)一元三次方程根的求解，建立基于線性矩的結(jié)構(gòu)抗震可靠指標(biāo)表達(dá)式。以結(jié)構(gòu)參數(shù)分布未知的非線性單自由度為例說明了本文方法的應(yīng)用，同時與Monte Carlo模擬結(jié)果對比，驗證了本文方法的精確性。
關(guān)鍵詞： 抗震可靠度； 隨機(jī)結(jié)構(gòu)； 線性矩； 分布未知； 隨機(jī)函數(shù)-譜表示
中圖分類號： TU311.3；O324""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2025）01-0180-11
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.01.020
Seismic reliability analysis of random structures using linear moments method under unknown distributions conditions
WU Luocheng1， ZHANG Longwen2， Zeng Menglan1
（1.College of Civil Engineering， Hunan University， Changsha 410082， China；2.College of Water Resources and Civil Engineering， Hunan Agricultural University， Changsha 410128， China）
Abstract： In the realm of engineering structures， the distribution of structural parameters often remains uncertain due to a lack of sufficient data， presenting a common and intricate challenge in structural reliability analysis. This paper presents a novel linear moment method for assessing the seismic reliability of random structures with unknown distributions. A random dynamic system is constructed using only two basic random variables： （1） the first four-order linear moments derived from the structural random parameters， expressed as a univariate cubic polynomial with a random function involving standard normal random variables； （2） A random function-spectral representation model is utilized to describe the non-stationary seismic ground motion. On this basis， representative point sets for the two basic random variables are determined using number-theoretical methods. Through time-domain analysis， extreme structural responses are computed to evaluate the samples of the performance function and its linear moments within the specified limit state. The seismic reliability index derived from linear moments is established by solving the univariate cubic equation roots. To demonstrate the proposed method’s applicability， a nonlinear single-degree-of-freedom system with unknown parameter distributions is analyzed， and its effectiveness is verified by comparing the results with those obtained using Monte Carlo simulation.
