探究演繹邏輯之旅

[摘" 要] 研究者通過“數(shù)字藏身何處”的教學，旨在培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，讓學生逐步掌握單條件演繹推理、關聯(lián)推理以及復合推理等。

[關鍵詞] 推理意識;跨學科學習;九宮格活動

推理意識是學生在生活中對邏輯推理過程的初步感悟。在小學低年級階段，學生已具備理解基本演繹推理流程的能力，并能夠運用推理技巧進行思考和使用數(shù)學語言進行表達?，F(xiàn)行教材在“數(shù)學廣角”單元中只提供了一節(jié)關于演繹推理的基礎課程，后續(xù)內(nèi)容的拓展并不充分。鑒于此，為了提升學生演繹推理意識，筆者以九宮格數(shù)字填充游戲為核心活動設計了一節(jié)拓展課程——“數(shù)字藏身何處”，通過富有吸引力的游戲形式引導學生參與演繹推理的過程，以此促進學生推理意識的發(fā)展。

一、教學過程

1. 規(guī)則認識，共識構(gòu)建

師：孩子們，如圖1，想象一下，這個九宮格是一個夢幻城堡，每個格子都代表一個舒適的新家?，F(xiàn)在，我們的三個小勇士——小明、小強和小紅已經(jīng)找到各自新家的位置。小明在上層的第二個格子，小強在中層的第一個格子，小紅呢？

生（齊聲答）：她在下層的第三個格子！

師：沒錯，小紅就在那里找到自己的新家。現(xiàn)在，讓我們來幫助數(shù)字寶寶找到屬于它們的新家吧。（出示課題：數(shù)字藏身何處）你們看，如圖2，數(shù)字9和數(shù)字3正在尋找它們的新家位置。它們只能住在有星星標記的地方，不能靠近那些有叉叉標記的禁地哦。

生1：數(shù)字9一定會在中層的第二個格子里！

師：哦？你這么確定嗎？

生1：因為那里是唯一有星星的格子，而且沒有叉叉！

老師：你的眼睛真尖！那數(shù)字3呢？

生2：數(shù)字3有很多選擇，除了叉叉標記的地方，它可以住在上層的第三個格子、中層的第一個格子，或者下層的第一個格子里。

師：太棒了！你的思維真是既開闊又靈活。當我們表達想法時，像生2這樣來連接思路，可以讓我們的表達更加清晰有力?，F(xiàn)在，請仔細思考，如果只告訴你們數(shù)字4在它所在的那一行的最前面，你們覺得數(shù)字4可能在哪里呢？

生3：我覺得數(shù)字4可能在上層的第一個格子里！

師：有這種可能性哦！那你為什么不說“一定”呢？

生4：因為九宮格有三層，所以數(shù)字4可能出現(xiàn)在上層的第一個格子、中層的第一個格子或下層的第一個格子里（如圖3）。

學生小結(jié)：在解決數(shù)學問題時，我們通常需要依據(jù)給定的條件來推斷未知數(shù)的位置。某些條件可以明確指出未知數(shù)的確切位置，而其他條件則只能限定未知數(shù)可能出現(xiàn)的區(qū)域。在后者的情況下，通過細致的分析和邏輯推理，我們能夠識別并列舉出所有可能的解決方案。這對于培養(yǎng)學生的批判性思維和解決問題的能力至關重要。

師：非常好！你們的分析非常細致。有時候，一些信息雖然不能直接告訴我們確切的答案，但能幫助我們縮小搜索范圍。最后，如果我們有兩個數(shù)字5和9，它們可以選擇的位置各有兩個，你們能幫它們找到新家嗎？

生5：如果數(shù)字5選擇了上層的第二個格子，那么數(shù)字9就只能住在上層的第三個格子里。反之亦然！

師：非常棒！你的邏輯思維能力非常強。當我們面對兩個選擇時，只要確定了其中一個的位置，另一個也就迎刃而解了。今天的探險就到這里，希望你們在未來的旅程中也能保持這種勇敢和智慧，不斷探索未知的世界。

學生小結(jié)：在數(shù)學邏輯中，若存在一組條件，規(guī)定兩個不同的元素必須分別位于兩個指定的位置之一，則一旦確定其中一個元素的具體位置，另一個元素的位置也將自動確定。這種邏輯關系體現(xiàn)了排列組合原理中的互斥性原則，即在給定的約束下，元素間的位置分配是唯一的。因此，在處理此類問題時，優(yōu)先確定任一元素的位置，即可推導另一元素的位置，確保整個系統(tǒng)的一致性和完整性。

