基于有限狀態機實現Davidenkov本構模型的研究

摘要： 為解決傳統編程方法在實現非線性本構模型時的可維護性差、二次開發困難等問題，基于有限狀態機（FSM）原理，提出狀態模式驅動和數表驅動的兩種編程實現方法；通過對兩種編程方法的對比，認為FSM結合數表驅動的方法更適合編寫非線性本構程序；隨后對Davidenkov本構模型滯回曲線進行修正，提出兩種滯回曲線構造形式：指向失效點型和指向修正點型。改進的Davidenkov本構模型糾正了“n倍法”模型在失效后，剪應變反向達到上限，而剪應變未進入失效狀態的缺點，使得改進的Davidenkov本構模型在模擬土動應力-應變關系時更加合理，尤其是指向失效點模型在多次加卸載作用下，對土體剪切剛度的模擬情況更為精確;為驗證基于FSM編制的本構程序具有可維護性強、二次開發簡單等特點，依據FSM結合數表驅動的方法編制了Davidenkov及其修正的本構模型程序，以驗證該方法的有效性與正確性。

關鍵詞： 巖土動力學; 非線性本構模型; 有限狀態機; Davidenkov本構模型; 二次開發

中圖分類號： TU435""""" 文獻標志碼：A"" 文章編號： 1000-0844（2025）02-0351-10

DOI：10.20000/j.1000-0844.20230802002

Implementation of the Davidenkov constitutive model

based on finite state machine

DONG Zhengfang1， LI Haojie1， WANG Yongfeng1， JIN Deyin2

（1.School of Civil Engineering and Architecture， Henan University， Kaifeng 475004， Henan， China;

2.JAPAN-CHINA CONSALTANT Co.， Ltd.， Tokyo 134-0086， Japan）

Abstract：

Two methods based on finite state machine （FSM）， namely state model-driven and table-driven， were investigated in this study to solve the problems of poor maintainability and difficult secondary development in the implementation of nonlinear constitutive models using traditional programming methods. Through comparison， the results reveal that the table-driven method can efficiently describe nonlinear constitutive models. Then， the stress-strain hysteretic curve of the Davidenkov constitutive model was modified， from which two construction forms of the hysteretic curve were proposed： failure point and correction point type. The results reveal that the modified Davidenkov model can correct the shortcoming of the “n-fold method” model， in which the shear strain reversely reaches the upper limit shear strain and is unable to enter the failure state， so it is more reasonable to be used in simulating the dynamic stress-strain relationship of soil， especially using the failure point model to simulate the shear stiffness of soil under cyclic loading and unloading. Based on the programming method of FSMs and the table-driven method， the constitutive programs of the Davidenkov model and its modified models were compiled， thereby verifying the effectiveness and correctness of the proposed method.

Keywords：

geotechnical dynamics; nonlinear constitutive model; finite state machine; Davidenkov constitutive model; secondary development

0 引言

土體的動應力-應變關系具有嚴重的非線性、滯后性和變形累積性等特點，其本構理論大致可分為黏彈性和彈塑性兩種，黏彈性理論因其直觀簡單、參數少且易獲取等優點而成為目前研究和應用的主流理論^［1］。黏彈性模型包含等效線性和曼辛非線性兩種，后者在前者的基礎上由曼辛法則構造出滯回曲線方程，使得這類模型更接近土體動應力-應變曲線^［2-3］。實際上，巖土體本構模型數量較多且各自具有不同的應用范圍。其中由曼辛法則構造的三參數Davidenkov本構模型因能較好地模擬各類土體而最具代表性，特別是對軟土^［4-6］、砂土^［7］、泥炭質土^［8］等在動荷載作用下的非線性行為模擬。Davidenkov本構模型最早由Martin等^［9］提出，隨后Pyke^［10］以“n倍法”代替“2倍法”限制了模型后繼的滯回圈并控制了滯回曲線的發展方向;陳國興等^［7］引入上限剪應力對Davidenkov骨架曲線進行修正，使模型曲線與上限剪應力的水平線相遇后可沿水平線方向發展;趙丁鳳等^［11］在原有骨架曲線的基礎上，提出滯回曲線始終沿當前荷載轉向點指向歷史最值點的前進方式，有效解決了在編程時模型信息存儲量大且具有不確定性的問題，但其并未考慮對骨架曲線進行限制，模型仍然存在剪應力能夠無限增長的不合理的問題。