Keywords： seismic reliability；random structures；linear moments；unknown distributions；random function-spectral representation
地震作用具有破壞性與強(qiáng)烈的隨機(jī)性，使得工程結(jié)構(gòu)在使用期間可能會受到地震影響。與此同時，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)本身的參數(shù)（如質(zhì)量、彈性模量、泊松比、剛度等）也具有不確定性或隨機(jī)性。因此，進(jìn)行隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)的抗震可靠度分析對于評估結(jié)構(gòu)性能和確保結(jié)構(gòu)的安全至關(guān)重要。尋求高效準(zhǔn)確的隨機(jī)結(jié)構(gòu)抗震可靠度分析方法對于工程結(jié)構(gòu)的安全可靠性評估，提升抗震性能以及減少地震災(zāi)害對社會造成的影響具有重要意義。
目前，對于隨機(jī)結(jié)構(gòu)的分析主要采用隨機(jī)模擬方法、隨機(jī)攝動方法和正交展開理論等［1］。隨機(jī)模擬方法如Monte Carlo模擬（MCS）方法，拉丁超立方抽樣LHS方法［2］等，雖然適用范圍廣泛，但計算量較大；隨機(jī)攝動方法或正交展開理論則屬于數(shù)值計算方法。隨機(jī)攝動方法僅適用于參數(shù)變異系數(shù)較小的情況；而正交展開理論在求線性結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)時具有較高的精度，但在基函數(shù)的選擇上存在一些限制，且不能保證收斂性，因此在非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)的計算精度方面仍有待提高。
在結(jié)構(gòu)抗震可靠度分析方面，首次超越作為結(jié)構(gòu)動力可靠度分析的一種重要失效機(jī)制受到眾多學(xué)者的關(guān)注。其中涵蓋了離散化的Chapman?Kolmogorov方程方法［3］、隨機(jī)平均法［4］、反向Kolmogorov方程［5］以及極值分布方法［6］。概率密度演化方法［7?8］作為一種廣泛使用且有效的基于極值分布的方法，在隨機(jī)結(jié)構(gòu)動力系統(tǒng)的可靠度問題上具有重要意義。該方法的思路在于將輸入（如地震動模型）與結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)（如質(zhì)量、彈性模量、泊松比、剛度等）建立在一個隨機(jī)動力系統(tǒng)中，利用在隨機(jī)系統(tǒng)選點(diǎn)的方法解決首次超越等動力可靠度問題。這為隨機(jī)結(jié)構(gòu)動力系統(tǒng)解決動力可靠度問題提供了良好的計算框架。近年來，針對隨機(jī)輸入與隨機(jī)結(jié)構(gòu)的復(fù)合可靠度問題，研究者們也試圖從條件概率的角度求解隨機(jī)結(jié)構(gòu)的動力可靠性問題。如楊杰等［9］基于動力響應(yīng)跨越過程的Markov假設(shè)，建立了二階近似表達(dá)式以及基于Kriging模型的數(shù)值抽樣法。為了解決傳統(tǒng)方法在動力響應(yīng)求解效率與可靠性分析的精度上的不足，基于機(jī)器學(xué)習(xí)建立代理模型，研究了隨機(jī)結(jié)構(gòu)的動力可靠度問題［10］。相對于響應(yīng)的概率密度函數(shù)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的統(tǒng)計矩較易獲取，從矩的角度（如一次二階矩法［11］等）進(jìn)行隨機(jī)變量的描述并進(jìn)行隨機(jī)結(jié)構(gòu)可靠度分析方面的研究也獲得了進(jìn)展。王濤等［12］基于擴(kuò)展型共軛無跡變換建立了低維與高維的隨機(jī)系統(tǒng)。盡管對于隨機(jī)結(jié)構(gòu)問題，研究者們進(jìn)行了大量的研究，但在復(fù)合隨機(jī)動力可靠度分析的效率與精度平衡上仍有待進(jìn)一步深入。當(dāng)然，值得指出的是，MCS方法在理論上能夠解決任何動力可靠度問題，但在實(shí)際工程中計算成本較高，尤其是在實(shí)際的非線性結(jié)構(gòu)分析中可能會出現(xiàn)維度災(zāi)難的問題。因此，通常將MCS用作其他方法的校驗手段。
