面向造紙生產(chǎn)系統(tǒng)非線性多維度問題的求解器設(shè)計與應(yīng)用

摘要： 造紙工業(yè)智能化轉(zhuǎn)型過程涉及大量高維數(shù)學(xué)模型的動態(tài)、實時求解問題。由于造紙生產(chǎn)系統(tǒng)的非線性、多維度和不確定性等特點，導(dǎo)致描述造紙生產(chǎn)的數(shù)學(xué)模型往往由龐大的方程組構(gòu)成，同時，因造紙過程生產(chǎn)波動較大、生產(chǎn)切換頻繁，需對復(fù)雜模型組進行頻繁、高效的求解，以滿足動態(tài)生產(chǎn)優(yōu)化的需求。研究面向造紙模型求解問題的求解器，是解決該問題的關(guān)鍵。本研究針對造紙生產(chǎn)模型非線性多維度求解的特點，基于信賴域內(nèi)點法和TikTak多起點優(yōu)化算法，設(shè)計了面向非線性多維度造紙生產(chǎn)系統(tǒng)的全局優(yōu)化求解器，實現(xiàn)了對復(fù)雜生產(chǎn)約束和不確定初始條件的高效求解。結(jié)果表明，本求解器在造紙干燥部優(yōu)化案例中以100%的成功率找到全局最優(yōu)解，單個案例平均求解時間為0. 81 s，表現(xiàn)出高度穩(wěn)健性。此外，在造紙能量系統(tǒng)優(yōu)化案例中成功求解并節(jié)約了59. 7%的計算資源和9. 29%的計算時間。

關(guān)鍵詞：信賴域內(nèi)點法；多起點優(yōu)化算法；求解器；非線性優(yōu)化

中圖分類號：TS78 文獻標(biāo)識碼：A DOI：10. 11980/j. issn. 0254-508X. 2025. 02. 002

在工業(yè)4.0的浪潮中，制造業(yè)正經(jīng)歷著前所未有的數(shù)字化轉(zhuǎn)型。造紙工業(yè)，作為全球基礎(chǔ)工業(yè)的重要組成部分，其生產(chǎn)過程的智能化和高效化尤為關(guān)鍵[1]。然而，造紙生產(chǎn)系統(tǒng)作為流程工業(yè)系統(tǒng)，由于其固有的非線性和多維度特性，使得數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建和求解變得異常復(fù)雜[2-3]，其生產(chǎn)調(diào)度的目標(biāo)包括經(jīng)濟指標(biāo)和性能指標(biāo)，經(jīng)濟指標(biāo)一般指總體生產(chǎn)費用最低、生產(chǎn)利潤最大，性能指標(biāo)主要指制造間隙最小、平均滯留時間最短，這些模型不僅需要精確描述造紙過程中的物料流動、傳質(zhì)傳熱以及物理化學(xué)反應(yīng)，還要能夠適應(yīng)原料質(zhì)量、工藝條件和設(shè)備狀態(tài)的約束變化，從而為生產(chǎn)優(yōu)化提供可靠的決策支持[4-5]。這些因素要求將不同裝置和生產(chǎn)連接成整體，對尋找最優(yōu)解的過程產(chǎn)生顯著影響，增加了優(yōu)化求解的難度[6-7]。