基于Davidenkov本構模型的出色表現，近些年眾多研究人員在不同有限元平臺對其進行了二次開發與研究。王沿朝等^［4］、陳國興等^［7］基于ABAQUS平臺進行實現并擬合了相關土體參數;陳斌等^［5］基于ANSYS平臺進行二次開發得到了深厚軟土的相關參數;張如林等^［6］、王國波等^［12］基于FLAC^3D平臺進行實現并與試驗實測結果進行對比，驗證了Davidenkov本構模型的適用性;趙旭清^［13］基于OpenSees平臺進行實現，分析了黏土在地震作用下的動力響應。針對本構程序的二次開發，不同研究人員擁有不同的算法流程，并未形成統一的編程實現方法;此外，傳統編程方法在實現復雜非線性本構程序時，通常要對模型的所有情況進行遍歷，并通過大量嵌套if.....else或switch.....case等判斷語句進行實現。因此，模型越復雜，判斷語句越多，最終造成本構程序的邏輯可讀性下降，后續研究人員進行維護、二次開發時就越困難。因此，有必要尋求一種便捷、高效且能夠實現本構程序“模板化”開發的編程方法。

有限狀態機（Finite State Machine，FSM）作為描述事物邏輯轉換關系的一種數學模型，其應用十分廣泛。例如：自動駕駛汽車預期功能安全危害識別^［14］、運動機器人編程^［15-16］、系統攻防^［17］、集成電路^［18］以及電力系統^［19］等領域。FSM的特點在于能夠將復雜邏輯關系進行抽象化處理，而非線性本構模型在不同受力狀態下的應力-應變關系具有靈活多變的特點，因此基于FSM的編程方法在實現非線性本構程序時相較于傳統編程方法具有更簡單、更高效的特點。Jin等^［20］將FSM應用到雙折線本構模型的開發中，發現FSM的編程相較于傳統編程，在提升編程效率、規避程序錯誤、提升代碼復用性等方面具有顯著提升。但對于程序的具體實現其并未進行詳細闡述，相關方面的研究也受制于編程方法的抽象性而較為缺乏。

本文基于有限狀態機理論提出FSM結合狀態模式和FSM結合數表的兩種編程方法，給出兩種編程方法的優劣對比及實現步驟，為本構開發人員提供“模板化”的編程思路。此外，為驗證基于FSM編制的本構程序在二次開發時的便捷性，本文對“n倍法”Davidenkov本構模型的骨架曲線進行限制，并對其進行修正，提出兩種失效模型：指向失效點型和指向修正點型。通過FSM結合數表的編程方法對上述模型進行實現，以驗證所提方法的有效性。

1 有限狀態機理論

有限狀態機（FSM）可以將事物復雜的邏輯關系抽象為有限個穩定狀態間的轉換關系。圖1為雙折線本構模型的FSM模型，模型狀態可劃分為3種：S、SP和SN;每種狀態對應一個函數行為，分別為Y、Y1、Y2。圖2為雙折線本構模型的狀態遷移圖，詳細描述了不同狀態之間的轉換關系。由圖2可以看出，事件作為狀態遷移的信號負責狀態更新，新、舊狀態通過事件建立聯系，狀態的更新必然引發對應動作的執行。