為了高效地進(jìn)行結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)分析，尋求高效的地震動輸入模型至關(guān)重要。通常情況下，地震動輸入模型的模擬是基于隨機(jī)過程理論進(jìn)行研究的。且往往涉及成百上千的隨機(jī)變量，因此隨機(jī)變量的個數(shù)或數(shù)學(xué)模型的維數(shù)直接影響地震動合成效率，進(jìn)而影響隨機(jī)地震響應(yīng)分析的效率。基于隨機(jī)過程理論，SHINOZUKA等［13］提出的譜表示模型因其簡單直觀、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)嚴(yán)密、精確度高等優(yōu)點(diǎn)，在結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)分析中被廣泛使用。然而，該模型需要對上百個隨機(jī)變量進(jìn)行模擬，極大地增加了實(shí)際工程問題分析的難度。為了減少隨機(jī)變量模擬個數(shù)以及提高模擬效率等，陳建兵等［14］提出了隨機(jī)過程諧和函數(shù)表達(dá)式，采用少量的項數(shù)就可以獲得精確的功率譜函數(shù)；LIU等［15］采用隨機(jī)函數(shù)思想構(gòu)造1～2個基本隨機(jī)變量的隨機(jī)函數(shù)形式，對隨機(jī)地震動進(jìn)行模擬。以上研究為結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)的高效分析提供了便利。
此外，隨機(jī)結(jié)構(gòu)分析時往往假設(shè)為某一確定分布，然而在實(shí)際工程中由于統(tǒng)計數(shù)據(jù)不足，難以獲得結(jié)構(gòu)參數(shù)的分布，但較易根據(jù)已有的數(shù)據(jù)統(tǒng)計出參數(shù)的前幾階統(tǒng)計矩如中心矩［16］、線性矩［17］。因此，在僅有樣本數(shù)據(jù)的情況下，通過計算統(tǒng)計矩來擬合分布，為分布未知情況下的可靠度分析帶來了新的解決思路。對于擬合分布問題，基于高階統(tǒng)計矩的立方正態(tài)變換使用隨機(jī)變量前四階中心矩來近似分布，這一方法得到了廣泛的應(yīng)用。例如，F(xiàn)isher?Cornish模型［18］、Hermite矩模型［19］，四矩標(biāo)準(zhǔn)化函數(shù)［20?21］、統(tǒng)一的Hermite多項式模型［22］等。由于高階中心矩對于尾部特征有很強(qiáng)的敏感性，在實(shí)際工程中，實(shí)驗數(shù)據(jù)和實(shí)地測量的數(shù)據(jù)較為有限，因而高階的中心矩存在較大的不確定性［23］。值得指出的是，在較小的樣本規(guī)模下線性矩比中心矩更穩(wěn)健［17， 23］，因此基于線性矩的正態(tài)變換也得到了一定的關(guān)注［24］。盡管線性矩法在不偏性和穩(wěn)健性方面的優(yōu)勢在評估暴雨和洪水資料序列的極值中得到了廣泛應(yīng)用［25?26］，但其在結(jié)構(gòu)抗震可靠度分析方面的研究還不夠深入。從統(tǒng)計矩代替分布函數(shù)進(jìn)行概率分析的觀點(diǎn)看來，在較小樣本規(guī)模下，與中心矩相比，使用線性矩顯得尤為重要。基于此，本文試圖利用線性矩的正態(tài)變換模型，從失效概率與可靠指標(biāo)的定義出發(fā)，建立基于線性矩的結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)，以實(shí)現(xiàn)隨機(jī)結(jié)構(gòu)的抗震可靠度分析。
本文首先介紹了線性矩的計算及基于線性矩的三次多項式轉(zhuǎn)換。接著提出了一種基于線性矩的隨機(jī)結(jié)構(gòu)抗震可靠度分析方法，并建立了基于線性矩的可靠性指標(biāo)表達(dá)式。該方法將隨機(jī)函數(shù)?譜表示模型作為輸入，基于線性矩的三次多項式轉(zhuǎn)換建立結(jié)構(gòu)參數(shù)分布未知的隨機(jī)變量，進(jìn)而將兩個基本隨機(jī)變量集合在一個隨機(jī)動力系統(tǒng)中。利用兩個基本隨機(jī)變量以及數(shù)論選點(diǎn)方法進(jìn)行非線性時程分析，從而計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的極值。最后以單自由度非線性結(jié)構(gòu)為例對本文提出的方法進(jìn)行了說明，給出了詳細(xì)的計算過程與計算結(jié)果，同時利用MCS方法驗證了本文方法的精確性。
1 線性矩的計算
1.1 概率分布的線性矩
