單樁式海上風機基頻計算方法及參數分析
2025-03-01 00:00:00余云燕候浩勝孔嘉樂
地震工程學報 2025年2期
摘要： 海上風機結構體系屬于動力敏感型結構，參數變化易對系統基頻產生影響。系統基頻是海上風機結構與基礎設計的關鍵，精確計算系統基頻具有非常重要的工程意義。文章基于Euler-Bernoulli梁理論，考慮樁-土相互作用、水體附加質量和塔筒變截面特性，采用回傳射線矩陣法建立單樁式海上風機系統橫向基頻計算方法。利用實際工程驗證該方法的精確性和有效性，并對系統基頻偏移因素進行綜合分析。分析表明，樁-土相互作用、水體附加質量和塔筒變截面特性對系統基頻影響顯著;系統基頻對參數的敏感性為：樁基埋深gt;樁徑gt;地基土模量gt;上部質量gt;海水深度gt;樁基壁厚;樁基埋深、樁徑、地基土模量和樁基壁厚存在臨界值，超過該值后參數變化對系統基頻基本無影響。文章在一定程度上揭示了系統基頻偏移因素影響規律，可為風機的結構和基礎設計提供參考。
關鍵詞： 海上風機; 單樁基礎; 自振頻率; 水-樁-土相互作用; 參數分析
中圖分類號： TU473""""" 文獻標志碼：A"" 文章編號： 1000-0844（2025）02-0281-08
DOI：10.20000/j.1000-0844.20230720003
Fundamental frequency calculation method and parameter
analysis of monopile offshore wind turbines
YU Yunyan， HOU Haosheng， KONG Jiale
（College of Civil English， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， Gansu， China）
Abstract：
As a dynamic-sensitive structure， the changes in the offshore wind turbine structure are easy to affect the fundamental frequency of the system. The fundamental frequency of the system is key to the structure and foundation design of offshore wind turbines; hence， it is of great engineering significance to accurately calculate the fundamental frequency of the system. Based on the Euler-Bernoulli beam theory， considering the pile-soil interaction， added water mass， and the variable section characteristics of the tower， a calculation method of the transverse fundamental frequency of the single-pile offshore wind turbine system was established using the reverberation-ray matrix method. The accuracy and effectiveness of the proposed method were verified by a practical project， and the fundamental frequency excursion factors of the system were comprehensively analyzed. The analysis results showed that the pile-soil interaction， the added water mass， and the variable section characteristics of the tower all have a significant effect on the fundamental frequency of the system. The sensitivity of the system's fundamental frequency to different parameters is as follows： buried depth of pile foundation gt; pile diameter gt; modulus of foundation soil gt; upper mass gt; seawater depth gt; wall thickness of pile foundation. When the buried depth of the pile foundation， the pile diameter， the foundation soil modulus， and the wall thickness of the pile foundation exceed the critical value， the change of parameters has little effect on the fundamental frequency of the system. To a certain extent， this paper revealed the influence law of fundamental frequency excursion factors of the system， thus providing a reference for the structure design of offshore wind turbines.