1.1 狀態機結合狀態模式驅動

狀態模式本質上是一種設計模式，核心思想在于將事物復雜的邏輯關系封裝成不同的對象，進而降低不同對象間的耦合，方便程序的二次開發。

FSM結合狀態模式的編程方法不僅可以降低不同狀態間的耦合，還可以實現不同狀態間的定向遷移。編程方法如下：

（1） 根據模型特點枚舉出模型所有狀態及觸發狀態轉換的所有事件。

（2） 建立狀態控制類，主要負責模型不同狀態間的切換與函數執行，將不同狀態子類進行鏈接。

（3） 建立抽象狀態類，通過抽象狀態類定義狀態接口、封裝函數行為。一個狀態類可以對應多個函數行為，針對本構而言，大致可分為狀態切換與應力計算兩個行為。

（4） 根據模型狀態數目編寫具體狀態類。具體狀態類用于實現抽象狀態類所對應的具體函數行為，并且負責在有需求的情況下進行狀態更新。

以雙折線本構模型為例，給出FSM結合狀態模式所編制程序的UML關系如圖3所示。

FSM結合狀態模式編制的本構程序將本構模型的各個狀態分散至不同的狀態子類，達到了高內聚、低耦合的程序執行效果。因此，本構程序在進行二次開發（FSM元素數量變化）或維護時，研究人員只需將對應的狀態子類進行增減或修改即可。

1.2 狀態機結合數表驅動

基于狀態模式驅動的本構程序，本構關系分散在各個狀態子類中，研究人員無法直觀地看出整個模型的邏輯關系，容易引發邏輯分散的問題。若將程序的邏輯關系以數組的形式進行表征，其可讀性和可維護性將變得十分可觀。本構程序實現的另一種方式就是建立一個描繪狀態遷移的數表，通過FSM與數表結合的方式快速實現復雜本構程序的編寫。編程方法如下：

（1） 根據模型特點枚舉出模型所有狀態及觸發狀態轉換的所有事件;

（2） 定義不同狀態的函數行為，針對本構模型而言，主要為應力函數的計算;

（3） 通過結構體數組實現不同狀態間遷移關系。

若想進一步使得本構程序的封裝性更強、模塊化程度更高，可以將本構程序拆分為模型子類、狀態機屬性類（FSMItem）和狀態機類（FSM），三者互為友元。其中，FSMItem對FSM參數進行定義，將本構模型中所有的狀態和事件進行枚舉;FSM則主要負責狀態切換及動作執行，最終形成成員變量為狀態遷移表（FSMTable）。模型子類通過FSMTable將FSMItem與FSM聯系起來。

以雙折線本構模型為例，給出基于FSM結合數表的編程方法所編制程序的流程如圖4所示。

FSM結合數表編制的本構程序通過二維數表的形式建立起不同狀態、事件間的聯系;通過成員函數的形式定義不同狀態的行為函數。因此，本構程序在進行維護或二次開發時只需對二維數表進行修改或增減對應模型元素與行為函數即可。

1.3 兩種方法對比

基于FSM結合狀態模式的編程方法和基于FSM結合數表的編程方法，在實現本構程序時均提供“模板化”的編程思路。兩種編程方法均可通過拆分模型屬性;引入FSM來控制模型遷移關系，從而避免了傳統編程實現的過程中大量嵌套判斷語句的現象，提升了代碼的可讀性與可維護性。兩種編程方法在程序實現方面各具優劣，具體如表1所列。

本構方程通常為若干數學函數的組合，所以本構曲線大多呈現非線性、走向隨機、形式多樣等特點，用FSM模型可描述為模型狀態多且隨機，但運算邏輯簡單。因此，采用FSM結合數表的編程方法更適合本構程序的開發。為清楚表達本構程序的邏輯轉換關系與二次開發的便捷性，本文采用FSM結合數表的編程方法對Davidenkov及其修正本構模型進行實現。