線性矩由HOSKING［23］提出，定義為概率權(quán)重矩的線性組合。對于已知概率分布的連續(xù)隨機(jī)變量X，其累積分布函數(shù)和逆函數(shù)分別表示為F（X）和X（F）。因此，隨機(jī)變量X的概率權(quán)重矩表示為：
（1）
式中，r=0，1，2，…為概率權(quán)重矩的階數(shù)。那么，隨機(jī)變量X的第r階線性矩表示為：
（2）
式中，βi（X）（i=0，1，2，…）為根據(jù)式（1）獲得的概率權(quán)重矩，pr，i表示為：
（3）
類似于中心矩，使用線性偏態(tài)系數(shù)和線性峰度系數(shù)描述隨機(jī)變量X的偏度和峰度：
；（4）
式中，λ2（X）為第2階線性矩；為第r階線性矩，當(dāng)r=3，4時則分別為第3階與第4階線性矩。第2階、第3階與第4階線性矩均可以通過式（2）計算得到。
在實(shí)際的工程運(yùn)用中，在分布已知的情況下，根據(jù)式（1）和（2）可以獲得已知分布的隨機(jī)變量的前4階線性矩，表示為：
（5）
（6）
（7）
（8）
1.2 樣本的線性矩
在實(shí)際工程當(dāng)中，獲取變量的概率分布比較困難，因此變量的分布往往是未知的，但較易獲得變量的樣本。在這種情況下，可以通過樣本估計線性矩。假設(shè)為N個從小到大排列的隨機(jī)樣本，則前四階線性矩λ1X，λ2X，λ3X與λ4X為：
（9）
（10）
（11）
（12）
1.3 基于線性矩的三次多項式轉(zhuǎn)換
當(dāng)服從某一分布（正態(tài)分布與非正態(tài)分布）的隨機(jī)變量X的前4階線性矩已知時，三次多項式可以表示為［27］：
（13）
式中，U為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1）的隨機(jī)變量；S（U）為含有U的一元三次函數(shù)；a、 b、c、d為多項式系數(shù)，由如下等式確定［28］：
（14）
（15）
（16）
（17）
式（13）建立了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量與任意某一分布的隨機(jī)變量的映射關(guān)系，當(dāng)已知某一隨機(jī)變量的前4階線性矩時，可以利用式（13）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量的函數(shù)。特別地，在工程實(shí)踐中，對于某一隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)可以通過試驗獲取，進(jìn)而根據(jù)樣本試驗數(shù)據(jù)以及式（9）～（12）獲得該隨機(jī)變量的前4階線性矩。因此，在分布未知的情況下，通過式（13）與隨機(jī)變量的線性矩可以避免在工程中對隨機(jī)變量的假定。
2 分布未知條件下的隨機(jī)結(jié)構(gòu)抗震可靠度分析框架
2.1 基于主點(diǎn)與損失函數(shù)的隨機(jī)函數(shù)-譜表示模型
根據(jù)Priestley非平穩(wěn)隨機(jī)過程漸進(jìn)譜理論［29］，引入演變功率譜密度函數(shù)，則非平穩(wěn)地震動的譜表示為［30］：
（18）
式中，，，其中，為截止頻率；ak與bk為獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量。
從式（18）中可以看出，模擬地震動時需要個獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量即變量向量。為非平穩(wěn)地震動的功率譜密度函數(shù)，表示為：
（19）
式中，ω為圓頻率；為時頻調(diào)制函數(shù)，可以采用如下等式計算［31］：
，（20）
其中：
，（21）
式中，參數(shù)amf=0.25 s-1，bmf=0.251 s-1，cmf=0.005。
結(jié)合隨機(jī)函數(shù)思想［15］，即假設(shè)任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量為基本隨機(jī)變量的函數(shù)，則ak與bk分別表示為：
；；
=1，2，…，j（22）
式中，在區(qū)間服從均勻分布；，通常取值為；與k為一一映射關(guān)系。
實(shí)際上，根據(jù)式（22），利用MCS模擬對基本隨機(jī)變量產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，可以得到地震動加速度時程樣本。然而，為了高效地獲取地震動加速度時程樣本，有必要利用選點(diǎn)方法提高計算效率。
本文引入ZOPPè［32］提出的均勻分布單變量代表點(diǎn)計算公式，將在區(qū)間的基本隨機(jī)變量離散為，并表示為：