Keywords：
offshore wind turbine; single-pile foundation; natural frequency; water-pile-soil interaction; parameter analysis
0 引言
海上風能分布廣泛、發展潛力巨大，是優質的可再生清潔能源。為解決能源短缺、環境污染等全球性難題，我國在“十四五”期間提出大力發展海上風機這一戰略決策。海上風機的基礎形式豐富多樣，其中單樁基礎因具有結構簡單、占用面積小、承載力高和沉降量小且均勻等優點被廣泛使用，在國外已建工程中占比近80%［1-2］。我國可根據國外已有設計和施工經驗，大力發展單樁式海上風機，以建設清潔、低碳、安全、高效的現代化能源體系。
在海上風機的運營期間，風機系統會受到渦輪機和葉輪掃掠過程中的諧振作用［3］，因此風機系統一階橫向自振頻率需避免與渦輪機的轉動頻率（1P頻率）和葉輪掃掠頻率（3P頻率）發生重疊而引起共振效應。國際上均采用“軟-剛”模式進行海上風機系統的結構與基礎設計［4］，即要求系統一階橫向自振頻率介于1P頻率帶和3P頻率帶之間。安全起見，行業標準規范［5］建議，在設計風機系統時應在1P頻率帶與3P頻率帶之間留有10%的安全余度，使得基頻設計容許區間進一步縮小，海上風機系統基頻的計算精度要求進一步提高。
單樁式海上風機的樁-土相互作用和塔筒變截面特性是精確計算頻率的關鍵。Bhattacharya等［6］，Lombardi等［7］將樁-土相互作用簡化為水平剛度彈簧和搖擺剛度彈簧，上部結構等效為Euler-Bernoulli梁;Byrne［8］將地基與基礎、上部結構的相互作用考慮為有一個旋轉自由度的彈簧連接的等截面懸臂梁系統，頂部為集中質量;Zaaijer［9］與Shadlou等［10］將地基簡化為有水平、旋轉兩個自由度的彈簧連接，并將風機塔筒考慮為等截面桿。上述學者建立的風機系統基頻求解模型雖然形式簡單，但底部彈簧剛度的取值較為復雜，且未考慮塔筒的變截面特性。為此許多學者［11-16］基于Timoshenko梁理論，采用連續分布的彈簧-阻尼器并聯模型模擬樁土相互作用，并考慮塔筒的變截面特性，提出了單樁式海上風機系統基頻計算方法。
海上風機結構處于復雜惡劣的海洋環境中，長期承受海洋水體作用，結構-水體相互作用對風機系統頻率的影響不可忽視。徐漢忠［17］針對懸臂梁在水中自由振動問題，提出了求解梁與水體耦合的振動微分方程，并應用水體附加質量的概念，得到了梁在水中的頻率和振型的簡易計算公式;Wang等［18-21］等進一步提出了關于剛性柱、柔性圓柱體在水中振動問題的樁-水附加質量計算模型;許成順等［22］基于OpenSees有限元平臺驗證了水體附加質量對大直徑鋼管樁基頻有顯著影響;趙密等［23］基于水體附加質量模型，建立了單樁式海上風機結構系統橫向振動頻率特征方程。上述學者通過水體附加質量的方式考慮結構-水體相互作用，建立了風機系統頻率求解模型，但并未與實測頻率對比，無法充分驗證模型的有效性，與實際工程中推廣應用仍有一定距離。此外，上述研究沒有充分考慮海水深度變化對風機系統頻率的影響，未能深度揭示風機系統頻率的偏移機理。
綜上所述，目前仍缺少一種考慮全面且計算簡便的海上風機系統頻率求解方法。Pao等［24］提出的回傳射線矩陣法具有步驟清晰、精度高和計算簡便等優點，能夠精確計算復雜結構的任意階自振頻率。故本文基于回傳射線矩陣法，充分考慮塔筒的變截面特性、海洋水體作用和樁-土相互作用，提出單樁基礎海上風機橫向自振頻率精確求解模型，進一步研究海洋環境因素和風機結構參數對風機系統基頻的影響，并進行參數敏感性分析，為風機系統基頻的前期設計提供一定參考。
1 基于回傳射線矩陣法海上風機橫向振動方程的建立