2 Davidenkov及其滯回曲線構造

Hardin等^［21］最早提出動剪切模量比的概念，隨后Martin等^［9］在此基礎上，為更好地模擬各類土體的動剪切模量比，提出具有3個參數的Davidenkov本構模型，但模型存在剪應力能夠無限增長的不合理現象。為此，陳國興等^［7］在原有本構模型的基礎上，用分段函數表示不同應變區間下剪應力的函數對應關系，使得本構模型的剪應力不隨剪應變的增長而無限增長。此外，Davidenkov本構模型在編程實現時需預留許多的狀態變量來記憶荷載轉向點。針對該問題，趙丁鳳等^［11］參照“n倍法”提出了修正的Davidenkov本構模型（本文稱“n倍法”Davidenkov本構模型），使得模型的滯回曲線始終由當前荷載轉向點指向歷史最值點，降低信息存儲的同時方便了程序實現。但“n倍法”Davidenkov本構模型并未考慮對模型剪應力進行限制，模型仍然存在剪應力能夠無限增長的不合理現象。因此，本文擬對“n倍法”修正的Davidenkov本構模型的骨架曲線進行限制，使其更加滿足土體動應力-應變關系。

“n倍法”修正的Davidenkov本構模型骨架曲線表達式為：

τ=Gmaxγ［1-H（γ）］ （1）

其中：

H（γ）=γγ0^2B1+γγ0^2BA （2）

式中：A、B、γ0為模型擬合參數;Gmax為初始剪切模量;γ、τ分別為動剪應變、動剪應力。對式（1）中的變量γ求導，得到骨架曲線剪切模量：

G=Gmax1-1+2ABγ^2B0γ^2B0+γ^2BH（γ） （3）

滯回曲線始終指向最值點，表達式為：

τ=τc+Gmax（γ-γc）1-Hγ-γc2n（4）

式中：γc、τc分別為荷載轉向點處剪應變與剪應力。滯回曲線剪切模量：

G=Gmax1-1+2AB（2nγ0）^2B（2nγ0）^2B+γ-γc^2B·Hγ-γc2n（5）

其中（2nγ0）^2B由當前荷載轉向點及歷史最大（最小）點確定：

（2nγ0）^2B=（γex±γc）^2B1-RR （6）

R=1-τex±τcGmax（γex±γc）^1A （7）

式中：γex、τex分別為荷載轉向點處剪應變與剪應力（注：符號“±”在加載時取“-”，卸載時取“+”）。

由式（3）、（5）可知，剪切模量的確定與等效剪應變相關，所以基于增量形式的優化等效剪應變算法^［11］如下：

γ^t+Δt=γt+signΔγ^t+Δtincre （8）

Δγ^t+Δtincre=γ^t+Δtgen-γtgen （9）

γtgen=43Jt2（eoij） "（10）

式中：Jt2（eoij）為用張量eoij表示的應變偏量第二不變量。

eoij=eij-eij，c （11）

式中：eij為當前應變張量;eij，c為荷載轉向點應變張量。此時模型可依據Δγ^t+Δtincrelt;0直接判斷土體發生加卸載轉變，一旦發生加卸載變化eij，c將會更新，γtgen將會清零重新計算。

基于“n倍法”改進的Davidenkov本構模型的應力-應變曲線如圖5所示，模型剪應力存在無限增長的情況違背了大多巖土材料遵循的先硬化、后軟化的規律。實際上，若不考慮土體軟化，土體都存在一個上限剪應力，當土體剪應力大于上限剪應力時，土體就會破壞。不考慮土體軟化，對“n倍法”Davidenkov本構模型骨架曲線進行限制，修正后的骨架曲線為：

τ（γ）=Gmaxγ［1-H（γ）］γc≤γult

Gmaxγult［1-H（γult）］γcgt;γult（12）

τult=Gmaxγult［1-H（γult）］ （13）

加卸載曲線為：

τ（γ）=

τc+Gmax（γ-γc）1-Hγ-γc2n，τ≤τult

±τult，τgt;τult（14）

式中：γult、τult分別為失效點處剪應變與剪應力。基于“n倍法”構造的失效Davidenkov本構模型，當0lt;γult≤γ時，模型曲線會沿水平線發展;卸載后模型遵循滯回曲線始終由荷載轉向點指向歷史最值點的方式前進。曲線只有當應變等于最大剪應變時，應力才等于上限剪應力，隨著荷載峰值的不斷增大，模型曲線呈現出圖6中（0→...→10）的走向。觀察圖6可知，模型曲線在多次加卸載以后耗能能力（一次加卸載曲線所圍面積）有降低趨勢，且存在應變反向到達失效剪應變而未進入失效的現象，這顯然與土體特性不符。

