行波激勵下多跨單索面矮塔斜拉橋主墩索塔地震響應研究

摘要： 為探究行波激勵對多跨矮塔斜拉橋地震響應的影響，選取某六跨單索面-矮塔斜拉橋為工程背景，采用MIDAS/Civil有限元軟件建立全橋有限元模型，并根據相對運動法理論模擬多點激勵行為。分析橋墩墩底、橋塔塔底以及橋塔塔頂這3個關鍵位置處在多點地震動激勵作用下的內力或位移響應，并探究不同視波速下結構內力與位移的變化規律。研究結果表明：行波激勵對多跨矮塔斜拉橋的地震響應產生顯著影響。當視波速為500 m/s時，最不利關鍵位置處的內力或位移均約為一致激勵時的1.2倍；行波激勵對中墩底部的彎矩與剪力、邊塔塔底的彎矩與剪力和塔頂位移均產生不利影響；隨著視波速的提升，行波激勵的影響逐漸減弱，當視波速大于7 000 m/s時，關鍵結構處的內力與位移與一致激勵時對應的內力與位移基本保持一致，此時行波激勵效應對結構關鍵位置處內力的影響可忽略不計。

關鍵詞： 單索面; 矮塔斜拉橋; 行波激勵; 主墩; 索塔; 地震響應

中圖分類號： U441.2""""" 文獻標志碼：A"" 文章編號： 1000-0844（2025）02-0263-07

DOI：10.20000/j.1000-0844.20230711001

Seismic response of the main pier pylon of a multispan extradosed

cable-stayed bridge with a single cable plane

under traveling wave excitation

ZHAO Licai^1，2

（1.Department of Civil and Construction Engineering， National Taiwan University of Science and Technology， Taipei 10607， Taiwan， China;

2. The Third Engineering Co.， Ltd.， China Railway 19th Bureau Group Corporation Limited，Shenyang 110136，Liaoning，China）

Abstract：

A six-span extradosed cable-stayed bridge with a single cable plane was investigated in this study to assess the influence of wave traveling effect on the earthquake response of multispan extradosed cable-stayed bridges. A finite element model of the full bridge was established using the software MIDAS/Civil， and the multi-point excitation behavior was simulated based on the theory of relative motion. The internal force or displacement response of three key positions， namely pier bottom， tower bottom， and tower top， under multipoint ground motion excitation were analyzed. Furthermore， the variation law of structural internal force and displacement under different apparent wave velocities was also explored. The research results reveal that the traveling wave excitation has a significant effect on the earthquake response of the multispan extradosed cable-stayed bridge. At an apparent wave velocity of 500 m/s， the internal forces or displacements at the most unfavorable key position are approximately 1.2 times those under uniform excitation. Furthermore， traveling wave excitation has adverse effects on the bending moment and shear force at the bottom of the middle pier and side tower， as well as on the displacement at the top of the side tower. As the apparent wave velocity increases， the influence of traveling wave excitation gradually weakens. When the apparent wave velocity exceeds 7 000 m/s， the internal forces and displacements at key positions are basically the same as those under uniform excitation. This finding indicates that the influence of traveling wave excitation on the internal force at key positions of the structure can thus be ignored.

Keywords：

single cable plane; extradosed cable-stayed bridge; traveling wave excitation; main bridge pier; bridge pylon; seismic response

0 引言

矮塔斜拉橋是介于連續梁橋和斜拉橋之間的一種新型橋梁，矮塔斜拉橋跨徑布置非常靈活，可設計成單塔雙跨、雙塔三跨和多塔多跨等不同的結構形式。常規斜拉橋一般沿縱橋向全橋布索，而矮塔斜拉橋存在明顯的3處無索區段：中跨跨中、塔根部和邊跨端部。多跨矮塔斜拉橋具有結構剛度大、施工方便、造型美觀等優點，故被視為跨越峽谷、溝壑的優選橋型^［1］。然而，中國地處地震多發區，一旦發生地震災害，橋梁結構損壞往往導致巨大的人員傷亡和財產損失^［2］，該類多跨矮塔斜拉橋的抗震設計問題已引起橋梁界廣泛的關注。目前，在橋梁結構的地震響應分析中多采用一致激勵法^［3］，該方法假設各支承點受到的地面運動是相同的，只考慮其隨時間的變化。這種假設對于中小跨度橋梁可以接受，但對于大跨度的多跨矮塔斜拉橋而言，該假設與實際情況可能會存在較大的偏差^［4-5］。當地震發生時，由于多跨矮塔斜拉橋的各橋墩可能位于不同的場地上，會產生多點激勵情況。此外，即使場地效應變化不明顯，但由于地震波沿橋梁縱向傳播的時間差異，也可能會存在行波激勵效應，因此有必要考慮行波激勵效應對多跨矮塔斜拉橋的地震響應的影響，為該類橋型的抗震設計提供參考。

