數學大觀念教學的邏輯、困境與路徑研究

摘要：數學大觀念是教師基于對數學思維的深刻認識構建出具有某種內在關聯并能促進數學知識廣泛遷移應用的數學內容系統。論述數學大觀念教學設計的整體邏輯和實施的整合邏輯。以大觀念為核心的教學有助于發展學生的核心素養，但在數學教學中還存在教師對數學大觀念的理解表面化，數學大觀念教學的設計同質化，數學大觀念教學的實施淺層化等不足。為此，可從基于素養觀，明確數學大觀念的本質;基于整體觀，建立數學大觀念教學設計;基于整合觀，構建數學大觀念教學實施這三個路徑入手，有效彰顯大觀念教學的價值。

關鍵詞：大觀念教學;數學大觀念;教學邏輯

引用格式：王毳，黃友初.數學大觀念教學的邏輯、困境與路徑研究[J].教學與管理，2025（07）：40-44.

《義務教育課程方案（2022年版）》指出：“基于核心素養發展要求，遴選重要觀念、主題內容和基礎知識，設計課程內容增強內容與育人目標的聯系，優化內容組織形式”[1];“探索大單元教學，加強知識間的內在關聯，促進知識結構化”[2]，等等。實現“課程內容結構化”和“學科知識結構化”是本輪課程改革的核心內容。為此，各學科均強調課程內容由多而散的知識點走向少而精的學科大觀念。學科大觀念教學旨在擺脫以孤立的學科知識和技能為核心的淺層知識，讓課程內容變得更少且更深，讓課程目標指向深度學習與核心素養。這些都表明，學科大觀念已成為中小學課程內容的重要組成部分，對學生核心素養的發展有著重要的作用。但是，相較于其他學科學習領域和主題內容，數學大觀念的內涵仍存在爭議，涉及的內容寬泛，教學設計模式模糊，這給教師的理解和實踐帶來了困擾，本文對其內在邏輯進行剖析并探討其行動路徑。

一、數學大觀念教學的內在邏輯

1.數學大觀念的內涵與特征

國內外學者從不同的視角和側重點出發，賦予數學大觀念不同的內涵。美國數學教師委員會強調了數學大觀念的重要性：“教師需要理解數學大觀念，并且能夠將數學表示為一個相互關聯且內在一致的系統。”[3]新加坡數學課程標準強調：“培養對數學本質和數學大觀念的更深刻認識，以實現不同主題之間的一致性。”[4]從整體觀的角度看，數學大觀念是對數學學習的核心思想表述，它將眾多有關數學內容的理解關聯成一個連貫的整體。簡而言之，數學大觀念就是關聯各種數學內容的集合。該視角下的數學大觀念強調以數學學習的核心思想關聯眾多數學知識，形成數學本質不變的連貫整體，這種核心思想可以是數學內容主題，也可以是數學思想，還可以是數學方法等等。從認知結構的角度看，數學大觀念是一種用以支持進一步數學學習和歸納的理想數學認知結構模型[5]。這里的數學大觀念就像一個數學認知文件夾一樣為我們提供了一個數學知識框架或結構，在這個框架或結構中，我們可以將無數的數學概念、公式、原理等數學知識歸檔。這樣的數學大觀念聚焦于相似性和同源性的數學知識，為原本看似不相關的數學知識提供了參照系。例如，我們將“計數單位”作為一個數學大觀念，整數、分數和小數的表達方式都是這個框架結構的數學知識。該視角下的數學大觀念強調建構基于教師個人理解的數學知識結構體系，通過該結構歸類眾多相似或同源的數學知識以形成對數學學科知識的系統認識。從實用觀的角度看，數學大觀念是既具數學意義，又具教學實踐意義的集合[6]。這里的數學大觀念必須足夠“大”，可以把數學中看似不相關而內在一致的數學內容聯系在一起，充分體現其數學意義，但又不能“大”到難以指導不同發展階段的學生。該視角下的數學大觀念強調教師建構集合的理論意義和實踐意義，建構數學大觀念既有助于理解數學結構及其內在聯系，也應有利于指導課堂教學實踐和關注課堂教學行為。