針對上述問題，本文采用修正最值點的方式對模型曲線進行修正，最值點確定方式修改為：

方式一：當最大剪應力τmax=τult時，模型卸載時的滯回曲線始終指向失效點（-γult，-τult）;模型卸載再加載時，滯回曲線逐步指向歷史最值點;當最大剪應力τmax=-γult，模型卸載時其滯回曲線指向失效點（γult，τult），卸載再加載其滯回曲線指向歷史最值點。最值點如表2所列。

對比曼辛法則構造的失效模型^［7］可知，曼辛法則構造的失效模型滯回曲線可能出現應變反向未達失效剪應變，而應力先達失效剪應力的現象。因此，本文提出第二種模型最值點確定方式，對模型滯回曲線進行修正。

方式二：當歷史最大剪應力τmax=τult，模型卸載時滯回曲線指向修正最值點;模型卸載再加載時，其滯回曲線指向歷史最值點;當歷史最大剪應力τmax=-γult，模型卸載時其滯回曲線指向修正最值點，卸載再加載時，其滯回曲線指向歷史最值點。最值點確定如表3所列。

3 模型實現與驗證

為驗證模型的適用性及FSM結合數表的編程方法在實現本構程序時的可行性與便捷性。本文先對“n倍法”改進的Davidenkov本構模型進行實現，隨后在該本構程序的基礎上對兩種修正本構模型進行二次開發，并對本構走向及剛度變化進行分析。

“n倍法”改進的Davidenkov本構模型的程序實現分為兩個關鍵步驟：（1）根據模型信息定義模型狀態（骨架曲線SC、滯回曲線HC）、事件（加載SP、卸載SR、超越歷史最值點SH）和動作函數（骨架方程和恢復力方程）;（2）通過結構體聲明狀態遷移表（表4），并通過二維數組實現狀態切換。程序對于最值點及荷載轉向點的判斷十分關鍵，基于FSM結合數表編制的本構子程序可以通過程序上一收斂步狀態與當前觸發事件來減少判斷過程，從而實現定向更新最值點及荷載轉向點。

基于FSM結合數表實現“n倍法”Davidenkov本構程序的流程示意如圖7所示。

為驗證程序的可靠性，本文設置一個1 m×1 m×1 m規則的一階六面體單元。該單元底部固定約束，頂部一節點施加如圖8所示的位移荷載^［8］。提取一個積分點處的應力應變，如圖9中實線所示。伴隨著荷載的變化“n倍法”改進型Davidenkov本構模型的加卸載曲線出現明顯的滯回現象，且滯回圈飽滿。隨著荷載的持續，單元的剪切剛度會發生衰減，當荷載發生轉向時單元剪切剛度會發生突變。可以看出基于FSM結合數組的編程方法所編制的改進型Davidenkov本構程序能正確反映土體單元的加卸載情況。

該本構程序的一個優勢是：用戶可以在輸出程序不同時刻所處階段，通過與自變量進行對比來檢查程序是否編寫正確。將程序上一收斂步狀態和當前步觸發事件輸出，可獲得單元此刻所處階段。隨著荷載的變化，本構模型在原有狀態的基礎上會觸發不同事件，該本構程序則會由此進入新的狀態并執行對應動作。

基于FSM編制本構程序的另一個優勢在于研究人員在對本構程序進行維護、二次開發時，具有較高的可操作性與簡便性。基于FSM編制的本構程序在進行二次開發時，只需添加新增的狀態及遷移關系即可。下面以修正的Davidenkov本構模型為例，在原有本構程序的基礎上對其進行二次開發，修正Davidenkov本構模型的狀態遷移關系如表5所列，程序二次開發流程示意如圖7所示。