對于行波激勵在大跨度纜索支撐體系橋梁地震響應的影響研究方面，國內外許多學者進行了深入的研究。宋光松等^［6］研究了行波激勵下高烈度區特大鐵路懸索橋的減震技術，通過布置阻尼器等減震裝置來減小地震引起的結構響應。陽威等^［7］分析了行波激勵效應對大跨度懸索橋地震響應的影響，研究了大跨度懸索橋在地震響應中關鍵部位的結構變形與內力響應。王浩等^［8］以大跨懸索橋為工程背景，分析了考慮行波激勵效應下大跨度三塔懸索橋的減震控制方案。曾勇等^［9］通過有限元模擬方法，分析了行波激勵效應對公軌兩用獨塔單索面鋼桁梁斜拉橋地震響應的影響。孫利民等^［10］通過樁-土-斜拉橋的多點振動臺試驗，對行波激勵下大跨度斜拉橋抗震性能進行評估。開永旺^［11］考慮土-結構相互作用、非線性材料行為和地震波傳播效應等因素，分析了矮塔斜拉橋在地震作用下的動力響應和結構變形。潘思璇等^［12］使用有限元方法，通過考慮行波激勵效應的影響，對大跨度矮塔斜拉橋進行抗震性能分析。沈禹等^［13］考慮行波激勵效應對矮塔斜拉橋抗震性能的影響，探究了不同場地條件、不同視波速等因素對矮塔斜拉橋地震響應的影響。

目前，針對大跨度斜拉橋、懸索橋的行波激勵效應研究已較為深入，而針對多跨矮塔斜拉橋的行波激勵效應的影響研究則較為不足。因此，本文以某多跨矮塔斜拉橋為工程背景，基于MIDAS/Civil有限元軟件建立全橋有限元模型，探究多點激勵情況下的多跨矮塔斜拉橋的地震響應規律，為同類橋型的抗震設計提供參考。

1 行波激勵方法

分析行波效應的地震動激勵方法主要有：相對運動法，大質量法和位移輸入法。其中，相對運動法基于疊加原理，原則上只適用于線彈性體系，對地震響應并不適用。本文基于MIDAS/Civil軟件的位移輸入法，來模擬地震中的行波效應^［14］，通過分離結構的擬靜力分量與動力分量，研究結構的地震響應規律。

對于具有多點支撐的橋梁結構，考慮行波激勵效應的動力平衡方程為：

MssMsbMbsMbbsb+CssCsbCbsCbbsb+" KssKsbKbsKbbUsUb=0Pb（1）

式中：b、b、Ub分別為結構支撐處的絕對加速度、絕對速度和絕對位移;s、s、Us分別表示結構非支撐處（自由節點）的絕對加速度、絕對速度和絕對位移;Mss、Mbb分別為結構支撐處和非支撐處（自由節點）的質量矩陣;Msb、Mbs分別為支撐處與非支撐處（自由節點）接觸界面的質量矩陣;Css、Cbb分別為結構支撐處和非支撐處（自由節點）的阻尼矩陣;Csb、Cbs分別為支撐處與非支撐處（自由節點）接觸界面的阻尼矩陣；Kbb、Kss分別為結構支撐處（自由節點）和非支撐處的剛度矩陣；Ksb、Kbs用來表征支撐處和非支撐處（自由節點）接觸界面的剛度矩陣;Pb為支撐處所受到的外力。