；（23）
式中，nsel為代表點(diǎn)的數(shù)量。
損失函數(shù)的最小值表示為：
（24）
使用損失函數(shù)的最小值可以量化使用不同數(shù)量的代表點(diǎn)時的誤差。此外，根據(jù)數(shù)論方法［33?34］并考慮魯棒估計，代表點(diǎn)的數(shù)量nsel可以確定為144、377、610、987以及1597等。因此，將式（23）與（24）代入式（18），可以獲得地震加速度時程的代表性樣本（）。
2.2 基于線性矩的結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)變量表達(dá)
當(dāng)考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)（質(zhì)量、彈性模量、泊松比、剛度等）不確定時，此時可以在LIU等［35］構(gòu)造的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的基礎(chǔ)上將隨機(jī)變量表示為一個基本隨機(jī)變量的形式。設(shè)αs與βs為一組不相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，它們可以表示為：
，
（25）
式中，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的逆函數(shù)；為基本隨機(jī)變量，在［0，2π］區(qū)間服從均勻分布。
當(dāng)一組不相關(guān)的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且它們的均值分別為與，變異系數(shù)分別為與時，可以將表示為：
，（26）
類似地，當(dāng)有Nr組不相關(guān)的隨機(jī)變量時，Nr組不相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量表示為：
，
（27）
式中，（）與j（）為一一映射關(guān)系，其計算方法同k與的一一映射關(guān)系。
當(dāng)結(jié)構(gòu)的參數(shù)為非正態(tài)隨機(jī)變量或隨機(jī)變量分布未知的情況下，本文利用線性矩的三階多項式即式（13）建立非正態(tài)隨機(jī)變量與正態(tài)隨機(jī)變量的關(guān)系。設(shè)一組非正態(tài)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，的前4階線性矩分別為、、、，的前4階線性矩分別為、、、，則：
，
（28）
式中，、、、為計算隨機(jī)變量的多項式系數(shù)；、、、為計算隨機(jī)變量的多項式系數(shù)。隨機(jī)變量和的多項式系數(shù)求解可以利用它們的前4階線性矩代入式（14）～（17）求得。對于非正態(tài)分布的前4階線性矩可以根據(jù)定義即式（5）～（8）求得。
隨機(jī)變量的分布未知時，根據(jù)式（9）～（12）可以獲得其前4階線性矩。需要指出的是，本文用一個基本隨機(jī)變量表示結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性是針對相互獨(dú)立的或不相關(guān)的隨機(jī)變量，對于考慮隨機(jī)變量相關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)的基本隨機(jī)變量表達(dá)還需進(jìn)一步研究與驗證。
為了更加方便地獲取常見非正態(tài)分布的前4階線性矩，根據(jù)式（5）～（8），表1給出了一些常見分布的參數(shù)與前4階線性矩的關(guān)系。當(dāng)有Nr組不相關(guān)的非正態(tài)隨機(jī)變量時，根據(jù)式（26）獲取Nr組標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量后，再根據(jù)式（28）計算Nr組非正態(tài)隨機(jī)變量。
表中，F為分布函數(shù)；μ和σ分別為分布的均值與標(biāo)準(zhǔn)差；α為分布的尺度參數(shù)；ξ為分布的位置參數(shù)。在均勻分布中α與β分別為數(shù)值中的最小值和最大值。
綜上，當(dāng)不考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定時，在整個結(jié)構(gòu)分析中，用一個基本隨機(jī)變量即可實(shí)現(xiàn)。當(dāng)考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定時，基于隨機(jī)函數(shù)的表達(dá)，可以用兩個基本隨機(jī)變量即與表達(dá)，此時可以采用好格子點(diǎn)法［36］即glp集合生成均勻散布點(diǎn)集，具體為：令為一個整矢量，滿足，及最大公約數(shù)（n，hi）=1（i=1，…，s）。令：