根據狀態遷移表編制修正的Davidenkov本構程序（表5），施加如圖8所示的位移和荷載，并假定土體失效剪應變γult=12。圖9中兩種虛線分別對應兩種修正模型的加卸載曲線。

對比“n倍法”所改進的Davidenkov本構模型可知，該本構模型的剪應變在達到上限后，隨著后續的增長，該模型的剪應力保持不變，曲線沿水平線前進。此外，對比以上兩種修正本構模型發現，當τmax=τult時，兩種修正的本構模型在卸載再加載階段均指向歷史最值點，兩者的區別在于模型卸載階段的不同走向，其中指向失效點的模型在卸載階段始終指向模型首次失效點;而“指向修正點”模型構造的滯回曲線會沿當前荷載轉向點指向修正點的前進方式前進（圖10），均符合模型修正效果。

隨著荷載峰值的不斷增大，兩種改進模型在經歷多次“上骨架”曲線之后，模型應力-應變關系與剛度會產生顯著差異。施加圖11所示的位移荷載，對比兩種修正本構模型曲線及剛度變化。

指向失效點的模型依據表2所列完成最值點的信息更新，模型在卸載時始終指向初始失效點，多次加卸載之后應力-應變曲線呈現出圖11所示的變化趨勢。隨著拉平曲線的不斷延長，曲線在轉向以后的初始斜率越低，表明隨著最大剪應變的不斷增大，模型在荷載轉向后的初始剪切剛度越低;此外，隨著最大剪應變的不斷增大，指向失效點模型在反向加載至上限剪應變時模型的剛度越接近于0，極限狀態下（拉平曲線無限長）剪切剛度為0。模型剛度變化如圖11所示的剛度折損曲線，顯然指向失效點時，模型所描述的剛度變化趨勢與物理現象吻合;

指向修正點模型依據表3所列的最值點信息進行更新，模型荷載轉向時會根據歷史最值點對走向進行修正，在多次加卸載后曲線呈現“外擴”現象。隨著水平線的不斷延長，曲線在轉向后的初始斜率并無明顯變化，表明隨著最大剪應變的增大，指向修正點模型在荷載轉向后的初始剛度并無明顯變化;此外，當曲線到達失效點時的斜率也趨于定值，表明隨著最大剪應變的不斷增大，指向修正點模型在進入失效時的剛度趨于定值。顯然指向修正點模型并不具備反向達到失效點時，剪切剛度隨著最大剪應變的增長而趨于0的性質，但其曲線走向與曼辛二倍法構造的失效模型曲線走向基本一致^［6］;同時，曲線呈現“等向外擴”的現象，改善了“n倍法”改進型Davidenkov本構模型滯回圈較為扁長的現象^［11］。

4 結論

本文基于有限狀態機結合數表的形式編制Davidenkov模型子程序并進行驗證，得出結論如下：

（1） 為復雜非線性本構模型的開發提供了兩種編程方法：有限狀態機結合狀態模式和有限狀態機結合數表。認為有限狀態機結合數表的編程方法更適合實現本構程序的開發，為“模板化”添加和維護本構程序提供了新的編程思路。

（2） 基于“n倍法”改進的Davidenkov模型提出了兩種滯回曲線構造形式：指向失效點型和指向修正點型。該模型有效地解決了原有Davidenkov模型在失效后反向達到上限剪應變而未失效的現象。

（3） 編制了Davidenkov模型及其修正模型子程序，驗證了基于有限狀態機的編程方法在快速實現復雜非線性本構程序的二次開發、規避復雜模型的程序錯誤等方面具有重要作用。

實際上，本文所提方法也適用于其他復雜非線性本構模型，例如復合材料、混凝土材料、橡膠材料等。抽象出的本構狀態越多、遷移越復雜，基于有限狀態機的編程方法就越方便、越高效。

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（本文編輯：任 棟）