基于自適應(yīng)代理模型的加筋殼結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計

關(guān)鍵詞：加筋殼結(jié)構(gòu)；可靠性優(yōu)化設(shè)計；自適應(yīng)代理模型；預(yù)期可行性函數(shù)準(zhǔn)則

0 引言

加筋殼結(jié)構(gòu)具有較高的比剛度和比強度，被廣泛應(yīng)用于飛機、導(dǎo)彈、運載火箭等航空航天設(shè)備的薄壁承力部段［1-2］。由于航空航天設(shè)備在發(fā)射或飛行階段需承受巨大的慣性載荷，因此加筋殼結(jié)構(gòu)的主要服役工況為軸向壓縮，其失效模式為屈曲失穩(wěn)［3］。過大的軸壓載荷會對加筋殼結(jié)構(gòu)造成不可逆的損傷，進(jìn)而嚴(yán)重影響設(shè)備的安全性，為滿足加筋殼結(jié)構(gòu)在服役工況下的性能要求，采用高效、準(zhǔn)確的方法對其進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計迫在眉睫。對于航空航天結(jié)構(gòu)而言，質(zhì)量小、可靠性高、成本低是其基本要求，因此獲得承載高、質(zhì)量輕的加筋殼結(jié)構(gòu)是優(yōu)化時所主要關(guān)注的問題［4-5］。

為了提高加筋殼模型的屈曲載荷，龍連春等［6］建立了加筋殼結(jié)構(gòu)的參數(shù)化有限元模型，并研究了筋條數(shù)目對屈曲載荷的影響，進(jìn)而獲得了最優(yōu)筋條數(shù)目。張東等［7］針對加筋圓柱殼在溫度載荷和軸壓聯(lián)合作用下的屈曲問題進(jìn)行了分析，建立了臨界屈曲載荷和溫度載荷的解析表達(dá)式，為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供了理論參考。結(jié)構(gòu)質(zhì)量和安全性對航空航天設(shè)備具有重要意義，這使得加筋殼結(jié)構(gòu)的分析與優(yōu)化問題受到廣泛關(guān)注。為此，WANG等［8］提出了一種高效簡單的混合框架，對加筋結(jié)構(gòu)進(jìn)行了屈曲分析和優(yōu)化設(shè)計，并通過3個實例證明了所提框架的有效性。為了獲得更好的優(yōu)化結(jié)果，HAO等［9］針對傳統(tǒng)加筋殼和分級加筋殼的缺陷，提出分級加筋殼的涂抹加筋方法，提高了加筋殼結(jié)構(gòu)效率。

隨著我國航空航天事業(yè)的發(fā)展，加筋殼結(jié)構(gòu)尺寸增大、細(xì)節(jié)更加復(fù)雜，制造過程中存在的不確定性對加筋殼結(jié)構(gòu)性能的影響顯著增加。但是傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化設(shè)計缺乏對隨機變量的定量表征，其優(yōu)化結(jié)果往往不可靠；可靠性優(yōu)化設(shè)計（Reliability-BasedDesign Optimization，RBDO）［10］方法綜合考慮了隨機變量的不確定性，可有效提高優(yōu)化結(jié)果的可靠性。然而，RBDO方法涉及外層優(yōu)化及內(nèi)層可靠性分析，使得基于工程問題的RBDO存在計算量過大的問題［11］，需要采用合適的方法提高計算效率。為此，DU等［12］提出序列優(yōu)化和可靠性評估方法，在每一次確定性優(yōu)化設(shè)計完成后進(jìn)行可靠性分析，使優(yōu)化設(shè)計與可靠性分析完全解耦，大大降低了計算量。WANG等［13］為了擴大解耦策略在RBDO問題中的適用范圍，基于統(tǒng)計距方法計算了概率約束位移標(biāo)量和局部位移修正因子，進(jìn)一步提高了RBDO的計算效率。然而當(dāng)前針對加筋殼結(jié)構(gòu)在RBDO方面的研究還不夠充分，在考慮多種不確定因素的影響下對結(jié)構(gòu)進(jìn)行RBDO分析的效率和精度還有待提高。

