關(guān)注過程反思 發(fā)展探究能力

[摘" 要] 研究者以“圓的周長”教學(xué)為例，從“情境創(chuàng)設(shè)，提出問題”“推理探索，確定范圍”“實踐操作，體驗過程”“古今碰撞，滲透史料”等環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)，并提出相應(yīng)的過程性反思，與同行交流。

[關(guān)鍵詞] 反思;過程;探究能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)定理、證明方法的發(fā)現(xiàn)與探索過程，還要注重各個教學(xué)環(huán)節(jié)的反思過程。當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂“過程短暫”的問題較為普遍，部分教師只關(guān)注教學(xué)任務(wù)的完成情況，少了過程性評價與反思環(huán)節(jié)。實踐證明，加強(qiáng)課堂的過程性反思，不僅能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力，還能有效促進(jìn)教學(xué)相長。

圓的周長是小學(xué)高年級階段重要教學(xué)內(nèi)容之一，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)。筆者以“圓的周長”為例開展教學(xué)，并實施過程性反思，在發(fā)展學(xué)生的探究能力上具有重要意義。

一、情境創(chuàng)設(shè)，提出問題

教師用課件展示一組車輪圖情境：（見圖1）周末，小明一家準(zhǔn)備到人民公園去踏青，他們一家三口各騎一輛自行車，自行車車輪大小各不一樣。用數(shù)學(xué)眼光來觀察這三個車輪，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：不同大小的車輪都是圓的。

生2：每一個車輪均圍繞著“軸”轉(zhuǎn)動前進(jìn)。

生3：因為車輪大小不一樣，所以它們的直徑也各不相同，滾動一周的長度也不一樣。

師：大家的觀察很仔細(xì)，每一個發(fā)現(xiàn)都有道理，那么不同大小的車輪滾動一周的長度究竟是多少呢？現(xiàn)在我們一起來看動畫演示。（多媒體演示）

師：從演示過程來看，不同大小的車輪滾動一周的長度或長或短，這個長度可用哪個數(shù)學(xué)術(shù)語表示？

生4：滾動一周的長度為車輪的周長。

教師肯定了這種說法，并借助多媒體進(jìn)行動態(tài)演示，讓學(xué)生直觀感知圍成車輪一周的曲線就是周長，即車輪在地上轉(zhuǎn)動一周，所形成的路線為該輪子的周長。

師：通過觀察，你們覺得究竟什么是一個圓的周長？它的長度與什么條件相關(guān)？

生5：圓的周長就是圍成這個圓一周的曲線長度，與之相關(guān)的條件是直徑，直徑的長短決定圓周長的長短。

師：既然我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了圓的直徑對圓的周長有直接影響，那么它們之間究竟具有怎樣的關(guān)系呢？接下來我們就一起來探索這個問題。

教學(xué)反思：很多數(shù)學(xué)概念是從生活經(jīng)驗中抽象而來，踏青情境巧妙地將教學(xué)內(nèi)容融入生活場景中，可有效調(diào)動學(xué)生的探索興趣。當(dāng)然，從心理的角度來說，學(xué)生更容易悅納。認(rèn)知上的理解與心理上的傾向，為接下來的探究活動奠定了堅實的基礎(chǔ)。

對于學(xué)生而言，圓的周長是一個新鮮的未知內(nèi)容，騎車是學(xué)生非常熟悉的生活經(jīng)歷，學(xué)生對車輪的熟悉度很高。因此，為了避開冗長、枯燥的講解，教師直接將生活實際問題應(yīng)用到揭示教學(xué)主題中來，不僅能凸顯周長的本質(zhì)為曲線圖，還能遷移學(xué)生的舊知，為構(gòu)建新知奠定基礎(chǔ)。三個不同尺寸的車輪必然存在不同的直徑，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)直徑?jīng)Q定周長的規(guī)律，自主形成猜想。

二、推理探索，確定范圍

師：以前我們研究過正方形，如圖2所示，在正方形的內(nèi)部畫一個最大的圓，那么圓的直徑與這個正方形的周長之間是否存在關(guān)系呢？

當(dāng)學(xué)生探索這個問題后，教師用多媒體展示圖3，在圓內(nèi)添加一個最大的正六邊形，要求學(xué)生自主分析圓的直徑與這個正六邊形的周長之間是否存在關(guān)系。

為了幫助學(xué)生厘清思路，教師繼續(xù)演示：復(fù)制一個相同大小的圓，借助六條半徑將該圓平均分成6份，明確相鄰半徑間的夾角為60°，順次連接圓上半徑的六個點，形成圖4。將圖2、圖3、圖4擺放到一起進(jìn)行比較分析，鼓勵學(xué)生大膽猜想：一個圓的周長約為直徑長的幾倍？

