由分數Brown運動驅動的EGARCH模型

摘要： 針對傳統EGARCH模型難以捕捉長記憶性的問題， 通過引入分數Brown運動提出一個fBm-EGARCH模型， 給出模型的二階矩、 四階矩及協方差函數性質， 并理

論證明其長期記憶性. 數值模擬結果表明， 該模型不僅能準確捕捉短期波動， 還能反映長期記憶性， 從而驗證了模型的有效性.

關鍵詞： EGARCH模型； 分數Brown運動； 長期記憶性； 流動性

中圖分類號： O211.61" 文獻標志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2025）01-0041-06

EGARCH Model Driven by Fractional Brownian Motion

WANG Weiying， HAN Yuecai

（College of Mathematics， Jilin University， Changchun 130012， China）

Abstract： Aiming at" the problem that the traditional EGARCH model was difficult to capture long-term memory，

we proposed an" fBm-EGARCH model by introducing fractional Brownian motion. We gave the second-order moment， the fourth-order moment and covariance function

properties of the model， and"" theoretically" proved its long-term memory. Numerical simulation results show that the model can not only accurately capture short-term fluctuations，

but also reflect long-term memory， which verifies the effectiveness of the model.

Keywords： EGARCH model; fractional Brownian motion;" long-term memory; liquidity

收稿日期： 2024-11-06.

第一作者簡介： 王瑋瑩（2001—）， 女， 漢族， 碩士研究生， 從事概率論和數理統計的研究， E-mail： wangwy23@mails.jlu.edu.cn.

通信作者簡介： 韓月才（1976—）， 男， 漢族， 博士， 教授， 博士生導師， 從事概率論和數理統計的研究， E-mail： hanyc@jlu.edu.cn.

基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 12471417）.

在金融市場中， 資產價格的波動率是衡量市場風險的重要指標. 為更好地刻畫金融時間序列中的波動特性， 目前已提出了多種波動率模型. 自Engle［1］提出自回歸條件異方

差（ARCH）模型以來， 波動率建模受到廣泛關注. ARCH模型通過引入時間序列中的條件異方差， 刻畫了資產價格波動率的“集群效應”， 即波動率在特定時間段內表現出持續性和自相

關性. 為改進ARCH模型在長記憶特性上的局限性， Bollerslev［2］提出了廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型. GARCH模型通過在 ARCH模型基礎上增加自回歸項，

使得波動率的波動具有更長時間的依賴性， 因此該模型廣泛應用于金融領域［3-4］中.

傳統GARCH模型無法充分解釋負面沖擊對資產價格波動的更強影響， 這種非對稱性問題在實際金融市場中尤為常見. 為解決該問題， Nelson［5］提出了指數

廣義自回歸條件異方差（EGARCH）模型. EGARCH模型通過對條件方差的對數變換， 不僅避免了傳統GARCH模型對波動率為非負值的限制， 還能有效捕捉資產收益中的不對稱效應， 即“

杠桿效應”， 該模型在實證研究中應用廣泛［6-7］. 盡管EGARCH模型改進了對波動率不對稱性的刻畫， 但在處理長記憶性問題上仍存在局限性.

在金融市場中， 流動性是影響資產價格波動的重要因素， 它反映了資產在市場中迅速轉換為現金而不導致價格顯著變動的能力. 流動性不僅影響資產的交易成本和市場的運行效率， 還直

接影響資產的波動率， 尤其在市場出現極端波動時， 其影響尤為顯著. 近年來， 研究者越來越關注流動性對資產波動率的作用機制， 尤其是在金融危機等高波動性環境下， 流動性風

險成為決定資產價格和投資者行為的關鍵因素之一. Amihud等［8］研究表明， 流動性越差， 投資者要求的風險溢價越高， 進而導致資產波動率的上

升. Pstor等［9］進一步研究了流動性與資產回報之間的關系， 提出流動性波動會顯著影響資產的系統性風險， 從而推動了流動性風險與波動率

建模的結合發展. 此外， Bekaert等［10］將流動性納入波動率模型， 提出流動性沖擊可以增加資產價格的波動， 并在不同市場環境下對流動性對波動率的作用進行了驗證.