如圖1（a）所示，大直徑單樁海上風機主要由葉輪-機艙組合件、塔筒與大直徑單樁3部分組成。如圖1（b）所示，以樁底為原點，沿高度增加方向為x軸，建立風機整體計算模型。
風機整體計算模型基本假設如下：
（1） 葉輪-機艙組合件等效為與塔筒剛性連接的集中質量，偏心影響不予考慮。
（2） 變截面塔筒等效為相互連接的若干段等截面梁，選用截取分段中位線所在的截面為等效截面，頂部直徑Ds，底部直徑Dx，j段直徑Dj；水中塔筒視作一段，長度為hw；采用水體附加質量ma模擬樁-水相互作用，變截面塔筒部分劃分為n2段，總長度為ht，變截面塔筒各分段長l=ht/n2。
（3） 全埋入單樁總長為hs，以Winkler地基模型模擬樁-土相互作用，等效為有均布彈簧的等截面
梁，Makris等［25］基于連續分布的線性彈簧提出了橫向彈簧系數ki和土體彈性模量Es的計算公式，即ki=1.2×Es，利用該公式進一步確定橫向彈簧系數，根據土層特性分為n1段，整個結構共有n段，n=n1+n2+1。
在局部坐標系下，Euler-Bernoulli梁頻域中橫向振動方程為：
EIjd4dx4-（ω2ρAj+ω2ma-ki）=0 （1）
其中水體附加質量ma表達式［23］為：
m0=ρwπr20.6e-0.932rhw-0.403e-0.1562rhw
ma=m00.432 7e-5.844rhw+0.536 9e-0.078 1rhw（2）
式中：E、ρ分別為彈性模量、密度;Aj和Ij為等效梁的橫截面面積和截面慣性矩;v為撓度;ω為頻率;x為結構沿豎向高度的空間坐標;ma為水體附加質量，m0為結構剛性運動引起的附加質量;ρw為水體密度;r為水中塔筒段半徑;ki為第i層土的彈簧剛度;hw為水中塔筒段高度。
波數表達式為：
kj1，j2=β4ω2C20Rz2j-kiEIj+ω2maEIj （3）
式中：kj1，j2為波數表達式，當取j1時，β=1，取j2時，β=i；縱波波速C0=E/ρ。回轉半徑Rzj=Ij/Aj：
ki=0，0≤x≤ht+hw
ma=0，0≤x≤ht，ht+hw≤x≤ht+hw+hs
總撓度穩態解表達式為：
（x，ω）=a1（ω）eikj1x+d1（ω）e-ikj1x+a2（ω）eikj2x+
d2（ω）e-ikj2x（4）
剪力、彎矩和轉角在頻域中的表達式為：
（x，ω）=iEIj{k3j1［a1（ω）eikj1x-d1（ω）e-ikj1x］+
k3j2［a2（ω）eikj2x-d2（ω）e-ikj2x］}
（x，ω）=iEIj{k2j1［a1（ω）eikj1x+d1（ω）e-ikj1x］+
k2j2［a2（ω）eikj2x+d2（ω）e-ikj2x］}
（x，ω）=ikj1［a1（ω）eikj1x-d1（ω）e-ikj1x］+
ikj2［a2（ω）eikj2x-d2（ω）e-ikj2x］ （5）
式中：a1（ω）、a2（ω）均為入射波波幅;d1（ω）、d2（ω）均為出射波波幅；kj1、kj2均為波數。
2 系統基頻特征方程
利用撓度、剪力、彎矩和轉角表達式建立風機系統節點力平衡和位移協調方程。
邊節點1：
12（0，ω）=0
12（0，ω）=0 （6）
中間節點j：
j（j-1）（0，ω）-j（j+1）（0，ω）=0
j（j-1）（0，ω）+j（j+1）（0，ω）=0
j（j-1）（0，ω）=-j（j+1）（0，ω）
j（j-1）（0，ω）=j（j+1）（0，ω） （7）
邊界點n+1：
（n+1）n（0，ω）=I
（n+1）n（0，ω）=0 （8）
式中：I=-ω2m為塔筒上部質量頻域內慣性力表達式;m為集中質量。
將頻域中的位移及內力代入到各節點的力平衡與位移協調方程中，可得節點的散射關系：
d1=S1a1
dj=Sjaj
dn+1=Sn+1an+1 （9）