學(xué)生以合作學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行探索，分析圓的直徑與正方形的周長之間存在的關(guān)系。

生6：我們組經(jīng)過討論分析，認(rèn)為正方形的周長恰好為其內(nèi)部最大圓的直徑的4倍。

師：這個結(jié)論是怎么得來的呢？

生6：圓的直徑和正方形的邊長相等，由此確定它們之間為4倍的關(guān)系。

師：很好！那么圓內(nèi)最大正六邊形的周長和圓的直徑存在怎樣的關(guān)系呢？

生7：它們之間為3倍的關(guān)系，將正六邊形的頂點與圓心連接形成正三角形，可知正六邊形的邊長和圓的半徑相等，因此正六邊形的周長等于三條直徑的長。

師：現(xiàn)在我們將圓的周長分別和正六邊形、正方形的周長一起比較，看看有沒有什么新的發(fā)現(xiàn)？（多媒體展示）

生8：基于圖4可見，正方形的周長必然比圓的周長大，正六邊形的周長必然比圓的周長小。

師：回答得很完整，據(jù)此進(jìn)行大膽猜想，誰來說說圓的直徑與圓的周長之間存在怎樣的關(guān)系呢？

生9：從以上探索過程來看，圓的周長比其本身直徑的3倍大一些，又比其本身直徑的4倍小一些，應(yīng)該在3到4倍之間。

師：大家認(rèn)同這個猜想嗎？該如何驗證該猜想是否正確呢？現(xiàn)在我們接著探索。

教學(xué)反思：波利亞認(rèn)為，如果學(xué)習(xí)過程具有發(fā)明的苗頭，就要想辦法讓猜想與推理占據(jù)重要地位[1]。反觀以上教學(xué)過程，教師沒有將結(jié)論直接“告知”學(xué)生，而是借助多媒體演示與合作交流，鼓勵學(xué)生自主經(jīng)歷觀察與猜想的過程，從而發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系，揭示周長與直徑之間關(guān)系的奧秘。

在此過程中，學(xué)生不僅充分體驗了知識間的關(guān)聯(lián)性特征，還進(jìn)一步訓(xùn)練了數(shù)學(xué)思維，提升了數(shù)學(xué)推理能力。由此可見，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注猜想、嚴(yán)謹(jǐn)論證，不僅能讓學(xué)生提煉知識本質(zhì)，還能讓學(xué)生搭建完整的知識架構(gòu)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，發(fā)展創(chuàng)新意識，這些都是培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)。

三、實踐操作，體驗過程

師：若想明確一個圓的直徑與周長之間的倍數(shù)關(guān)系，該從什么角度進(jìn)行探索呢？

生10：或許可以從一些生活中的圓形物品著手，比如分別測得圓本身的直徑與周長，直接用除法計算明確它們之間的倍數(shù)關(guān)系。

師：想要測量一個圓的直徑比較容易，但是一個圓的周長該怎么測量呢？

生11：可以借助繩子來測，即用繩子繞圓形物品一周，再展開繩子測量其長度即可。

師：這個想法不錯，如圖5所示，現(xiàn)在我們一起來看多媒體演示，將繩子繞圓一周后在刻度尺上的顯示數(shù)據(jù)。

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：想讓測量數(shù)據(jù)更準(zhǔn)確，有什么值得注意的？學(xué)生表示除了要將繩子緊貼圓形物品外，還需要在繞完一周的位置做好標(biāo)記，以便于測量。教師贊揚(yáng)了學(xué)生的細(xì)致，并提出：如果是一塊圓形金屬片，該怎么測量它的周長？

生12：可以在圓形金屬片的某個位置做上記號，再將該圓緊貼直尺讓標(biāo)記點與直尺上的零點位置對準(zhǔn)，然后讓圓水平滾動一周，讀數(shù)即可。

教師對這種方法表示肯定，并再次借助多媒體展示具體的測量過程（見圖6所示）。

師：非常好！表述得很規(guī)范，從以上兩種測量方法來看，它們之間存在什么共同點？

生13：這兩種方法都是將曲線轉(zhuǎn)化成直線進(jìn)行測量。

師：不錯，這就是“化曲為直”的思想，是本節(jié)課的重點。

教學(xué)反思：測算圓的直徑與周長之間的倍數(shù)關(guān)系為本節(jié)課的重中之重，學(xué)生想要借助純手工操作獲得精準(zhǔn)數(shù)據(jù)確實比較困難。教師為了讓學(xué)生親歷過程，借助多媒體與實踐操作引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生充分感知周長與直徑的數(shù)量關(guān)系，并提取注意點：①繞線時需要緊貼圓形物品;②滾動時需要關(guān)注起點與直尺零刻度線的對齊情況等。