（29）
式中，qki表示第k行第i列的元素，；xki為好格子點(diǎn)集第k行第i列的數(shù)值。
集合稱為生成矢量（n；h1，…，hs）的格子點(diǎn)集。如果Pn在所有可能的生成矢量具有最小偏差，則Pn稱為glp集合。xki可以表示為：
（30）
根據(jù)好格子點(diǎn)法［36］，式（29）與（30）的參數(shù)h1、h2、n、s的取值可以根據(jù)表2進(jìn)行選取。
表2中的點(diǎn)集參數(shù)選取方式為：當(dāng)選取n=144時，對應(yīng)等式中的s、h1、h2分別為2、1、89。根據(jù)式（29）與（30），可以計算獲得n=144個代表的格子點(diǎn)，如圖1所示。圖1中，，代表的是144個均勻分布的代表點(diǎn)集。
最后，根據(jù)式（18）得到nsel=n條加速度時程后，利用時程分析方法可以計算得到結(jié)構(gòu)的響應(yīng)時程（如位移響應(yīng)時程），并逐條統(tǒng)計nsel組響應(yīng)時程的極值Si（）。
2.3 基于線性矩的結(jié)構(gòu)動力可靠指標(biāo)表達(dá)
設(shè)結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的界限為R（一般設(shè)為常數(shù)），功能函數(shù)為G，則功能函數(shù)G的表達(dá)式為：
（31）
利用式（31）即可計算得到功能函數(shù)G的樣本數(shù)據(jù)。接著，根據(jù)式（9）～（12）可以計算得到nsel個樣本下功能函數(shù)G的前4階線性矩λ1G、λ2G、λ3G以及λ4G。
根據(jù)可靠度的定義，功能函數(shù)G對應(yīng)的失效概率Pf可以表示為：
（32）
根據(jù)等概率變換，則：
（33）
式中，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)；為式（13）的逆函數(shù)；M=［λ1G" λ2G" λ3G λ4G］為前4階線性矩的向量。
接著，式（33）可以表示為：
（34）
根據(jù)失效概率與可靠指標(biāo)的定義，可靠指標(biāo)可以表示為：
（35）
對于的求解，實(shí)質(zhì)上為求解一元三次方程式（13）的根U。
（36）
對于該方程的求解可根據(jù)解析法如盛金公式、卡爾丹公式等進(jìn)行計算。當(dāng)判別式時，可以得到方程的一個實(shí)根，表達(dá)式為：
（37）
其中：
，
，
，，（38）
因此，根據(jù)式（35）與（37），本文推導(dǎo)獲得的基于前4階線性矩得到的可靠指標(biāo)βLM為：
（39）
當(dāng)判別式時，U可以表示為：
（40）
式中，，其中（Agt;0，-1lt;γlt;1）。
類似地，此時可靠指標(biāo)βLM表示為：
（41）
2.4 本文提出的線性矩法的分析步驟
基于上述2.1～2.3節(jié)分析，本文建立了隨機(jī)結(jié)構(gòu)抗震可靠度線性矩法的分析步驟，其實(shí)施流程如圖2所示：
（1） 生成非平穩(wěn)隨機(jī)地震動模型。利用一個基本隨機(jī)變量，以及隨機(jī)函數(shù)譜表示模型生成非平穩(wěn)隨機(jī)地震動。
（2）分布未知（已知前4階線性矩）的結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)變量表達(dá)。利用另一個基本隨機(jī)變量，獲取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量，進(jìn)而利用其前四階線性矩表達(dá)該分布未知的隨機(jī)變量。
（3） 構(gòu)造2個基本隨機(jī)變量（， ）的隨機(jī)動力系統(tǒng)并進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析。在2個基本隨機(jī)變量描述的隨機(jī)動力系統(tǒng)中進(jìn)行非線性時程分析，計算結(jié)構(gòu)的響應(yīng)極值S。
（4） 根據(jù)結(jié)構(gòu)分析計算功能函數(shù)G的前4階線性矩λ1G、λ2G、λ3G、λ4G設(shè)定界限R，求解功能函數(shù)G=R-S的前4階線性矩。
（5） 計算基于線性矩λ1G、λ2G、λ3G、λ4G的可靠指標(biāo)。將功能函數(shù)的前4階線性矩代入式（14）～（17），求解多項式系數(shù)a、b、c、d，進(jìn)而根據(jù)式（39）或（41）求解基于線性矩的可靠指標(biāo)βLM。