設計意圖：確立共識對于明確推理的前提條件至關重要。在此環(huán)節(jié)，教師旨在與學生建立共識：一是關于位置描述的共識，采用“上、中、下、1、2、3”等術語來指代橫向序列的位置，并統(tǒng)一采取先行后列的方式描述數(shù)字所在格子的具體位置，這是后續(xù)有效溝通的基礎;二是關于表達思考過程的共識，激勵學生運用“因為”“所以”“可能”“一定”等詞匯來闡述思考過程，這不僅有助于培養(yǎng)學生的表達能力，也有助于提升他們思維的嚴密性和嚴謹性;三是關于基本邏輯的共識，符號“★”用于指示數(shù)字可能所在的確切位置，而“×”則用于排除數(shù)字在特定格子中的存在可能性。根據(jù)所提供的信息，有時可以直接得出結(jié)論，有時則可能得到多種潛在的答案;當兩個數(shù)字可選擇A或B兩個位置時，一個數(shù)字的位置被確定，另一個數(shù)字的位置也隨之確定。

2. 演繹邏輯，體驗思維之旅

（1）初試鋒芒

①提出挑戰(zhàn)，激勵學生獨立解題

師：在這個九宮格的游戲中，我們要巧妙地安排數(shù)字1到9，每個數(shù)字恰好占用一個格子，且不允許任何數(shù)字重復出現(xiàn)。同時，我們還要遵守兩項特別的規(guī)則：帶有“★”標記的格子是數(shù)字的理想家園，而任何帶有“×”標記的格子都是數(shù)字的禁止之地，數(shù)字絕不能踏入這些被標記的區(qū)域（如圖4）。

②促進對話，強化學生語言表達

師：小朋友們，你們觀察到了嗎？這些星星好像在給我們引路。誰愿意分享一下，你是如何根據(jù)這些星星的光芒來找到數(shù)字的家？

生6（興奮）：我注意到了！這些帶星標的格子就像是數(shù)字的安全港，它們告訴我2，7，4，6，8，5，3這幾個數(shù)字應該去哪里。我就像是一個偵探，根據(jù)線索，把它們一個個放到正確的位置上。我發(fā)現(xiàn)，剩下的1和9就只有一個合適的地方可以去了。特別是1，它不能躲到下1的位置，所以我就把它放在了上3的家里。這樣一來，9就乖乖地跑到下1的位置上。

設計意圖：本設計旨在通過多幅圖表的呈現(xiàn)，考查學生對先前共識的理解。盡管看似信息量龐大，但實際上，通過識別“★”標記的關鍵位置，學生可以迅速鎖定特定數(shù)字的放置點。同時，“×”標記的排除法則進一步縮小了數(shù)字可能的范圍。此過程不僅鍛煉了學生快速識別信息和做出決策的能力，還增強了他們解決問題的自信心。此外，在面對僅有兩個可能位置的情形時，學生能夠深刻體會排除法的邏輯推理——即一個選項被排除，則另一選項為必然之選。這一經(jīng)驗的積累對于學生未來在更復雜問題情境中發(fā)展推理意識具有重要意義。

（2）提升難度

①提出挑戰(zhàn)，激勵學生獨立解題

師：一個充滿神秘色彩的九宮格迷宮，每個格子都等待著數(shù)字的到來。你的任務是將1到9的數(shù)字巧妙地安置進去，每個數(shù)字只能占據(jù)一個格子，而且不能和其他數(shù)字共享空間?，F(xiàn)在，讓我們一起揭開這個迷宮的秘密吧！九宮格中，有些格子被閃閃發(fā)光的“★”標記所點綴，這些是數(shù)字的首選之地，它們渴望在這些閃耀的位置上安家落戶。然而，有些格子卻被“×”標記占據(jù)，那些地方是數(shù)字不能涉足的禁地?，F(xiàn)在，讓我們開始這場數(shù)字的冒險，探索九宮格的奧秘，尋找每一個數(shù)字的最佳歸宿（如圖5）。

②促進對話，強化學生語言表達

師（微笑著鼓勵）：找到答案的同學，先別急著高興，咱們得做個小檢驗，確保你的答案牢不可破。接下來，想想怎么跟大家分享你那精彩絕倫的解題思路。

生7（興奮）：老師，我發(fā)現(xiàn)了一個小竅門。你看這9個數(shù)字，它們周圍的空位就像是它們的領地，領地被列為禁地的有的多、有的少。我就像是個精明的獵人，瞄準了那些禁地最多的數(shù)字先下手。比如數(shù)字5，它已經(jīng)被排除了8個領地，只剩下中1那個位置是它的安全港。比如數(shù)字2，中1已經(jīng)是5的地盤了，所以2只能乖乖地待在上3那個角落。這樣一來，答案就像拼圖一樣，一塊塊拼出來了。

生8（躍躍欲試）：這題初看挺嚇人，但其實它就像是等待我們?nèi)フ鞣谋尽ｊP鍵是要找到那個最薄弱的點，也就是只有一個位置能容納的數(shù)字。一旦找到這個突破口，其他的數(shù)字就像是多米諾骨牌一樣，一個接一個地就都有了自己的位置。真是太有趣了！