針對這一挑戰(zhàn)，本研究提出了一種面向非線性多維度造紙生產(chǎn)系統(tǒng)的全局優(yōu)化求解器。該工具旨在通過高效的求解算法來處理造紙工業(yè)中高維數(shù)學(xué)模型的動態(tài)、實時求解問題，滿足造紙生產(chǎn)過程中對動態(tài)優(yōu)化的需求?，F(xiàn)有的通用商業(yè)化求解工具如Cplex、Gurobi和Baron雖然在求解大規(guī)模非凸非線性問題上的求解性能較好，但這些求解工具多為商業(yè)場景開發(fā)，求解邏輯與工業(yè)場景存在較大差異?？紤]工業(yè)在求解一致性和穩(wěn)定性上的特殊要求，商業(yè)求解器在工業(yè)場景下的使用受到極大限制，同時還面臨高昂的使用成本[8]。而開源求解工具如Scipy、Pygmo2和NLopt等，在處理復(fù)雜需求，尤其是全局優(yōu)化和大規(guī)模非線性優(yōu)化問題上，未能有效兼顧非線性模型的兼容性和全局搜索能力，導(dǎo)致在復(fù)雜工業(yè)應(yīng)用中難以完美求得最優(yōu)解，其底層設(shè)計邏輯限制了基于其進行二次開發(fā)的適應(yīng)性[9]。目前，在工業(yè)場景的大規(guī)模估計和校準(zhǔn)問題中，研究人員通常只使用局部優(yōu)化器，并且需要多次重新啟動本地優(yōu)化器，選擇最佳目標(biāo)。雖然這種方法類似于多啟動全局算法，但在工業(yè)實踐中，重新啟動的數(shù)量可能相當(dāng)少，而且沒有系統(tǒng)的程序來選擇重啟點[10]。隨著工業(yè)生產(chǎn)動態(tài)優(yōu)化和智能化升級需求的不斷加大，開發(fā)面向造紙工業(yè)生產(chǎn)場景的求解工具，已是勢在必行。

為了克服現(xiàn)有求解工具的局限性，本研究提出了結(jié)合2種算法的策略。首先，信賴域內(nèi)點法（trust-re?gion interior point） 作為一種穩(wěn)定的優(yōu)化算法，具有處理大規(guī)模非線性問題的顯著優(yōu)勢。該方法通過在優(yōu)化過程中動態(tài)調(diào)整信賴域的大小，有效控制迭代步長，確保算法的穩(wěn)定性和收斂性[11]。其次，TikTak算法作為一種多起點算法，通過從參數(shù)空間中精心選擇的點進行局部搜索，憑借積累的信息逐步聚焦于最具潛力的區(qū)域。TikTak算法的并行化特性和對參數(shù)選擇的低依賴性，使其在經(jīng)濟應(yīng)用中表現(xiàn)出色[10]。

本研究的全局優(yōu)化求解器將信賴域內(nèi)點法的穩(wěn)定性與TikTak算法的全局搜索能力相結(jié)合，以實現(xiàn)對造紙生產(chǎn)過程中多變因素和不確定性的高效全局優(yōu)化求解。通過模塊化開發(fā)和優(yōu)化算法的集成設(shè)計，確保了求解器在節(jié)約計算資源和求解速度上的雙重提升，從而有效應(yīng)對復(fù)雜的生產(chǎn)約束和實時變化的工藝條件。

1 求解器的開發(fā)

1. 1 技術(shù)路線

本研究的技術(shù)路線旨在解決造紙生產(chǎn)系統(tǒng)中的全局優(yōu)化問題，這些問題通常具有高度的非線性和多維度特性。在造紙工業(yè)中，優(yōu)化問題包括但不限于原料配比、工藝參數(shù)調(diào)整、能源消耗最小化以及產(chǎn)品質(zhì)量最優(yōu)化等。這些問題的解決對于提高生產(chǎn)效率、降低成本以及提升產(chǎn)品質(zhì)量均具有重要意義。針對這些造紙?zhí)匦詥栴}，本研究提出了一種基于面向?qū)ο蟮那蠼馄骷軜?gòu)，如圖1所示。該架構(gòu)的設(shè)計充分考慮了造紙過程中的動態(tài)變化和不確定性因素，以實現(xiàn)對優(yōu)化問題的高效求解。

在前處理階段，對模型目標(biāo)函數(shù)和約束規(guī)范化處理。通過導(dǎo)數(shù)運算和矩陣運算模塊，動態(tài)計算和管理與優(yōu)化問題相關(guān)的矩陣，并關(guān)聯(lián)到優(yōu)化問題的維度和變量數(shù)量。進一步地，本研究的全局優(yōu)化算法模塊通過執(zhí)行全局搜索，結(jié)合預(yù)測試和局部最優(yōu)搜索，提高了求解效率，并增強了求解器對復(fù)雜問題的適應(yīng)性。