構(gòu)建代理模型是提高優(yōu)化問題求解效率的一種有效策略［14］，其基本思路是基于已有的樣本數(shù)據(jù)獲得復(fù)雜工程問題的近似模型。目前應(yīng)用較為廣泛的代理模型有：混沌多項式（Polynomial Chaos Expansions，PCE）［15］、支持向量機（Support Vector Machine，SVM）［16］及Kriging 代理模型［17］114462 等。其中Kriging 代理模型可以同時計算樣本點的均值和均方誤差，被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性分析及優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域。為了進(jìn)一步提高求解效率，ECHARD等［18］提出了一種基于學(xué)習(xí)函數(shù)U的序列建模方法，僅使用較少的樣本點即完成Kriging代理模型的構(gòu)建。DU等［19］在高效全局優(yōu)化（EfficientGlobal Optimization，EGO）算法的基礎(chǔ)上提出了混合高效全局優(yōu)化（Mixed Efficient Global Optimization，MEGO）方法，通過同時抽取獨立變量和時間的樣本，完成了可靠性優(yōu)化設(shè)計。BICHON等［20］2459-2468 提出了預(yù)期可行性函數(shù)（Expected Feasibility Function，EFF）準(zhǔn)則，只需極少的樣本點即可構(gòu)建一個較高精度的自適應(yīng)Kriging代理模型。在基于有限元模型對加筋殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行RBDO 問題的求解時，單次計算耗時較長，自適應(yīng)Kriging代理模型通過自適應(yīng)地選取對建模精度提升較大的樣本點，可高效、準(zhǔn)確地解決加筋殼結(jié)構(gòu)的RBDO問題，具有較好的應(yīng)用前景。

加筋殼結(jié)構(gòu)被用于部分航空航天設(shè)備的主要承力部段，它直接關(guān)系到設(shè)備的服役安全，對加筋殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行RBDO能夠在保障裝備可靠性的同時優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)。本文基于自適應(yīng)Kriging代理模型對加筋殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計，首先以一個典型的正交加筋圓柱殼為例，建立起了加筋殼結(jié)構(gòu)的RBDO模型。針對RBDO求解過程中計算量過大的問題，通過構(gòu)建自適應(yīng)Kriging 代理模型有效提高了計算效率，并采用EFF方法解決了樣本點自適應(yīng)增加的問題。此外，傳統(tǒng)的RBDO問題只考慮了隨機設(shè)計變量及連續(xù)的確定性設(shè)計變量，然而加緊殼結(jié)構(gòu)的可靠性優(yōu)化問題中還存在離散的確定性設(shè)計變量，為此本文采用構(gòu)造分段函數(shù)的方法，有效實現(xiàn)了離散變量的連續(xù)化。最后，分別對加筋殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行RBDO 分析及確定性優(yōu)化設(shè)計，對比驗證了該方法的有效性。

1 加筋殼結(jié)構(gòu)的可靠性優(yōu)化問題

長度及寬度遠(yuǎn)大于厚度的一類結(jié)構(gòu)被稱為殼體結(jié)構(gòu)，加筋殼結(jié)構(gòu)由于其良好的物理性能被廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域。某運載火箭結(jié)構(gòu)如圖1所示，加筋殼是其燃料箱及承力筒的主要組成部分，在服役時需承受極大的慣性載荷，此時主要工況為軸向壓縮，受載時未達(dá)到強度破壞前就會發(fā)生失穩(wěn)破壞，需要解決結(jié)構(gòu)的屈曲問題才能對其失穩(wěn)承載力進(jìn)行評估［21］。同時，由于加筋殼結(jié)構(gòu)主要應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域，對此類結(jié)構(gòu)的基本要求是質(zhì)量輕、可靠性高、成本低。因此，對加筋殼結(jié)構(gòu)開展優(yōu)化設(shè)計時，通常將屈曲載荷作為約束，將結(jié)構(gòu)質(zhì)量作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。然而，傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化設(shè)計方法通過給定一個安全系數(shù)并計算給定約束下的最優(yōu)解，沒有考慮到結(jié)構(gòu)、材料等參數(shù)中的隨機性，進(jìn)而導(dǎo)致設(shè)計結(jié)果缺乏足夠的可靠性。而RBDO方法通過考慮參數(shù)的隨機性，使其優(yōu)化結(jié)果更為安全可靠，故而本文采用RBDO方法對加筋殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

以一個典型的正交加筋圓柱殼為例開展可靠性優(yōu)化設(shè)計，加筋殼結(jié)構(gòu)及加筋截面如圖2所示［22］。結(jié)構(gòu)所用材料為鋁合金，其材料參數(shù)為彈性模量E = 70 GPa，泊松比μ = 0. 33，屈服應(yīng)力σs = 410 MPa，極限應(yīng)力σb = 480 MPa，密度ρ = 2. 7 × 10-6 kg/mm3。加筋殼直徑D=3 m，高度L=2 m。在開展RBDO問題的求解時考慮2個確定性設(shè)計變量，分別為軸向加筋個數(shù)Na 和周向加筋個數(shù)Nc；3個隨機設(shè)計變量，分別為蒙皮厚度ts、加筋厚度tr 及加筋高度h。因此，該RBDO問題的設(shè)計變量有5個，分別為Na、Nc 以及3個隨機設(shè)計變量的均值μts、μtr 與μh。對這些變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計時的變量初值、上下界及分布類型等情況如表1所示，此時加筋殼結(jié)構(gòu)的RBDO問題可以表述為