對式（1）展開運動方程并忽略較小的阻尼項，得到簡化運動方程為：

MssUs+CssUs+KssUs=-KsbUb （2）

2 工程背景與有限元模型

選取某六跨混凝土矮塔斜拉橋為工程背景。該橋跨徑布置為105 m+178 m×4+105 m，單索面-矮塔斜拉橋立面如圖1所示。主梁寬度29.5 m，主梁高度范圍2.95～5.75 m，采用變高度截面預應力混凝土箱梁結構，主梁高度沿二次拋物線變化，主墩采用矩形空心墩，采用單箱兩室橫截面，其箱梁截面如圖2所示。斜拉索位于主梁與索塔中心位置，采用獨塔單索面布置方案，全橋共80根斜拉索，塔柱截面縱向長2.5 m，橫向寬2.2 m，塔高16.5 m，為實心矩形混凝土截面。主梁上縱向拉索索距為5 m，主塔上縱向拉索索距0.8 m。下部墩身和上部索塔通過剛性聯結形成固結體系，主塔高度在40～75 m范圍內變化。主梁與主塔采用C55混凝土，橋墩采用C50混凝土，斜拉索采用低松弛高強度鋼絞線成品索（1 860 MPa鋼絞線）。設計荷載按1.3倍的公路-I級取值。

采用MIDAS/Civil有限元分析軟件建立全橋模型進行空間分析，如圖3所示。全橋模型共計880個節點與746個單元。采用梁單元模擬主梁、主塔與橋墩;同時因橋梁跨徑較小，故采用采用桁架單元模擬斜拉索。整體坐標系定義如下：縱橋向為X向、橫橋向為Y向、豎橋向為Z向。有限元模型中斜拉索與主梁與主塔之間采用剛性連接，主梁與橋墩之間為固結方式，采用共節點方式模擬。

3 橋梁動力特性

為了進一步了解橋梁的動力特性，采用子空間迭代法計算得到橋梁的前10階自振頻率與周期，結果如表1所列。有限元計算結果表明，該橋的第一階振型為主梁豎彎，自振頻率0.445 Hz，周期2.248 s。橋梁前10階自振頻率的變化范圍從0.445 Hz至1.135 Hz，橋梁整體自振頻率較大，說明結構具有較大的剛度。以上分析結果與同類橋型的自振特性相符，說明了有限元模型的準確性。

4 地震波選取

多跨橋梁結構在不同地震波輸入下的動力響應可能會存在較大差異。為了考慮行波激勵效應對多塔矮塔斜拉橋地震響應的影響，采用MIDAS/Civil軟件中的節點動力荷載和多支座激振的功能來模擬多塔斜拉橋受到行波激勵效應的影響規律。

考慮地震動具有極強的隨機性，本文從太平洋地震工程研究中心（Pacific Earthquake Engineening Research，PEER）網站選取具有代表性的El-Centro波、Taft波及Landers波進行橋梁的地震響應分析^［15］，對多跨矮塔斜拉橋的行波效應進行初步探究。El-Centro波持續時間為32.5 s，峰值加速度0.357g，其加速度時程曲線如圖4所示。Taft波持續時間為54.5 s，峰值加速度0.15g，其加速度時程曲線如圖5所示。Landers波持續時間為60 s，峰值加速度0.85g，其加速度時程曲線如圖6所示。

對于多跨結構橋梁，地震波到達各個橋墩基礎的時間差主要取決于兩個參數：視波速＼，地震波傳播方向與震源所在平面夾角^［16］。考慮到地震動的空間不確定性，地震波在地表傳播的方向與震源所在平面夾角也存在不確定性，故在實際計算分析中，通常采用預先設定夾角值和視波速的方法來考慮行波激勵效應。本文假定地震波傳播方向與震源所在平面夾角為0，即地震波傳播方向與縱橋向（X向）平行，并假定從1號墩向5號墩方向傳播。考慮到地震波在不同地質條件下，具有不同的波速，為較全面分析地震行波激勵效應的影響，視波速取500 m/s為初始，最高波速取為10 000 m/s，不同視波速分別為：500、1 000、2 000、4 000、7 000、10 000 m/s。不同視波速下到達不同橋墩的時間如表2所列。

5 行波激勵下的結構地震響應分析

為了探究地震行波激勵效應對多跨矮塔斜拉橋的影響，分別選取橋墩墩底、橋塔塔底以及橋塔塔頂這些關鍵位置進行分析。分別計算得到一致激勵與多點激勵作用下關鍵位置的內力或位移，并進一步計算得到多點激勵與一致激勵下內力或位移的比值^［17-18］。