其中入射波和出射波波幅向量為：
a1=［a121a122］T
aj=［aj（j-1）1aj（j-1）2aj（j+1）1aj（j+1）2］T
an+1=［a（n+1）n1a（n+1）n2］T（10）
d1=［d121d122］T
dj=［dj（j-1）1dj（j-1）2dj（j+1）1dj（j+1）2］T
dn+1=［d（n+1）n1d（n+1）n2］T（11）
局部散射矩陣：
S1=-ik311-ik312
k211k212-1-ik311-ik312
-k211-k212（12）
Sj=
-Ij-1k3（j-1）1-Ij-1k3（j-1）2Ijk3j1Ijk3j2
Ij-1k2（j-1）1Ij-1k2（j-1）2Ijk2j1Ijk2j2
1111
-k（j-1）1-k（j-1）2kj1kj2-1·
-Ij-1k3（j-1）1-Ij-1k3（j-1）2Ijk3j1Ijk3j2
-Ij-1k2（j-1）1-Ij-1k2（j-1）2-Ijk2j1-Ijk2j2
-1-1-1-1
-k（j-1）1-k（j-1）2kj1kj2（13）
Sn=
ω2m-iEInk3n1ω2m-iEInk3n2
EInk2n1EInk2n2·
-iEInk3n1-ω2m-iEInk3n2-ω2m
-EInk2n1-EInk2n2（14）
將所有節點的出射波波幅向量和入射波波幅向量組集到總體出射波波幅和入射波波幅向量中，得到總體散射關系：
d=Sa （15）
式中：d、S、a分別表示海上風機系統的總體出射波波幅向量矩陣、總體散射矩陣和總體入射波波幅向量矩陣。
當一個出射波由梁單元j（j+1）的j點產生，沿著梁單元向j+1點傳播時，從j+1點這一端來看，該j（j+1）波為入射波，所以梁單元的入射波波幅向量aj（j+1）和出射波波幅向量dj（j+1）之間有一個相位關系。引入傳播矩陣Pj（j+1），有aj（j+1）=Pj（j+1）d（j+1）j，其中
Pj（j+1）=diag［-e-ikj1lj（j+1）-e-ikj2lj（j+1）-e-ikj1lj（j+1）-e-ikj2lj（j+1）］，
lj（j+1）為梁單元長度，diag［…］表示對角矩陣。
將向量aj（j+1）組集到aj中，并進一步組集到整體入射波波幅向量a中，Pj（j+1）與d（j+1）j也同樣組集到總體傳播矩陣P和總體出射波波幅向量中，有a=P，與d只是元素的排列順序不同，里面的元素全部相同。
引入置換矩陣U，其分量僅有0、1元素，以調整中各元素的位置，使其與a中的元素相對應，有a=PUd，代入式（15）得：
（I-R）d=0 （16）
式中：R=SPU為回傳射線矩陣;I為單位矩陣。
若出射波波幅向量d有非0解，則式（16）中的系數行列式必須為0，即：
I-R=0 （17）
風機系統基頻ω的特征方程為：
det［I-R（ω）］=0 （18）
式中：det［…］表示行列式。
通過黃金分割法搜索特征方程的根得到頻率數值解。
3 算例驗證
本文計算方法以荷蘭Lely海上風電場為例［13］，開展計算結果與現場監測結果的對比研究，以證明方法的有效性。LelyA2風機塔筒高46.1 m，海水深4.6 m，底端直徑3.2 m，頂端直徑1.9 m，壁厚0.012 m;渦輪機和葉片質量之和32 000 kg;基礎為大直徑單樁，直徑3.7 m，埋深20.9 m，壁厚0.035 m;鋼材模量206 GPa，密度7 850 kg/m3;地基土模量30 MPa，橫向彈簧剛度3.6×107 N/m2;1P頻率范圍為0.477～0.583 Hz，3P頻率范圍為0.954～1.166 Hz，即風機的頻率設計范圍為0.583～0.954 Hz。