基于以上不同角度下的數學大觀念的內涵表述，其達到的共性認識有：一是深刻性。數學大觀念是教師對數學思維層面的深刻認識，而非數學事實性知識和數學經驗的簡單堆砌。二是關聯性。數學大觀念是教師基于某種內在關聯（如數學主題、數學思想和數學方法等）形成對數學內容的結構性認識和數學教學的整體性指導，而非點狀或線性數學知識和過于注重細節的課時教學。三是應用性。數學大觀念均聚集了不同視角下的數學內容系統，這種內容系統超越了孤立的數學知識和技能，能夠兼具數學意義和實踐意義，在更大范圍內進行遷移應用。由此可知，數學大觀念是具有廣泛遷移與應用的數學內容系統。簡而言之，數學大觀念是教師基于對數學思維的深刻認識，構建出具有某種內在關聯并能促進數學知識廣泛遷移應用的數學內容系統。

2.數學大觀念教學設計與實施邏輯

數學大觀念教學的設計與實施不是一課一備的課時主義，而應當以數學核心素養為導向，遵循學生認知發展規律，從設計的整體邏輯到實施的整合邏輯，促進學生對數學知識內容的整體把握和遷移應用。

數學大觀念教學設計的邏輯強調“整體—部分—整體”的思路。在教學設計中，教師首先要給學生呈現以數學大觀念為中心的縱橫數學知識結構的整體輪廓，使其對將要學習的內容有基本的了解，然后分析具體的學習內容并結合學生的學情創設真實有效的情境或問題，最后使學生形成以數學大觀念為核心的充滿聯系的數學知識結構體系。在數學大觀念教學設計中，課時是最細微的部分，單元是最小的整體，數學大觀念由若干具有內在聯系的單元構成，對數學大觀念進行整體教學設計有助于對各個課時的理解和單元的整體把握。課時與單元教學目標的確定必須在課程目標的整體框架下進行，教師應圍繞課程的整體目標思考單元和課時教學目標，反映課程目標的關聯性與連貫性[7]，體現核心素養導向的教學目標的整體性與階段性，突出教學目標的整體育人功能。在分析教學內容時，應將數學知識置于整體中考量，應考慮數學知識點在單元內部、單元之間、數學大觀念中的地位與聯系。因此，數學大觀念教學設計的整體邏輯強調數學知識間的縱橫聯系，新知識以已有的知識經驗為基礎，形成新的良好的整體認知結構。

數學大觀念教學實施應體現整合邏輯，以問題或情境為載體，強調學生能夠運用數學大觀念解決復雜問題。如果說數學素養包含數學知識、技能和品格，那么數學核心素養則是包括數學知識、技能和品格在內的各種具體素養成分交互整合的結果[8]。數學核心素養不是各種具體素養的簡單疊加，而是各種具體素養成分匯聚成為一個整體，這說明培育學生數學核心素養必然要求一種整合性教學。在實施數學大觀念教學時，學生以情境或問題為載體，通過與學習內容、現實世界的互動整合來實現學生數學核心素養的整體發展。數學大觀念教學實施的整合邏輯滿足了數學核心素養培育對知識完整性與整合性的要求。