式中，X 為設(shè)計變量；結(jié)構(gòu)質(zhì)量W 為RBDO 的目標(biāo)函數(shù)；P 為結(jié)構(gòu)的臨界屈曲載荷；P0 為設(shè)計屈曲載荷。RBDO 問題的約束為：結(jié)構(gòu)的臨界屈曲載荷大于等于設(shè)計屈曲載荷的概率Pr 應(yīng)高于給定的可靠性指標(biāo)。

2 基于Kriging 自適應(yīng)代理模型的可靠性優(yōu)化方法

RBDO方法是涉及外層變量尋優(yōu)及內(nèi)層可靠性分析的雙層優(yōu)化，其分析過程面臨大規(guī)模計算時求解效率瓶頸的問題。因此，在完成加筋殼結(jié)構(gòu)RBDO問題構(gòu)建的基礎(chǔ)上，需要選擇合適的方法提高求解效率。為此，本節(jié)引入自適應(yīng)Kriging 代理模型法，并基于EFF加點準(zhǔn)則來有效提高建模效率，從而實現(xiàn)自加筋殼結(jié)構(gòu)參數(shù)到屈曲載荷響應(yīng)的高精度建模。

自適應(yīng)Kriging代理模型的主要構(gòu)建流程如圖3所示。首先設(shè)置并生成一定數(shù)量的初始樣本點并將離散變量連續(xù)化，隨后基于數(shù)值仿真分析求解上述樣本點的響應(yīng)，基于此初步構(gòu)建一個Kriging代理模型，并驗證所構(gòu)建的代理模型是否滿足收斂準(zhǔn)則，若滿足，則完成代理模型的構(gòu)建；若不滿足，則根據(jù)EFF加點準(zhǔn)則生成新的樣本點加入原始樣本集，計算其響應(yīng)并構(gòu)建新的Kriging代理模型，再次驗證新的代理模型是否滿足收斂準(zhǔn)則。重復(fù)上述過程，直至所構(gòu)建的代理模型滿足收斂準(zhǔn)則，即完成自適應(yīng)Kriging 代理模型的構(gòu)建。

至此，即完成Kriging 代理模型的構(gòu)建。自適應(yīng)Kriging代理模型的關(guān)鍵在于通過學(xué)習(xí)已知樣本的數(shù)據(jù)特征，對新樣本及模型參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)的選擇。通過選擇合適的加點準(zhǔn)則來獲取對模型精度提升最大的若干樣本，可有效提升模型的建模效率。對加筋殼結(jié)構(gòu)的RBDO問題來說，需選取對結(jié)構(gòu)失效模型計算精度提升最大的樣本，因此本文采用EFF 加點準(zhǔn)則［20］2459-2468，該方法在代理模型精度不滿足要求時，會自適應(yīng)地添加屈曲載荷下最可能失效的樣本點。

由此可知，給出初值C1 后結(jié)合設(shè)置的離散值Si 即可計算Ci 和C′i。針對加筋殼結(jié)構(gòu)的RBDO問題，為保證所構(gòu)建的分段函數(shù)更為準(zhǔn)確，設(shè)置初值C1 = 20。至此，即可采用上述方法高效、準(zhǔn)確地完成加筋殼結(jié)構(gòu)RBDO問題的求解。

3 加筋殼結(jié)構(gòu)的可靠性優(yōu)化設(shè)計

本文第2 節(jié)完成了加筋殼結(jié)構(gòu)RBDO 模型的構(gòu)建，第3節(jié)發(fā)展了自適應(yīng)Kriging代理模型方法用于解決所構(gòu)建的RBDO問題，本節(jié)將在此基礎(chǔ)上對式（1）所示的RBDO問題進(jìn)行求解與分析。

為了獲取優(yōu)化設(shè)計時的設(shè)計屈曲載荷P0，首先通過有限元分析方法計算各參數(shù)取初值時對應(yīng)的屈曲模態(tài)，在進(jìn)行上述計算時約束結(jié)構(gòu)底部所有自由度，以及頂部除軸向位移外的所有自由度，此時求得的屈曲模態(tài)分析結(jié)果如圖4所示，其對應(yīng)結(jié)果如表2所示，結(jié)構(gòu)的臨界屈曲載荷P 為15 704 kN，在進(jìn)行后續(xù)優(yōu)化問題的求解時以此臨界載荷值作為設(shè)計屈曲載荷P0。