變截面塔筒經過分段等效處理，按照多段等截面進行計算，分段數目直接影響計算精度與運算效率，隨著分段數的增加，計算精度顯著提高。經試算可知，塔筒分段數為10時計算結果已完全滿足精度要求。回傳射線矩陣法的計算結果與實測值的對比結果如表1所列。
由表1可知，本文計算結果與現場實測頻率最為接近，誤差僅為0.631%，這是由于充分考慮了塔筒的變截面特性、海洋水體作用和樁-土相互作用，模型更接近實際工程。因此，本文基于回傳射線矩陣法提出的單樁基礎海上風機頻率求解模型準確有效。
4 系統基頻的影響因素分析
風機系統頻率控制要求嚴苛，而風機本身的規格參數、土體模量以及運營期間的樁基埋深、海水深度變化等因素都會對風機自振頻率造成一定的影響。為進一步揭示系統基頻偏移因素影響規律，現以Lely A2風機為例，就各因素對風機系統基頻的影響進行探討。
4.1 地基土模量變化對系統基頻的影響
風浪長期循環荷載作用導致樁周土發生循環蠕變、風暴潮海床液化和地震液化等現象，使地基土模量發生較大變化。Tempel［27］調查研究表明，Lely海上風電場海床表層20 m主要為松砂和中密砂，故本文選取地基土模量Es變化范圍2～50 MPa，分析地基土彈性模量變化對風機系統基頻的影響，結果如圖2所示。
由圖2可知，海上風機系統基頻與地基土模量變化呈正相關，地基土模量較小時敏感性極強;隨著地基土模量增大，系統基頻的增幅逐漸減小，當超過某一臨界值后，風機系統基頻趨于穩定。就本算例而言，地基土模量超過40 MPa時，模量變化對風機系統基頻基本無影響。值得注意的是，地基土模量小于10 MP時，系統基頻在風機1P頻率帶范圍內，產生共振危害。因此對于軟弱土地區，必須考慮樁-土相互作用影響，進行地基土模量變化對系統基頻的影響評估。
4.2 樁基埋深對系統基頻的影響
海洋中由于海流的沖刷、搬運、堆積作用以及海底滑坡、地震等自然災害的影響，海床高度時有變化。風機計算模型的總體坐標系原點位于樁基底部，海床高度即為樁基埋深，其他因素保持不變，對樁基埋深進行定量分析。Lely A2風機樁基埋深hs=20.9 m，選取樁基埋深范圍10.45～35.53 m，分析樁基埋深對風機系統基頻的影響，結果如圖3所示。
由圖3可知，海上風機系統基頻與樁基埋深變化呈正相關，樁基埋深較小時敏感性極強;隨著樁基埋深增大，系統基頻的增幅逐漸減小，當超過某一臨界值后，風機系統基頻趨于穩定。就本算例而言，樁基埋深超過29 m時，模量變化對風機系統基頻基本無影響。值得注意的是，樁基埋深小于12.7 m時，系統基頻在風機1P頻率帶范圍內，產生共振危害。因此對于埋深較淺地區，必須進行樁基埋深對于系統基頻的影響評估。現有設計中，風機計算預留沖刷深度有時達6 m以上［13］，但只考慮樁基埋深對承載力的影響，未考慮系統基頻的影響，可能因基頻偏移而引發共振危害，因此分析評估樁基埋深對系統基頻的影響十分必要。
4.3 海水深度變化對系統基頻的影響
Lely A2風機水深hw=4.6 m，選取海水深度變化范圍2.45～8.74 m，分析海水深度變化對海上風機系統基頻的影響，結果如圖4所示。
由圖4可知，隨著海水深度的增加，海上風機系統基頻呈線性減小，當海水深度8.7 m時，系統基頻在風機1P頻率帶范圍內，會產生共振危害。風機整體高度不變，樁基埋深不變，當海平面降低時，海水深度減小，水上塔筒長度增大，水中塔筒長度減小，海平面上升則反之。海水深度變化引起構件長度和水體附加質量變化，產生聯動效應，且風機系統基頻對海水深度的敏感性較強，因此分析評估海水深度變化對系統基頻的影響十分必要，研究結果可為風機選址提供參考。
4.4 樁基壁厚變化對系統基頻的影響
Lely A2風機樁基壁厚0.035 m，選取樁基壁厚變化范圍0.017 5～0.110 m，分析樁基壁厚變化對海上風機系統基頻影響，結果如圖5所示。