二、數學大觀念教學的困境詮析

1.數學大觀念的理解表面化

教師對數學大觀念的理解過程主要有兩種思路：一是基于教育理論的“自上而下”的演繹思路，二是基于教學經驗的“自下而上”的歸納思路。教師對數學大觀念進行“自上而下”的演繹理解思路，就是要站在數學學科的高點來俯視和思考學習的內容，以現有理論為起點，進行理論推演，進而建立數學大觀念的過程，其主要載體是數學課程標準和教材[9]。教師對數學大觀念進行“自下而上”的歸納理解思路，始于教師的觀察與反思，是教師建立在豐富的教學經驗的基礎之上，經過對學習內容和學生學情的分析、關聯、概括等思維過程，歸納得出數學大觀念的過程。對“自上而下”數學大觀念的邏輯加工不足，導致對數學大觀念的理解停留在數學核心素養、數學原理等定義層面的文字表述;由于對學生學情的探查不足，忽視了數學大觀念的形成與發展規律，導致教師對“自下而上”數學大觀念的抽象不足。這些均導致了教師對數學大觀念的內涵與外延理解表面化。

教師對數學大觀念理解表面化的根本原因在于，未能全面領會數學大觀念的內涵與特征，也未能真正意識到它的教育價值。受應試教育的影響，數學課程長期追求工具理性價值，以知識深廣度為目標，以記憶和訓練為過程，以解題的技巧和速度為評價標準，導致了數學知識相互隔離[10]。這種教育方式缺乏對數學本質的把握，制約數學課程價值的體現。為了追求短期高分，教師多采用死記硬背或題海戰術，課堂上直接呈現結論，忽略了數學知識間的關聯和學科大觀念的提煉，導致對數學大觀念的理解淺薄，易出現概念混淆與偏誤。研究顯示，教師對學科大觀念的理解普遍存在偏狹和誤解。一方面，他們將其視為落實核心素養的教改理念;另一方面，他們將其片面理解為越抽象的、越上位的觀念[11]。這些均限制了教師對數學大觀念的內涵和教育價值的領會，難以深入進行教學探索。在課程實施中，倘若教師對數學大觀念的理解不全面，對其教育價值的認識不深刻，必然導致數學大觀念教學陷入困境。

2.數學大觀念教學的設計同質化

為了彰顯數學大觀念教學的教育價值并有效實施，教師需要建構科學合理的數學大觀念教學的設計框架。然而，常規性數學教學設計都是以教材知識為基礎，固化為課堂講解和課后解題鞏固相結合的模式。這一模式被認為有助于學生掌握數學知識，并且教師對此流程與實施要點都十分熟悉。但是，數學大觀念教學缺乏較為明確的標準和指導，這將導致教師在內容選取、流程設計和活動組織等方面面臨困難。這種情況下，教師只能憑借在常規性數學教學設計中的經驗，以期獲得有效遷移，故而往往導致了數學大觀念教學的設計與常規性教學設計同質化。

教師對數學大觀念教學設計同質化的主要原因是未能領會數學大觀念教學設計的內在邏輯。教師按照教材的編排順序進行教學設計已成為慣性操作，大多數教師是按照一堂課一課時的順序完成的。這樣的教學設計使數學知識孤立、零散，且教學窄化為某一方面的技能訓練，學生對數學知識的整體性、全局性把握不足，更無法發現知識間的關聯，偏離了數學核心素養的培養目標。數學大觀念教學設計不是一課一課的簡單疊加，過分注重課時設計、教學環節等細節，盡管教學設計看上去高效，但是實際上是一種數量上的高效，打亂了知識內在結構化的意義[12]。數學大觀念教學的設計既非常規性的課時教學設計，又非完全是教材單元設計，這種情況下的教學設計探索，具有較強的盲目性，教學效果也難以保證。雖然教師將數學大觀念教學設計與常規性課時教學設計同質化，但是這種設計框架不能達成核心素養目標和促使學生獲得完整的數學知識，與數學大觀念教學設計的應然訴求相背離。