基于第3節(jié)所述構(gòu)建自適應(yīng)Kriging代理模型的方法進(jìn)行加筋殼結(jié)構(gòu)RBDO問題的求解。首先需要進(jìn)行Kriging自適應(yīng)代理模型的構(gòu)建，設(shè)置初始樣本點個數(shù)為10個，基于圖3所示的流程，采用構(gòu)造分段函數(shù)的方法進(jìn)行離散變量連續(xù)化，并基于EFF方法不斷增加樣本點個數(shù)，直至滿足終止準(zhǔn)則。經(jīng)計算，共添加59個樣本點后滿足終止準(zhǔn)則，則共調(diào)用模型69（10+59）次即完成了Kriging自適應(yīng)代理模型的構(gòu)建。對模型的精度進(jìn)行驗證，重新抽取20組樣本數(shù)據(jù)分別代入所構(gòu)建的Kriging自適應(yīng)代理模型及有限元模型中去，根據(jù)結(jié)果計算得，Kriging 自適應(yīng)代理模型的決定系數(shù)R2=0. 996 7，均方差誤差ERMS=456. 9 kN，由結(jié)果可知，所構(gòu)建的代理模型精度較高，可以基于此對加筋殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行RBDO。

基于式（1）進(jìn)行RBOD問題的求解，其目標(biāo)函數(shù)為結(jié)構(gòu)質(zhì)量W，約束條件為：結(jié)構(gòu)的臨界屈曲載荷大于等于設(shè)計屈曲載荷的概率Pr應(yīng)高于給定的可靠性指標(biāo)R，此處給定可靠性指標(biāo)R 為99%，設(shè)計屈曲載荷P0 為15 704 kN。基于所構(gòu)建的Kriging自適應(yīng)代理模型進(jìn)行RBDO時，采用蒙特卡洛模擬的方法，每次優(yōu)化時根據(jù)表1中隨機變量的分布類型抽取1×105個樣本數(shù)據(jù)，代入所構(gòu)建的代理模型中去進(jìn)而完成RBDO。

經(jīng)計算，參數(shù)取初值時結(jié)構(gòu)的屈曲模態(tài)和質(zhì)量分別為15 704 kN和354. 6 kg，RBDO求解后結(jié)構(gòu)的屈曲模態(tài)和質(zhì)量分別為17 996 kN和358. 0 kg。雖然優(yōu)化后結(jié)構(gòu)質(zhì)量沒有太大變化，但其對應(yīng)的臨界屈曲載荷值得到了較大的提高，滿足了設(shè)計要求。同時選取安全系數(shù)FS為1、1. 1和1. 3下的確定性優(yōu)化設(shè)計作為對比，結(jié)果如表2所示，其中RBDO問題對應(yīng)的P 值為隨機設(shè)計變量取均值時的計算結(jié)果。基于有限元方法對不同優(yōu)化結(jié)果下的屈曲模態(tài)分析如圖4所示。

此外，對于4種不同的優(yōu)化結(jié)果，即RBDO、確定性優(yōu)化設(shè)計FS=1、1. 1、1. 3，當(dāng)考慮到設(shè)計變量的隨機性時，其對應(yīng)的失效概率分別為1. 00%、61. 82%、17. 72%、0%，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)質(zhì)量分別為358. 0、307. 2、346. 0、387. 87 kg。由此可得出結(jié)論：確定性優(yōu)化由于缺乏對隨機參數(shù)的表征，無法達(dá)到預(yù)期的可靠性，其優(yōu)化結(jié)果對于不同的安全系數(shù)可能會存在風(fēng)險或過于保守；而RBDO方法綜合考慮了優(yōu)化設(shè)計中存在的不確定參數(shù)，能在一定的可靠性約束下完成優(yōu)化設(shè)計。因此，基于自適應(yīng)Kriging代理模型方法，對加筋殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行RBDO分析可以有效減少計算量，并保證設(shè)計結(jié)果的可靠性。

4 結(jié)論

通過對加筋殼結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化的設(shè)計研究，得出如下結(jié)論：

1）加筋殼結(jié)構(gòu)因其高比強度、比剛度而廣泛應(yīng)用于航空航天設(shè)備的承力部段，對其進(jìn)行 RBDO 有利于提高設(shè)備的服役性能。

2）傳統(tǒng)的 RBDO 方法涉及外層變量尋優(yōu)及內(nèi)層可靠性分析的雙層優(yōu)化，求解效率低，為了提高加筋殼結(jié)構(gòu) RBDO 問題的求解效率，提出基于自適應(yīng)Kriging 代理模型的加筋殼結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法，該方法僅進(jìn)行少量有限元分析即可完成代理模型的構(gòu)建，有效提高了分析效率。

3）將所提方法的優(yōu)化結(jié)果與確定性優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對比，分析表明，基于自適應(yīng) Kriging 代理模型的RBDO 方法充分考慮了參數(shù)中存在的隨機偏差，規(guī)避了確定性優(yōu)化設(shè)計可能存在風(fēng)險或過于保守的問題，其優(yōu)化結(jié)果具有更高的可靠性，可用于指導(dǎo)加筋殼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。