由圖5可知，海上風機系統基頻與樁基壁厚變化呈正相關，當壁厚從0.017 5 m增加到0.11 m，風機系統基頻從0.62 Hz增加到0.643 2 Hz，僅增加了3.7%，系統基頻對樁基壁厚的敏感性弱。樁基壁厚對系統基頻的影響存在一個臨界厚度，小于該厚度時，系統基頻隨著厚度的增大而增大，超過該厚度之后，風機系統基頻將趨于穩定，且系統基頻始終處于安全頻率范圍之內，不產生共振危害。
4.5 樁徑變化對系統基頻的影響
Lely A2風機樁徑Dx=3.7 m，取樁徑1.85～6.29 m，分析樁徑變化對海上風機系統基頻影響，結果如圖6所示。
由圖6可知，海上風機系統基頻與樁徑呈正相關，并且在樁徑較小時敏感性極強;隨著樁徑增大，系統基頻的增幅逐漸減小，當超過某一臨界值后，風機系統基頻趨于穩定。就本算例而言，樁徑超過4.81 m時，樁徑變化對風機系統基頻基本無影響。值得注意的是，樁徑小于2.32 m時，系統基頻在風機1 P頻率范圍內，產生共振危害。因此在單樁式海上風機結構自振頻率設計時，應分析樁徑的影響，確保樁基直徑處于安全范圍內。
4.6 上部質量變化對系統基頻的影響
Lely A2風機上部結構質量之和m=32 t，選取上部質量變化范圍16～60 t，分析上部質量變化對風機系統基頻影響，結果如圖7所示。
由圖7可知，海上風機系統基頻與上部質量變化呈負相關，上部質量從16 t增大到60 t，風機系統基頻從0.678 Hz減小到0.582 Hz，降幅為14.2%。基頻減小的原因主要有兩方面：一是風機頂端慣性力作用隨上部質量增大而增大;二是風機整體所受軸向力作用隨上部質量增大而增大，軸向力和橫向位移互相影響，在力矩平衡表達式中產生了附加項，導致基頻降低。當上部質量大于59.7 t時，系統基頻在風機1P頻率范圍內，產生共振危害。風機系統基頻對上部質量的敏感性較強，因此，進行風機結構設計時，分析上部質量對于系統基頻的影響十分必要。
4.7 參數敏感性綜合分析
通過頻率變化率定量分析參數影響程度，并對參數影響進行總結歸納，為風機設計提供依據。
頻率變化率定義為：
Si=Δωi/ω0 （19）
式中：Δωi為某參數變化引起系統基頻的變化值;Si為某參數對應的頻率變化率;ω0為系統基頻。
以Lely A2海上風機參數為基準，計算相應的頻率變化率。根據統一風機系統環境因素和結構參數的變化幅度，選取參數的相對變化量為±10 %進行敏感性綜合分析，其結果如表2所列。
由表2可知，風機系統基頻對各參數的敏感性由大到小依次為：樁基埋深gt;樁徑gt;地基土模量gt;上部質量gt;海水深度gt;樁基壁厚。基頻對樁基埋深的敏感性最高，對樁徑與地基土模量的敏感性較高，樁基壁厚變化對基頻的影響不顯著。
5 結論
本文基于Euler-Bernoulli梁理論，采用回傳射線矩陣法，考慮水-樁-土相互作用下的塔筒變截面特性，建立了海上風機系統橫向自振頻率整體計算模型，提出了單樁式海上風機系統橫向基頻計算方法；通過與實測基頻對比驗證了本方法的有效性和準確性；進一步探究了海洋環境因素和結構參數等對海上風機系統基頻的影響規律，并進行了參數敏感性分析，主要結論如下：
（1） 海上風機系統基頻與上部集中質量、水體附加質量的變化呈負相關，與地基土模量、樁基壁厚、樁基埋深和樁徑的變化呈正相關;
（2） 隨著樁基埋深、樁徑、地基土模量和樁基壁厚增大，基頻值逐漸趨于穩定，即存在一界限值，達到該限值后參數變化對系統基頻基本無影響;
（3） 統一風機系統各參數的變化幅度并進行基頻敏感性分析，可知基頻對各參數的敏感性由大到小依次為：樁基埋深gt;樁徑gt;地基土模量gt;上部質量gt;海水深度gt;樁基壁厚。
參考文獻（References）
［1］ 賴踴卿.軟黏土地基海上風機大直徑單樁水平受荷特性與分析模型［D］.杭州：浙江大學，2021.