5.1 內力分析

不同的視波速下橋墩墩底彎矩的變化趨勢如圖7所示。

從圖7可以看出，考慮行波激勵效應時，橋墩墩底彎矩較一致激勵情況產生了明顯差別。除了3號墩以外，其余各墩墩底彎矩的變化趨勢基本一致，橋墩墩底彎矩隨著視波速的增加而逐漸增大，而3號墩墩底彎矩隨著視波速的增加而逐漸減小。當視波速為500 m/s時，1號墩的墩底彎矩最小，為一致激勵時的0.73倍;3號墩的墩底彎矩最大，為一致激勵時的1.17倍。隨著視波速的增加，各橋墩在墩底處因多點激勵產生的彎矩逐漸接近于一致激勵下產生的彎矩。對于3號橋墩，當視波速大于4 000 m/s時，其橋墩墩底彎矩與一致激勵時相差不大。相對于其他位置橋墩，當視波速大于7 000 m/s時，橋墩墩底彎矩與一致激勵時的基本保持一致。從以上分析可以看出，考慮行波激勵效應，對除了3號橋塔以外的其余橋墩底部的抗彎均有利，但對中墩（3號墩）抗彎不利。

不同的視波速下橋墩墩底剪力的變化趨勢如圖8所示。從圖8可以看出，考慮行波激勵效應時，橋墩墩底剪力的變化規律與彎矩變化規律基本一致，且墩底剪力較一致激勵情況產生了明顯差別。除了3號墩以外，其余橋墩的墩底剪力隨著視波速的增大呈增大趨勢，3號墩墩底剪力則呈減小趨勢。當視波速為500 m/s時，5號墩的墩底剪力最小，為一致激勵時的0.77倍;3號墩的墩底剪力最大，為一致激勵時的1.15倍。隨著視波速的增加，各橋墩在墩底處因多點激勵產生的剪力逐漸接近于一致激勵下產生的剪力。對于3號墩，當視波速大于2 000 m/s時，其墩底剪力與一致激勵時基本保持一致;對于其他橋墩，當視波速大于7 000 m/s時，出現了墩底剪力與一致激勵時保持一致的現象。以上分析表明，除了3號橋墩以外，行波激勵效應對于橋墩墩底抗剪有利，但對墩中抗剪不利。

在不同的視波速下，橋塔塔底彎矩的變化趨勢如圖9所示。由圖9可知，行波激勵效應對橋塔塔底彎矩產生了較大的影響。對于1、2號橋塔、隨著視波速的增加，橋塔底彎矩逐漸減小，并逐漸與一致激勵時保持一致;對于3～5號橋塔，塔底彎矩隨著視波速的增加而逐漸增大，并逐級與一致激勵時保持一致。當視波速為500 m/s時，3號橋塔處的塔底彎矩最小，為一致激勵時的0.87倍;1號橋塔處的塔底彎矩最大，為一致激勵時的1.13倍。當視波速大于7 000 m/s時，橋塔彎矩與一致激勵相對應的橋塔彎矩基本保持相同。考慮行波激勵效應后，1、2號塔的塔底彎矩較一致激勵時偏不利，3～5號橋塔的塔底彎矩較一致激勵時偏有利。

在不同的視波速下，橋塔塔底剪力的變化趨勢如圖10所示。從圖10可以看出，橋塔塔底剪力變化規律與塔底彎矩變化規律相近。考慮行波激勵效應時，1、2號橋塔的塔底剪力隨著視波速的增加而不斷減小，并逐漸接近一致激勵時的塔底剪力;3～5號橋塔的塔底剪力隨著視波速的增加而不斷增加，并逐漸接近一致激勵時的塔底剪力。當視波速為500 m/s時，3號橋塔具有最小的塔底剪力，為一致激勵時的0.87倍;1號橋塔具有最大的塔底剪力，為一致激勵時的1.12倍。當視波速大于7 000 m/s時，橋塔塔底處的剪力與一致激勵時對應的剪力基本一致。考慮行波激勵效應后，1、2號橋塔的塔底剪力較一致激勵時偏不利，3～5號橋塔的塔底剪力較一致激勵時偏有利。

