基于徑向基函數與Sigmoid函數的改進粒子群算法

摘" 要：針對粒子群算法求解精度低和收斂速度慢等問題，提出一種基于徑向基函數與Sigmoid函數的粒子群算法。通過引入徑向基函數和Sigmoid函數，分別對慣性權重和位置更新公式進行改進，從而提高算法的全局搜索能力和搜索效率；最后利用6個基準測試函數對算法的性能進行實驗驗證和分析。實驗結果表明，改進后的算法能夠收斂到全局最優值，并且在收斂速度和求解精度上均有較大提高。

關鍵詞：徑向基函數；慣性權重；Sigmoid函數；粒子群算法；基準測試函數

中圖分類號：TP301" " " 文獻標志碼：A" " " " "文章編號：2095-2945（2025）03-0066-04

Abstract： Aiming at the problems of low precision and slow convergence speed of particle swarm optimization algorithm， a particle swarm optimization（PSO） algorithm based on radial basis function and Sigmoid function is proposed. By introducing a radial basis function and a Sigmoid function， the inertia weight and position update formulas are improved respectively， thereby improving the global search ability and search efficiency of the algorithm. Finally， the performance of the algorithm is experimentally verified and analyzed using six benchmark functions. Experimental results show that the improved algorithm can converge to the global optimal value， and the convergence speed and solution accuracy are greatly improved.

Keywords： radial basis function; inertia weight; Sigmoid function; particle swarm optimization（PSO）; benchmark function

粒子群優化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法最早是由Kennedy博士和Eberhart博士于1995年提出的一種受鳥類群體行為啟發的群體智能算法[1]。由于粒子群算法具有簡單、易實現且收斂速度快等優點，該算法已被許多研究者廣泛應用在函數優化、電磁問題等領域[2]。

為了提高粒子群算法的收斂速度，近年來，許多學者對其進行了大量的改進。朱童等[2]對位置公式進行改進，從而提高了算法的搜索效率。戴文智等[3]利用對數函數對慣性權重進行改進，算法的穩定性得到了進一步提高。文獻[4]利用柯西密度函數和分布函數對慣性權重和位置更新公式分別進行了動態調整，實驗結果表明，算法具有更好的收斂性和穩定性。

為了進一步提高粒子群算法的收斂速度和解的收斂精度，本文提出了一種基于徑向基函數與Sigmoid函數的改進粒子群算法，采用徑向基函數和Sigmoid函數分別對慣性權重和位置更新公式進行改進，從而提高算法的全局搜索能力。本文分別采用線性遞減慣性權重PSO算法（LWPSO）[5]，位置加權PSO算法[2]（IPSOPW），文獻[4]提出的PSO算法（IWPSOCD），以及本文改進的PSO算法（IPSORS）進行比較。

1" 基本粒子群算法

假設在一個N維的目標搜索空間中，種群中有m 個粒子，那么第i個粒子的位置表示為Xi=（xi1，xi2，…，xiN），粒子的速度為Vi=（Vi1，Vi2，…，ViN），其中i=1，2，…，m。粒子迄今為止搜索到的最優位置記為pbest，整個粒子群搜索到的最優位置記為gbest[6]。粒子速度和位置更新公式如下

式中：w為慣性權重；c1和c2為學習因子，通常取值為2；r1和r2為[0，1]內的隨機數；t為當前的迭代次數。

2" 改進的粒子群算法

2.1" 慣性權重

近年來，許多學者針對粒子群算法提出了多種慣性權重的改進策略[7]，如利用對數函數[3]，柯西密度函數[4]，Sigmoid函數[8]以及高斯函數[9]對粒子群算法中的慣性權重進行改進，這些改進的策略在一定程度上提高了算法的性能。結合上述分析，本文引入了徑向基函數，其表達式為

式中：σ為基函數的擴展常數或寬度。該函數圖像如圖1所示（σ=1，rgt;0）。

由圖1可知，徑向基函數圖像呈遞減趨勢，結合文獻[3-4]和文獻[8-9]中的慣性權重調整策略及實驗結果可知，當慣性權重呈遞減趨勢時，算法的性能較好。據此，本文將慣性權重公式調整為