LAI Yongqing.Horizontal load characteristics and analysis model of large-diameter monopile for offshore wind turbine based on soft clay soil［D］.Hangzhou：Zhejiang University，2021.
［2］ 王立忠，洪義，高洋洋，等.近海風電結構臺風環境動力災變與控制［J］.力學學報，2023，55（3）：567-587.
WANG Lizhong，HONG Yi，GAO Yangyang，et al.Dynamic catastrophe and control of offshore wind power structures in typhoon environment1［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2023，55（3）：567-587.
［3］ 董霄峰，練繼建，王海軍.運行狀態下海上風機結構振源特性研究［J］.振動與沖擊，2017，36（17）：21-28.
DONG Xiaofeng，LIAN Jijian，WANG Haijun.Vibration source features of offshore wind power structures under operational conditions［J］.Journal of Vibration and Shock，2017，36（17）：21-28.
［4］ HE Z X，XU S C，SHEN W X，et al.Review of factors affecting China's offshore wind power industry［J］.Renewable and Sustainable Energy Reviews，2016，56：1372-1386.
［5］ DET N V.DNV-OS-J101，Design of offshore wind turbine structures［S］.Norway：DNV Press，2014.
［6］ BHATTACHARYA S，ADHIKARI S.Experimental validation of soil-structure interaction of offshore wind turbines［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2011，31（5-6）：805-816.
［7］ LOMBARDI D，BHATTACHARYA S，MUIR WOOD D.Dynamic soil-structure interaction of monopile supported wind turbines in cohesive soil［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2013，49：165-180.
［8］ BYRNE B.Foundation design for offshore wind turbines［C］// Géotechnique Lecture.London：University of Oxford，2011.
［9］ ZAAIJER M B.Foundation modelling to assess dynamic behaviour of offshore wind turbines［J］.Applied Ocean Research，2006，28（1）：45-57.
［10］ SHADLOU M，BHATTACHARYA S.Dynamic stiffness of monopiles supporting offshore wind turbine generators［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2016，88：15-32.
［11］ 孫毅龍，許成順，席仁強，等.長期水平荷載對單樁式海上風機結構自振頻率的影響分析［J］.振動與沖擊，2023，42（2）：108-115，138.
SUN Yilong，XU Chengshun，XI Renqiang，et al.Effect of long-term horizontal load on the natural frequency of monopile supported offshore wind turbine structures［J］.Journal of Vibration and Shock，2023，42（2）：108-115，138.
［12］ 楊春寶.近海環境下風電基礎振動響應的規律、調控與評價［D］.北京：清華大學，2017.
YANG Chunbao.Law，regulation and evaluation of basic vibration response of wind power in offshore environment［D］.Beijing：Tsinghua University，2017.
［13］ 楊春寶，王睿，張建民.單樁基礎型近海風機系統自振頻率實用計算方法［J］.工程力學，2018，35（4）：219-225.
YANG Chunbao，WANG Rui，ZHANG Jianmin.Numerical method for calculating system fundamental frequencies of offshore wind turbines with monopile foundations［J］.Engineering Mechanics，2018，35（4）：219-225.