3 算例分析
考慮非平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵下的非線性單自由度體系如圖3所示，非線性為雙線型恢復(fù)力模型即恢復(fù)力fs?位移x的關(guān)系曲線如圖4所示。其中xy為屈服位移，設(shè)為0.01 m。k1與k2分別為初始剛度和折減后剛度，折減系數(shù)即k1/k2=0.2。
該單自由度體系的運(yùn)動方程為：
（42）
式中，m、、k分別為體系的質(zhì)量、阻尼系數(shù)、剛度；、、分別為體系的相對加速度、相對速度、相對位移，它們是關(guān)于時間t的函數(shù)。
本文考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)m與k1的分布未知，但能夠通過樣本數(shù)據(jù)獲得其前4階線性矩。為了獲得參數(shù)的前4階線性矩，假設(shè)m為正態(tài)分布，k1為耿貝爾分布，進(jìn)而根據(jù)其定義獲得不確定性參數(shù)的分布信息如表3所示。另外考慮阻尼系數(shù)= 36612 N?s/m。根據(jù)表3中的前4階線性矩可以計算得到多項式系數(shù)如表4所示。
其功率譜密度函數(shù)采用Clough?Penzien譜［37］：
（43）
式中，和分別為場地土的卓越圓頻率和阻尼比；和為地震加速度時程低頻分量的參數(shù)，， ；S0為基巖地震動加速度白噪聲功率譜密度，它反映地震動的強(qiáng)弱程度，也簡稱為譜強(qiáng)度因子，表示為：
（44）
式中，為地震地面加速度最大值的均值；為峰值因子。Clough?Penzien譜的參數(shù)取值如表5所示，其中，T為地震波持續(xù)總時間。
基于隨機(jī)函數(shù)譜表示模型，利用2個基本隨機(jī)變量生成非平穩(wěn)地震加速度時程樣本（本算例選取1597個點(diǎn)），圖5為1597條非平穩(wěn)地震加速度時程樣本集合及典型時程樣本。
接著，根據(jù)小波?伽遼金方法［38］，計算得到演變功率譜如圖6所示。圖7為根據(jù)演變功率譜得到的典型時刻即t=8，9，10 s的功率譜。從圖7中可以看出，雖然個別點(diǎn)擬合度較差，但整體曲線的計算功率譜與目標(biāo)功率譜能夠很好地擬合。對于個別點(diǎn)精度低的問題，特別是在10 s時可以通過增加模擬的樣本數(shù)提高擬合的精度。
最后，根據(jù)非線性時程分析方法將1597條地震加速度時程進(jìn)行逐條分析，計算得到的非線性結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)樣本如圖8所示。圖9給出了一次輸出樣本的滯回曲線（恢復(fù)力?位移曲線）。從圖9中可以看出滯回曲線具有明顯的雙線型特性。利用本文方法得到位移響應(yīng)極值的樣本點(diǎn)如圖10所示。
設(shè)定界限R=180 mm，利用本文方法計算得到功能函數(shù)的前4階線性矩如表6所示。圖11為1597個樣本下的功能函數(shù)直方圖。從圖11中可以看出，功能函數(shù)擬合分布與正態(tài)分布有一定的差異，說明功能函數(shù)的分布反映出一定的非正態(tài)特性。從圖11中可以分析得到，功能函數(shù)的非正態(tài)分布特性利用其前4階線性矩表達(dá)，反映了利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的三次多項式即式（13）表達(dá)的有效性與映射關(guān)系。為了將本文方法計算結(jié)果與MCS方法計算結(jié)果對比，表6給出了不同樣本下MCS方法計算結(jié)果。從表6中可以看出，樣本數(shù)為105時的計算結(jié)果比樣本數(shù)為2×104～8×104時的結(jié)果穩(wěn)定；同時計算失效概率pf的變異系數(shù)，其中，，βMCS為MCS模擬獲得的可靠指標(biāo)，Nsim為模擬的樣本數(shù)，失效概率的變異系數(shù)控制在15%以內(nèi)。因此，本算例將105次MCS方法計算結(jié)果作為校驗值進(jìn)行驗證。利用本文方法，根據(jù)獲得的位移響應(yīng)極值計算功能函數(shù)的前4階線性矩與可靠指標(biāo)，結(jié)果如表6所示。從表6中可以看出，本文僅需1597個樣本點(diǎn)，其前四階線性矩與可靠指標(biāo)均與MCS方法計算結(jié)果很好地擬合，前四階線性矩的最大相對誤差為1.21%，可靠指標(biāo)的相對誤差為3.88%。