分數Brown運動（fBm）作為一種能描述長記憶性的隨機過程， 受到廣泛關注. 分數Brown運動通過引入Hurst指數， 刻畫了自相關性和持續性特征， 使其在金融數據建模中展現了獨

特優勢. Comte等［11］將分數Brown運動引入金融波動率模型， 證明了其在描述長記憶方面的有效性. 此后， 越來越多的研究者將分數Brown運動與不

同的GARCH類模型相結合， 用于改進金融市場波動率的刻畫［12-14］.

基于此， 本文通過在EGARCH模型的基礎上引入流動性， 并用分數Brown運動對其進行刻畫， 構建一個fBm-EGARCH模型， 以更好地捕捉市場波動率的長期依賴性和不對稱沖擊效應. 將

描述長記憶性的分數Brown運動與EGARCH模型相結合， 不僅能有效捕捉波動率的動態特征， 還能刻畫流動性對波動率的影響.

1 預備知識

1.1 EGARCH模型

EGARCH模型是Nelson［5］基于GARCH模型提出的擴展模型， 旨在解決波動率的非對稱性和負值方差問題. EGARCH模型基本形式為

ln（σ2t）=ω+βln（σ2t-1）+γZt-1+α（Zt-1-E（Zt-1）），

其中： 常數項ω決定波動率的水平； 系數α，β，γ滿足0lt;α，β，γlt;1； σ2t表示t時刻的條件方差， 用于刻畫波動率. 令Zt=ut/σt為標準化殘差，

用于調整非對稱效應的基準， 其服從正態分布， 滿足E（Zt）=0， E（Z2t）=1.

EGARCH模型在捕捉波動率的動態變化方面具有顯著優勢， 能有效避免負值方差問題. 通過引入非對稱項γ， EGARCH模型可靈活地解釋金融市場中的杠桿效應. 但由于

波動率的不對稱性， EGARCH模型本身并不具有長期記憶性.

1.2 分數Brown運動

4 數值模擬

為證明本文構建的fBm-EGARCH模型的有效性， 對fBm-EGARCH模型（3）進行了數值模擬， 且所有實驗過程都重復100次.

圖1為不同H值時fBm-EGARCH模型的樣本路徑. 由圖1可見： 當H=0.5時， 樣本路徑變化較劇烈、 波動性較大， 表明模型有較弱的記憶

性； 當H=0.75時， 隨著Hurst指數的增大使得樣本路徑更平滑， 表現出較強的自相關性， 同時路徑趨勢具有持續性， 說明過去的運動趨勢可能會影響未來的樣本運動方向； 當H

=0.9時， 樣本路徑較平滑、 波動性最小， 此時表現出高度自相關性， 表明模型具有超強的記憶性. 實驗結果證明了理論模型的有效性.

圖2為fBm-EGARCH模型在不同Hurst指數下模型的自相關函數圖（ACF）， 其中自相關函數形式如式（2）. 由圖2可見： 當H=0.5時， 自相關函數圖像出現快速衰退的趨勢， 在較長

滯后時間保持自相關， 呈現出持久性; 當H=0.75時， 自相關函數圖像衰減速度明顯變慢， 在較長滯后時間內仍保持較高的自相關， 呈現出持久性， 表明過去的趨勢更可能影響未來的趨勢

， 這與金融市場中常見的行為一致； 當H=0.9時， 自相關函數的曲線下降極緩慢， 表現出高度持久性及強烈長期記憶性， 表明在長時間滯后下仍然存在顯著的自相關.

上述實驗結果表明， 本文模型為金融市場波動性分析提供了更精確的工具， 有助于改善風險管理和投資決策.

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（責任編輯： 趙立芹）