5.2 位移分析

在不同的視波速下，橋塔塔頂部位移的變化趨勢如圖11所示。從圖11可以看出，考慮行波激勵效應時，橋塔頂部位移較一致激勵情況產生了顯著差別。1、2號橋塔塔頂位移隨著視波速的增加呈減小趨勢;3～5號橋塔的塔頂位移隨視波速的增加呈增大趨勢。當視波速為500 m/s時，3號橋塔具有最小的塔頂位移，為一致激勵時的0.81倍;1號橋塔具有最大的塔頂位移，為一致激勵時的1.26倍。當視波速大于4 000 m/s時，各橋塔的塔頂位移基本與一致激勵時保持一致。從以上分析可以看出，考慮行波激勵效應后，1、2號橋塔的塔頂位移較一致激勵時有較大的增加，3～5號橋塔的塔頂位移則較一致激勵時有所減小。

6 結論

本文以某六跨單索面-混凝土矮塔斜拉橋為工程背景，采用MIDAS/Civil有限元軟件建立全橋模型進行空間分析，在PEER數據庫中分別選取El-Centro波、Taft波及Landers波進行分析。在橋梁順橋向通過多點激勵地震輸入，分析行波激勵對多跨矮塔斜拉橋地震響應的影響，并探究不同視波速下的橋梁地震響應規律。本文主要結論如下：

（1） 多跨矮塔斜拉橋在考慮行波激勵效應后，其橋墩墩底與橋塔塔底處的內力較一致激勵時產生顯著差別。當視波速為500 m/s時，最不利橋墩處的橋墩墩底彎矩與剪力分別為一致激勵時的1.17與1.15倍;當視波速為500 m/s時，最不利橋塔處的塔底彎矩與剪力分別為1.13與1.12倍。隨著視波速的增加，結構關鍵位置處的內力逐漸與一致激勵時接近。當視波速大于7 000 m/s時，行波激勵效應對結構關鍵位置處內力的影響可忽略不計。

（2） 多跨矮塔斜拉橋在考慮行波激勵效應后，其橋塔塔頂位移較一致激勵時產生顯著差別。當視波速為500 m/s時，最不利橋塔處的塔頂位移為一致激勵時的1.26倍。隨著視波速的增加，塔頂位移逐漸與一致激勵時保持相近。當視波速大于4 000 m/s時，行波激勵效應對橋塔塔頂位移的影響可忽略不計。

（3） 對于多塔矮塔斜拉橋的抗震設計，在視波速小于4 000 m/s時，行波激勵效應會對該類橋型的內力和位移產生顯著影響。針對該類橋梁結構，應充分考慮多點輸入的行波激勵效應影響，而不是僅考慮一致地震動輸入。

參考文獻（References）

［1］ 陳星燁，黃俊杰，顏東煌.多跨矮塔斜拉橋合龍方案比選優化［J］.中外公路，2011，31（4）：98-103.

CHEN Xingye，HUANG Junjie，YAN Donghuang.Comparison and optimization of closure schemes for multi-span low-pylon cable-stayed bridges［J］.Journal of China amp; Foreign Highway，2011，31（4）：98-103.

［2］ GUO W，LI J Z，GUAN Z G.Shake table test on a long-span cable-stayed bridge with viscous dampers considering wave passage effects［J］.Journal of Bridge Engineering，2021，26（2）：04020118.

［3］ 李茜，王克海，韋韓.高墩梁橋地震響應分析［J］.地震工程與工程振動，2006，26（3）：74-76.

LI Qian，WANG Kehai，WEI Han.Seismic response analysis for girder bridges with tall piers［J］.Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2006，26（3）：74-76.

［4］ ADANUR S，ALTUNK C.Wave-passage effect on the seismic response of suspension bridges considering local soil conditions［J］.International Journal of Steel Structures，2017，17（2）：501-513.

［5］ WU Y X，GAO Y F.A modified spectral representation method to simulate non-Gaussian random vector process considering wave-passage effect［J］.Engineering Structures，2019，201：109587.

［6］ 宋光松，江輝，郭輝，等.行波激勵下高烈度區特大鐵路懸索橋減震技術研究［J］.鐵道科學與工程學報，2022，19（11）：3303-3315.

SONG Guangsong，JIANG Hui，GUO Hui，et al.Seismic reduction technology of long-span railway suspension bridge in high-intensity area with the action of traveling wave effect［J］.Journal of Railway Science and Engineering，2022，19（11）：3303-3315.

［7］ 陽威，郝憲武，張鑫敏.行波效應對大跨度懸索橋地震響應的影響分析［J］.工程抗震與加固改造，2020，42（2）：100-106.