3.數學大觀念教學的實施淺層化

當前我國數學大觀念教學的實施主要集中在數學概念的淺層理解和數學題的基本應用，基于真實問題情境的遷移應用則不多。研究顯示，許多教師將大觀念教學的實施理解為基礎概念教學的實施以及課堂練習的產物[13]。在數學學科中，這種針對概念的教學或數學習題的教學，多以簡單的選擇與計算題出現，主要考查學生對于數學基本概念的辨析、數學公式的運用，并不能幫助學生了解數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義，關注數學概念的現實背景，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立有意義的數學知識結構[14]，由此導致了學生對數學本質的領悟和數學知識的深層邏輯加工不足，使數學大觀念教學的實施缺少了其應有之義。雖然教師在課堂教學環節能夠根據數學概念之間的共性，以合并同類項的方式凝練數學大觀念，并以此為中心整合數學知識到一節課之中[15]，但是缺少結合數學學科特征和學生發展特征的有效情境或問題引導，使得數學大觀念教學的實施淺層化，未能幫助學生獲得數學大觀念背后所蘊含的數學思想、方法和價值觀念。

教師對數學大觀念教學的實施淺層化的本質原因在于未能深入領悟數學大觀念教學實施的內在邏輯。在課堂教學中，為了提高課堂教學效率和便于學生的理解，教師往往采用固化乃至虛構與數學本質無關的教學情境。數學大觀念教學的實施采用這種固化情境，既阻礙了對數學知識的深層理解與遷移應用，也限制了數學大觀念對現實世界的解釋力，使得學生不能形成像專家一樣的數學思維。

三、數學大觀念教學的行動路徑

1.基于素養觀，明確數學大觀念的本質

素養觀體現數學本質和學科獨特育人價值，既包括教師對數學核心素養的理論解讀，也包括教師對學生數學核心素養水平的實踐考查。數學核心素養指向數學認識論、方法論和價值論，數學認識論解決的是“是什么”的問題，指學生應把握的重要數學思想和觀念;數學方法論解決的是“怎么做”的問題，指學生完成認識過程所運用的數學方法;數學價值論解決的是“為什么”的問題，指學生的品格和數學價值追求[16]。而數學大觀念的基本特性：關聯性、深刻性和應用性分別對應認識論、方法論和價值論，這與數學核心素養相契合。雖然知識不等同于核心素養，但是核心素養的形成離不開知識的學習，包括知識內容、形式和旨趣[17]。因此，教師可以從知識角度考查數學核心素養水平。數學大觀念是由具有某種內在關聯的數學知識系統構成，這與從知識角度評價數學核心素養水平相一致。為解決教師對數學大觀念理解表面化的現實困境，本文基于素養觀，明確數學大觀念的結構與水平（見表1）。

基于素養觀，數學大觀念的結構呈現為縱向教學單元和橫向數學知識學習水平相結合的網狀結構。橫向結構基于數學核心素養水平框架，分為三個水平：知識理解為掌握數學基礎知識與思想，形成基本技能，能解決基本數學問題;知識遷移為將基礎知識和技能遷移到不同情境，促進新知識學習;知識創新為解決開放性問題，生成超越教材的新知識，通過變式擴展問題[18]。這一進階過程既體現了數學大觀念的特性，又彰顯其整體性與階段性。縱向結構由內在關聯的教學單元構成，每個教學單元包含不同學習進階的課時內容。教學單元以形式分裂、本質統整構成整體，通過關聯性建構數學大觀念的結構[19]。例如將“度量單位”作為數學大觀念，得到“度量單位”的結構與水平（見表2）。因此，基于素養觀，教師建立了雙向路徑深化數學大觀念的理解：“自上而下”的邏輯加工，即從數學核心素養和數學主題內容出發，分析與解構教學單元與課時安排;“自下而上”的抽象凝練，即結合教學經驗和學情，歸納與概括數學大觀念的發展水平。

2.基于整體觀，建立數學大觀念教學設計

整體觀是基于整體主義教學理論提出的，用整體思維思考與理解數學學科內容和結構，結合學情分析組織教學活動，強調知識和學習的完整性，注重培養完整的人。基于整體觀建立的數學大觀念教學設計是以數學大觀念為核心，對相關數學知識和數學學習進行整體的教學設計，相關數學知識的整體設計遵循“目標—表現—結構—活動”的程序，完整的數學學習過程遵循“整體—部分—整體”的邏輯（如圖1）。