2.2" 位置公式的更新

Sigmoid函數是一種具有S形曲線的數學函數[10]，其表達式為

其函數圖像如圖2所示。

由圖2可知，Sigmoid函數圖像是先快速增加，再緩慢增加，結合文獻[4]，根據Sigmoid函數的這一特點，本文提出如下位置更新公式

。" "（6）

試驗結果表明，改進的算法可以有效避免粒子陷入局部最優，從而提高算法的搜索效率。

3" 數值實驗和結果分析

3.1" 測試函數及參數設置

本文選取如下6個基本測試函數來驗證算法的有效性。

1）Sphere函數為

2）Schewefel's Problem2.22函數為

3）Griewankan函數為

4）Rastrigin函數為

5）Schaffersf 6函數為

6）Ackely函數為

式中：f1—f2為單峰函數，f3—f6為多峰函數。6個函數的最優值都為0。

3.2" 參數α的選擇

Rosenbrock函數是一個單峰，很難極小化的病態二次函數，所以本文利用Rosenbrock函數對本文改進算法進行測試，測試函數運行50次后取最優值、平均值和方差，結果見表1。由表1可得：當參數α=0.1時，算法的效果較好。因此，本文改進算法中取α=0.1。

3.3" 實驗結果與分析

為了驗證本文算法的有效性，利用本文3.1小節中所述的6個測試函數對本文中的4種算法分別進行測試，各算法分別運行50次，取最優值、平均值和方差作為比較項，試驗結果見表2。

圖3給出了4種算法在6個基本測試函數上的適應值進化曲線，圖中橫軸為迭代次數，縱軸為適應度平均值。為了便于觀察和比較，圖3中均對適應度平均值取以10為底的對數。

對表2中的數據進行對比可以看出，與其他改進算法相比，本文提出算法的方差都為0，這說明算法的穩定性比本文中其他算法的穩定性更高。同時，本文算法的最優值和平均值也都比較好，且本文改進的算法在5個測試函數上能夠找到最優值0，說明算法的解的收斂精度更高。

由圖3中的6個子圖可以很直觀地看出，本文提出的算法隨著迭代次數的增加，能夠以更少的迭代次數收斂到最優值。此外，由圖3（a）—圖3（e）可看出，本文提出的算法能快速地收斂到全局最優值，同時收斂速度比其他3種算法更快，尤其是在多峰函數上，本文的算法表現更優。

4" 結束語

本文針對標準粒子群優化算法收斂速度慢等缺點，提出了一種基于徑向基函數與Sigmoid函數的改進粒子群算法。該算法利用徑向基函數作為慣性權重更新公式，從而提高粒子的全局搜索能力。利用Sigmoid函數的性質對位置更新公式進行改進，從而提高算法的搜索效率。仿真實驗表明，與已有文獻中的改進算法相比，本文的算法具有收斂速度快、算法精度高等特點。同時，本文算法尤其在多峰函數問題上有很好的尋優能力。

參考文獻：

[1] KENNEDY J， EBERHART R C. Particle swarm optimization [C]//Proceedings of the 1995 IEEE International Conference on Neural Networks. Piscataway： IEEE， 1995：1942-1948.

[2] 朱童，李小凡，魯明文.位置加權的改進粒子群算法[J].計算機工程與應用，2011，47（5）：4-6，16.

[3] 戴文智，楊新樂.基于慣性權重對數遞減的粒子群優化算法[J].計算機工程與應用，2015，51（17）：14-19，52.

[4] 黎紅玲，羅林，蒲冬梅，等.基于柯西分布的粒子群優化算法改進[J].電子科技，2016，29（1）：33-35，39.

[5] 馮浩，李現偉.一種改進的粒子群優化算法慣性權值遞減策略[J].蚌埠學院學報，2015，4（6）：21-24.

[6] 鄭春穎，鄭全第，王曉丹，等.基于試探的變步長自適應粒子群算法[J].計算機科學，2009，36（11）：193-195.

[7] 陳貴敏，賈建援，韓琪.粒子群優化算法的慣性權值遞減策略研究[J].西安交通大學學報，2006，40（1）：53-56，61.

[8] 黃洋，魯海燕，許凱波，等.基于S型函數的自適應粒子群優化算法[J].計算機科學，2019，46（1）：245-250.

[9] 艾兵，董明剛.基于高斯擾動和自然選擇的改進粒子群算法[J].計算機應用，2016，36（3）：687-691.