為了進(jìn)一步說明本文方法的精確性，表7給出了不同界限下的前4階線性矩。從表7中可以看出，隨著界限的增大，第1階線性矩即均值隨之增大，第2、3、4階線性矩保持不變。圖12給出了不同界限下本文方法（1597個樣本）、一次二階矩法（1597個樣本）、超拉丁抽樣LHS方法（50000個樣本）與MCS方法（100000個樣本）計算的可靠指標(biāo)。從圖12中可以看出，在不同界限下，本文方法、LHS方法以及MCS方法計算結(jié)果曲線擬合良好，而一次二階矩法由于只用了前2階中心矩的信息，在界限不斷增大時，與MCS方法及LHS方法計算結(jié)果的差異逐漸增大。盡管LHS方法與MCS方法能夠保證精度，但本文方法在1597個樣本下仍能保持與LHS方法及MCS方法同樣的精度，體現(xiàn)了本文方法的高效性。值得注意的是，在圖12中當(dāng)界限R=180 mm時，本文方法計算結(jié)果與MCS方法計算結(jié)果產(chǎn)生了一定的偏差，可以預(yù)測本文方法在計算高可靠指標(biāo)時可能會存在一定的誤差。存在的問題可能在于通過本文方法計算的前4階線性矩與MCS方法計算結(jié)果存在一些差異，導(dǎo)致可靠指標(biāo)也隨之產(chǎn)生差異。針對該問題，可以通過增加計算樣本點(diǎn)來提高精度。
4 結(jié)" 論
本文考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)分布未知的情況，將基于線性矩的一元三次多項式與降維表示的隨機(jī)函數(shù)?譜表示模型結(jié)合，構(gòu)造了2個基本隨機(jī)變量的隨機(jī)動力系統(tǒng)，提出了一種隨機(jī)結(jié)構(gòu)抗震可靠度的線性矩法，建立了分布未知條件下的隨機(jī)結(jié)構(gòu)抗震可靠度分析的方法論框架。通過構(gòu)造描述隨機(jī)動力系統(tǒng)的2個基本隨機(jī)變量，并運(yùn)用數(shù)論方法確定其代表點(diǎn)集，本文方法能夠有效地計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的極值和功能函數(shù)的樣本及線性矩。通過求解一元三次方程的根并基于可靠度的定義，提出了基于線性矩的結(jié)構(gòu)抗震可靠指標(biāo)表達(dá)式。本文還通過非線性單自由度算例分析，研究了在結(jié)構(gòu)參數(shù)分布未知情況下的問題，展示了所提方法的實(shí)際效用。具體結(jié)論如下：
（1）以線性單自由度為例，考慮隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)時僅需2個基本隨機(jī)變量，且通過好格子點(diǎn)集能夠表示2個基本隨機(jī)變量。利用基本隨機(jī)變量生成了1597條地震加速度時程，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行非線性隨機(jī)地震響應(yīng)分析。通過分析獲得了結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)以及位移響應(yīng)極值，并進(jìn)一步計算了確定界限下功能函數(shù)的前4階線性矩。
（2）通過將本文方法得到的結(jié)果與傳統(tǒng)的MCS方法，LHS方法以及一次二階矩方計算結(jié)果進(jìn)行對比，表明利用本文方法獲得的功能函數(shù)前4階線性矩及可靠指標(biāo)均能很好地與MCS方法計算結(jié)果擬合，驗證了方法的精確性。這為解決隨機(jī)結(jié)構(gòu)抗震可靠性分析問題提供了一種可行的途徑。
（3）總體來看，本文構(gòu)建了結(jié)構(gòu)參數(shù)分布未知下前4階線性矩的隨機(jī)結(jié)構(gòu)抗震可靠度分析框架。雖然目前的研究僅涵蓋了單自由度系統(tǒng)，但該方法可以推廣至多自由度非線性結(jié)構(gòu)分析中。然而，對于高可靠性（或小失效概率）以及不同非線性情況（包括不同滯回恢復(fù)力模型），仍需要進(jìn)一步深入研究和探索。
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第一作者：吳羅成（1983―），男，博士研究生。E-mail： 261631662@qq.com通信作者： 張龍文（1988―），男，博士，講師。E-mail： zhanglongwen@hunau.edu.cn
基金項目："國家自然科學(xué)基金資助項目（52009040）；湖南省自然科學(xué)基金資助項目（2022JJ40188）；長沙市自然科學(xué)基金資助項目（kq2202234）；湖南省教育廳科學(xué)研究重點(diǎn)項目（23A0176）；湖南省研究生科研創(chuàng)新項目（CX20220684）