其中，數學大觀念目標是基于KUD目標描述結構[20]和教學目標設計條目表[21]，對數學核心素養要求和數學大觀念內容的總體描述。整體預期性表現是教師評估數學大觀念目標的達成度，包括數學知識理解、遷移和創新表現。數學大觀念知識結構是縱橫知識結構關聯形成的整體，縱向知識結構關聯是以數學大觀念為核心的結構相同的數學知識的發生、發展的關系，呈現縱深發展的知識鏈;橫向知識結構關聯是以數學大觀念為核心的結構類似的數學知識之間的聯結關系，是由多個“并列結合關系”的知識鏈構成的結構[22]。數學大觀念教學活動設計應以問題引領規劃整體性教學活動，問題引領強調數學內容性問題，包含知識性問題和思維性問題。提煉知識性問題的關鍵在于，從宏觀視角提煉核心問題，統領相關數學內容，聚焦于內容還是教學？提煉思維性問題的關鍵在于，引導學生深入思考，注重聯系還是思想？[23]數學大觀念教學活動設計聚焦問題引領的整體活動規劃，考量的是從全局的角度看“教什么”的問題。

整體觀的數學大觀念教學設計要求教師用整體思維理解數學大觀念目標、預期性表現、相關數學內容的縱橫知識結構和問題引領的教學活動，在此基礎上用局部思維理解以數學大觀念為中心的系列教學單元目標、階段預期性表現、各個教學單元知識結構和問題驅動的教學單元教學活動，最后，形成一個以數學大觀念為核心的充滿聯系的數學知識整體。顯然，前后兩個整體不盡相同。前者是呈現以數學大觀念為核心的相關數學內容的整體輪廓，后者是將數學大觀念教學理念落實到單元與課時教學設計中，呈現具體且充滿聯系的知識結構。

3.基于整合觀，構建數學大觀念教學實施

數學大觀念教學旨在培養學生整體性和結構化的數學認知，引導其像專家一樣思考，逐步形成解決問題的能力。專家思維的核心特征是情境性知識應用，即“從情境中來，到情境中去” [24]。只有通過參與數學情境，學生才能深刻理解數學知識的本質及結構。若學生僅關注孤立情境中的數學知識點，而忽略以數學大觀念為中心的系列情境中的共性、差異以及遷移應用，數學大觀念教學的意義將被削弱。因此，實施數學大觀念教學需強化情境引領，構建貫穿全程的完整數學問題或任務。該數學問題既要體現數學學科特點與學生學情，又要展現數學大觀念的整體本質，同時能分解到具體課時中，避免僅作情境引入或簡單知識應用，而是深入揭示數學知識的核心本質。由此，整合學科知識與學生學情是實現數學大觀念教學的重要路徑，基于整合觀的教學設計具有可行性。

基于整合觀的數學大觀念教學實施，是指教師運用多層次、多維度的整合思維實施數學教學活動。這種整合思維注重從整體到局部，從結構到功能的綜合考量。在數學大觀念教學實施中，教師應當從“問題引領”和“問題驅動”兩個方面引導學生對所學數學大觀念系列內容進行整合與遷移。首先，教師應整合數學大觀念的相關內容，提煉出彰顯其本質的核心問題，以引領數學大觀念教學;其次，通過整合師生互動中自然生成的本原性問題，構建驅動學生深入思考的問題鏈。問題的設計既要體現數學特色，又要貼近學生的真實生活情境，同時融入數學文化和發展史，激發學生的好奇心和學習興趣。這些問題的引導促使學生在思考中深入學習數學大觀念，實現知識的遷移與應用。

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【責任編輯" " 王澤華】

*該文為國家自然科學基金項目“維漢雙語小學數學文化讀物的編纂與推廣”（12026502）的研究成果