學(xué)生一旦掌握了注意事項，就能準(zhǔn)確地進(jìn)行測量，這對探索圓的直徑與周長之間關(guān)系的精確性具有重要影響。學(xué)生通過演示與實操能進(jìn)一步感知猜想的正確性，同時不同探索方法的探索蘊(yùn)含著相同的思想方法，此過程有效揭示了“化曲為直”的思想。

師：圓的直徑與周長之間究竟存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？請大家以小組為單位，取出課前提前準(zhǔn)備好的直徑分別為5、4、3厘米的圓形卡紙，按要求開展探索：①用自己喜歡的方式測量手中圓形卡紙的直徑與周長，并計算兩者的商，將結(jié)論填寫在探究單中（保留兩位小數(shù)）;②組內(nèi)成員分工合作，明確職責(zé);③觀察數(shù)據(jù)，歸納結(jié)論。

學(xué)生合作測量、記錄、計算，獲得表1。

雖然學(xué)生測量的是同一個圓，但獲得的結(jié)論有差異，由此判定測量存在誤差，即用不同方法測量圓的周長存在誤差。用所測得的周長除以直徑獲得的結(jié)論在3.10～3.25之間，由此能初步確定它們之間的倍數(shù)關(guān)系是3倍多一點。

師：如果將三個圓測量的結(jié)論放在一起類比分析，有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生交流后形成結(jié)論：不論多大的圓，其周長與直徑的比恒為三點多，即它們之間的關(guān)系恒為3倍多;在誤差極小的情況下，這個值可能是相同的。但要消除誤差，確實存在很大難度。

教學(xué)反思：探究是發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)。此環(huán)節(jié)實踐活動主要是基于學(xué)生的猜想開展，該操作過程不僅是教學(xué)的客觀需求，還是滿足學(xué)生心理發(fā)展的需要。結(jié)論的獲得既驗證了猜想，又進(jìn)一步夯實了學(xué)生對圓周率的認(rèn)識。但受測法、工具與技能等因素的影響，誤差不可避免。

當(dāng)面臨存在的誤差時，教師并沒有回避這個問題，而是引導(dǎo)學(xué)生分析表1的數(shù)據(jù)，使學(xué)生感知圓周長與直徑比就是一個近似值。在此基礎(chǔ)上，類比其他圓的探索，學(xué)生可順利接受誤差的存在。由此讓學(xué)生從感性思維上升到理性思考，即在零誤差的情況下，圓的周長與半徑之間的商值一樣，為一個常數(shù)。

四、古今碰撞，滲透史料

教師向?qū)W生介紹古代的數(shù)學(xué)家對“圓的周長”問題進(jìn)行過大量研究，比如一千七百多年前的劉徽發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增加后，多邊形的周長越來越逼近圓周長，多邊形的面積也越來越逼近圓面積。于是劉徽從正六邊形開始，逐步增加正多邊形的邊數(shù)，使正多邊形越來越接近圓。一直到正三零七二多邊形時，算出圓的周長約為直徑的3.1416倍。

師：劉徽所獲得的3.1416這個數(shù)據(jù)是精確的倍數(shù)數(shù)值嗎？

生（齊聲答）：不是。

師：后來，我國南北朝時期的祖沖之在此基礎(chǔ)上獲得倍數(shù)值處于3.1415926與3.1415927之間，該成果比世界上其他數(shù)學(xué)家早了一千多年。這帶給你們什么感受？

生14：咱們國家的數(shù)學(xué)家真厲害。

生15：我為自己生在中國而自豪。

生16：以后我也要像數(shù)學(xué)家一樣，用鍥而不舍的精神探索數(shù)學(xué)。

師：是啊！我們身處一個偉大的祖國，應(yīng)將這種持之以恒的科學(xué)精神傳承下去。隨著信息技術(shù)的發(fā)展，當(dāng)前圓周長與直徑的比值越來越精確，大家請看課件，此為當(dāng)今精確到200位的情況。這是一個無限不循環(huán)小數(shù)，它有一個好聽的名字叫“圓周率”，用字母π來表示。

教學(xué)反思：此環(huán)節(jié)為教學(xué)重點與難點，教師不僅為學(xué)生創(chuàng)造深刻理解“3倍多一些”的具體數(shù)值，還借助史料滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神、愛國情懷與學(xué)科素養(yǎng)。

總之，任何一個知識的形成與發(fā)展都經(jīng)歷了漫長的過程，教師引導(dǎo)學(xué)生“再創(chuàng)造”知識，不僅能深化學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的理解，還能拔高學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的探究能力，讓深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生。

參考文獻(xiàn)：

[1] G.波利亞. 怎樣解題——數(shù)學(xué)思維的新方法[M]. 涂私，馮承天，譯. 上海：上海科技教育出版社，2007.

作者簡介：謝雪峰（1983—），本科學(xué)歷，小學(xué)一級教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作。