YANG Wei，HAO Xianwu，ZHANG Xinmin.Analysis of influence of traveling wave on seismic response of long-span suspension bridge［J］.Earthquake Resistant Engineering and Retrofitting，2020，42（2）：100-106.

［8］ 王浩，陶天友，張玉平，等.行波輸入下大跨度三塔懸索橋減震控制［J］.東南大學學報（自然科學版），2017，47（2）：343-349.

WANG Hao，TAO Tianyou，ZHANG Yuping，et al.Seismic control of long-span triple-tower suspension bridge under travelling wave action［J］.Journal of Southeast University （Natural Science Edition），2017，47（2）：343-349.

［9］ 曾勇，曾渝茼，譚宇杰，等.行波效應對公軌兩用獨塔單索面鋼桁梁斜拉橋地震反應影響分析［J］.結構工程師，2021，37（6）：92-98.

ZENG Yong，ZENG Yutong，TAN Yujie，et al.Influence of traveling wave effect on seismic response of single pylon cable-stayed bridge with single cable plane steel truss for road and rail［J］.Structural Engineers，2021，37（6）：92-98.

［10］ 孫利民，謝文，樓夢麟，等.行波激勵下樁-土-斜拉橋多點振動臺試驗［J］.中國公路學報，2017，30（12）：221-233.

SUN Limin，XIE Wen，LOU Menglin，et al.Multiple shaking table tests on pile-soil-cable-stayed bridge under travelling wave excitations［J］.China Journal of Highway and Transport，2017，30（12）：221-233.

［11］ 開永旺.考慮實際場地的矮塔斜拉橋非線性地震響應分析［J］.鐵道科學與工程學報，2021，18（2）：417-424.

KAI Yongwang.Nonlinear seismic response analysis of extradosed cable-stayed bridge considering actual site condition［J］.Journal of Railway Science and Engineering，2021，18（2）：417-424.

［12］ 潘思璇，唐冕，宋旭明.行波激勵對非對稱矮塔斜拉橋抗震性能的影響［J］.中南大學學報（自然科學版），2020，51（7）：1862-1872.

PAN Sixuan，TANG Mian，SONG Xuming.Seismic behavior of asymmetric extradosed bridge with action of traveling wave effect［J］.Journal of Central South University （Science and Technology），2020，51（7）：1862-1872.

［13］ 沈禹，談華順，王獻摯，等.考慮行波效應的大跨度矮塔斜拉橋耐震時程分析［J］.工程力學，2020，37（3）：131-141，148.

SHEN Yu，TAN Huashun，WANG Xianzhi，et al.Application of the endurance time method to seismic-induced pounding analysis for long-span extradosed cable-stayed bridges considering wave passage effects［J］.Engineering Mechanics，2020，37（3）：131-141，148.

［14］ 陳志偉，蒲黔輝，李晰，等.行波效應對大跨連續剛構橋易損性影響分析［J］.西南交通大學學報，2017，52（1）：23-29，37.

CHEN Zhiwei，PU Qianhui，LI Xi，et al.Fragility analysis of large-span continuous rigid bridge considering wave passage effectt［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2017，52（1）：23-29，37.

［15］ PARK K S，JUNG H J，LEE I W.Hybrid control strategy for seismic protection of a benchmark cable-stayed bridge［J］.Engineering Structures，2003，25（4）：405-417.

［16］ XU B，WU Z S，YOKOYAMA K.Neural networks for decentralized control of cable-stayed bridge［J］.Journal of Bridge Engineering，2003，8（4）：229-236.

［17］ 李小珍，劉楨杰，雷虎軍，等.行波效應對矮塔斜拉橋彈塑性地震響應的影響［J］.鐵道工程學報，2015，32（11）：49-54.

LI Xiaozhen，LIU Zhenjie，LEI Hujun，et al.Effect of traveling wave on elastic-plastic seismic response of low-pylon cable-stayed bridge［J］.Journal of Railway Engineering Society，2015，32（11）：49-54.

［18］ VINAYAGAMOORTHY M，GANESH G M，SANTHI A S.Structural robustness of a single span extra dosed bridge over cable stayed bridge［J］.Journal of Applied Science and Engineering，2019，22（3）：413-420.

（本文編輯：任 棟）