［14］ ABHINAV K A，SAHA N.Coupled hydrodynamic and geotechnical analysis of jacket offshore wind turbine［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2015，73：66-79.
［15］ 黃永健，余云燕，付艷艷.大直徑單樁海上風機橫向自振頻率實用計算方法［J］.地震工程與工程振動，2022，42（4）：210-218.
HUANG Yongjian，YU Yunyan，FU Yanyan.A practical method for fundamental transverse vibration frequency of offshore wind turbine with large diameter［J］.Earthquake Engineering and Engineering Dynamics，2022，42（4）：210-218.
［16］ 余云燕，孔嘉樂.單樁基礎海上風機橫向自振頻率求解及參數敏感性分析［J］.振動與沖擊，2023，42（10）：82-91，164.
YU Yunyan，KONG Jiale.Solution of transverse natural frequency and parameter sensitivity analysis of offshore fan with single pile foundation［J］.Journal of Vibration and Shock，2023，42（10）：82-91，164.
［17］ 徐漢忠.水中懸臂梁的自振頻率的簡便計算公式［J］.河海大學學報，1986，14（4）：10-21.
XU Hanzhong.Simple calculation formula for self-resonance frequency of cantilever beam in water［J］.Journal of Hehai University，1986，14（4）：10-21.
［18］ WANG P G，ZHAO M，DU X L.Analytical solution and simplified formula for earthquake induced hydrodynamic pressure on elliptical hollow cylinders in water［J］.Ocean Engineering，2018，148：149-160.
［19］ WANG P G，ZHAO M，DU X L，et al.Simplified evaluation of earthquake-induced hydrodynamic pressure on circular tapered cylinders surrounded by water［J］.Ocean Engineering，2018，164：105-113.
［20］ WANG P G，ZHAO M，DU X L.A simple added mass model for simulating elliptical cylinder vibrating in water under earthquake action［J］.Ocean Engineering，2019，179：351-360.
［21］ 王丕光，黃義銘，趙密，等.橢圓形柱體地震動水壓力的簡化分析方法［J］.震災防御技術，2019，14（1）：24-34.
WANG Piguang，HUANG Yiming，ZHAO Mi，et al.The simplified method for the earthquake induced hydrodynamic pressure on elliptical cylinder［J］.Technology for Earthquake Disaster Prevention，2019，14（1）：24-34.
［22］ 許成順，孫毅龍，翟恩地，等.海上風電單樁基礎自振頻率及參數影響分析［J］.太陽能學報，2020，41（12）：297-304.
XU Chengshun，SUN Yilong，ZHAI Endi，et al.Offshore turbine monopile foundation natural frequency and parameter impact analysis［J］.Acta Energiae Solaris Sinica，2020，41（12）：297-304.
［23］ 趙密，常逸夫，王丕光，等.考慮水-樁-土相互作用的單樁式海上風機結構系統自振頻率解析解［J］.震災防御技術，2020，15（4）：659-669.
ZHAO Mi，CHANG Yifu，WANG Piguang，et al.An analytical natural frequency solution of monopile offshore wind turbine considering pile-soil interaction［J］.Technology for Earthquake Disaster Prevention，2020，15（4）：659-669.
［24］ PAO Y H，KEH D C，HOWARD S M.Dynamic response and wave propagation in plane trusses and frames［J］.AIAA Journal，1999，37：594-603.
［25］ MAKRIS N，GAZETAS G.Dynamic pile-soil-pile interaction.Part II：lateral and seismic response［J］.Earthquake Engineering amp; Structural Dynamics，1992，21（2）：145-162.
［26］ ARANY L，BHATTACHARYA S，ADHIKARI S，et al.An analytical model to predict the natural frequency of offshore wind turbines on three-spring flexible foundations using two different beam models［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2015，74：40-45.
［27］ TEMPEL J V D.Design of support structures for offshore wind turbines［D］.Netherland：Delft University，2006.
（本文編輯：賈源源）