設計意圖：在本習題中，學生需將1至9的數(shù)字填入九宮格中，每個數(shù)字僅限使用一次。解題過程涉及從單一條件的推理過渡到關聯(lián)條件的推理。學生要認識到，只有在一個數(shù)字存在唯一可能性時，才能直接確定其位置。盡管某些數(shù)字初看似乎無確定位置，但隨著解題進程中某一數(shù)字位置的確認，其余數(shù)字的潛在位置將隨之減少，從而提高解題效率。此過程強調(diào)排除法的重要性，即在邏輯推理中，每確定一個元素的確切位置，就相當于為其他元素排除了一種或多種可能性。

（3）巧妙運用

師（呈現(xiàn)問題）：想象一下，你面前有一個精美的九宮格棋盤，棋盤上的格子等待著被賦予生命，即被填上1到9的數(shù)字。但是，這里有一些規(guī)則需要遵守：每個數(shù)字只能出現(xiàn)在棋盤上一次，絕不能重復;有些格子上閃耀著“★”，這些是你可以放置數(shù)字的地方;而有些格子上則有一個“×”，那些地方是絕對不能放數(shù)字的?，F(xiàn)在，你需要運用智慧和邏輯思維，把這些數(shù)字巧妙地安排在合適的位置上。準備好了嗎？讓我們開始這個智力挑戰(zhàn)（如圖6）。

生9（自信）：我找到了數(shù)字4的藏身之處。你看圖三和圖五，它們都透露了4的蹤跡，而且兩幅圖中的三顆星星里，都有一顆恰好位于中間的第二格。這釋放出數(shù)字4所在位置的強烈信號。

師（微笑）：那么，為什么你沒有選擇數(shù)字5、8、2或7呢？它們也在這兩幅圖中出現(xiàn)過呀。

生9：那些數(shù)字只是在其中一幅圖中露面，它們并沒有像4那樣，在兩幅圖中都占據(jù)同一個星星的位置。只有數(shù)字4，在兩個不同的場景里，都穩(wěn)穩(wěn)地站在了那個共同的星星上，所以那里就是它的家。

師（稱贊）：非常好，觀察細致，推理清晰。那么，如果我們用同樣的方法去尋找其他數(shù)字的蹤跡，會發(fā)現(xiàn)什么呢？快來用你桌面上的小工具，擺一擺，找找看，還有哪些數(shù)字的位置能被我們準確地鎖定？

學生小結(jié)：在面對多幅圖中數(shù)字位置不明確的情形時應采取一種綜合分析的策略。首先，通過比較和整合各幅圖中數(shù)字的分布模式，我們可以識別出一些共同特征或規(guī)律;然后，應用排除法去除那些僅在單一圖中出現(xiàn)的數(shù)字，進一步縮小可能性范圍;最后，采用重疊法對比各圖中的共同點，特別是那些在多幅圖中重合的數(shù)字位置，以確定最終的數(shù)字布局。這種方法不僅提高了解題的準確性，而且有助于培養(yǎng)學生的推理意識與數(shù)據(jù)意識。

設計意圖：本題目旨在將學生從單一條件的關聯(lián)推理引導至復雜的多條件復合推理，這對提升學生思維能力具有顯著作用。在實際教學過程中，學生對于此類內(nèi)容展現(xiàn)出極高的興趣。他們在獨立探索與小組協(xié)作的互動中逐漸領悟到：當單個條件無法直接導出結(jié)論時，可通過綜合多個條件進行推理判斷，進而準確鎖定數(shù)字的位置。教師應指導學生采用“根據(jù)滿足條件A又滿足條件B可以確定答案”的邏輯表述方式，以深化對推理嚴謹性的理解。

二、教學思考

在數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生推理意識至關重要，因為它與數(shù)學知識的掌握緊密相連?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》強調(diào)推理意識的重要性，低年級是培養(yǎng)學生科學思維和證據(jù)表達習慣的關鍵時期，因此教師應盡早引入演繹推理，以促進學生邏輯思維的全面發(fā)展。

在教學中，教師可以通過單一條件推理、關聯(lián)推理到復合推理，引導學生先獨立嘗試，然后在小組合作與交流中學習系統(tǒng)表達推理過程。教師要根據(jù)學生的具體情況靈活調(diào)整教學進度，確定合適的教學終點。實踐證明，低年級學生完全有能力接受演繹推理訓練。

基金項目：江蘇省中小學教學研究第十五期課題“指向核心素養(yǎng)小學數(shù)學項目化學習課堂實踐和評價研究”（2023JY15-L214）。

作者簡介：張小琪（1980—），本科學歷，高級教師，從事小學數(shù)學教學與研究工作，泰州市小學數(shù)學學科帶頭人，曾獲江蘇省微課比賽一等獎以及泰州市小學數(shù)學教師基本功比賽一等獎、優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎等榮譽。