求解流程從輸入接口開始，該接口負(fù)責(zé)收集目標(biāo)函數(shù)表達式、初始猜測值和約束條件集合等必要信息。隨后，優(yōu)化迭代過程啟動，通過局部優(yōu)化算法對問題進行求解。在迭代過程中，算法不斷調(diào)整變量，逼近最優(yōu)解。求解完成后，系統(tǒng)通過輸出接口展示詳細(xì)的解集信息，包括最終的變量值、目標(biāo)函數(shù)值和迭代過程軌跡記錄。本求解框架的設(shè)計和實現(xiàn)基于上述技術(shù)路線，其集成了面向?qū)ο蟮募軜?gòu)、全局優(yōu)化算法的求解流程。

1. 2 信賴域內(nèi)點算法

信賴域內(nèi)點算法是一種高效的優(yōu)化算法，特別適用于處理造紙行業(yè)中的非線性和復(fù)雜約束問題。該算法通過在迭代過程中保持解的可行性，避免了對約束條件的精確處理，從而顯著提高了計算效率。

非線性優(yōu)化問題（NLP） 是一種最大化或最小化非線性表達式的問題，通常出現(xiàn)在造紙行業(yè)中的過程優(yōu)化。從形式上講，非線性優(yōu)化問題的定義見式（1）。

minf （x）；

s.t. c（x） = 0；

g （x） ≥ 0（1）

式中，f （x） 為目標(biāo)函數(shù)；g （x） 是不等式約束；c （x）是等式約束。

對于式（1）中不帶g （xk ）不等式約束的非線性優(yōu)化問題，其中xk 為x 的向量形式，該方法在每次迭代中會代入當(dāng)前迭代點xk 解決以下信賴域序列二次規(guī)劃子問題[12]，以更新步長pk，計算見式（2）。

式中，?f （xk ）T 是函數(shù)梯度；?2xx L （xk ，λk ）是拉格朗日函數(shù)的黑塞矩陣矩陣（相對于變量）；A（xk ）是在xk處評估的約束的雅可比矩陣；Δk 是信賴域半徑。該方法旨在每一步迭代中通過求解1個局部二次近似問題（2）來逼近原問題的最優(yōu)解[13]。

對于式（1）中的不等式約束，一般可以引入松弛變量s 使其變?yōu)榈仁郊s束[14]，并添加非負(fù)的對數(shù)障礙函數(shù)項，可以得到子問題，見式（3）。

式中，μgt;0表示障礙參數(shù)；φμ （x）代表懲罰函數(shù)；s（i）表示xk 向量對應(yīng)的松弛變量sk 的單個松弛變量，假設(shè)φμ （x） 在邊界上取正無窮，確保解x 位于可行域內(nèi)。在特定條件下，隨著μ 逐漸趨近于0，x 會趨向于問題（1）的解，這意味著無需精確解出懲罰函數(shù)，而只需找到1個近似解，使得誤差εμ gt; 0即可滿足，可以使用信賴域序列二次規(guī)劃法解決該等式約束子問題φμ （x）的解。

解出子問題的解后，定義模型的預(yù)期下降量與實際下降量的比值為ρk，見式（4）。

ρk = f （x ） k - f （x ） k + sk／φk （0） - φk （s ） k（4）

ρk 越大則下降越多，取xk + 1 = xk + sk，信賴域半徑Δk 按照迭代結(jié)果調(diào)整。由于松弛變量不應(yīng)該過早接近0，因此引入尺度矩陣S-1 k 懲罰可行區(qū)域邊界附近的步長，第2個目標(biāo)是確保松弛變量保持為正[15]。每次迭代后的解代入約束項與目標(biāo)函數(shù)改進的容差f （x + s） - f （x） 作為迭代終止的條件，求出結(jié)果后更新懲罰參數(shù)μ 與容差，可迭代得出原問題的解[16]。

1. 3 多起點算法

在面對造紙工業(yè)中的優(yōu)化問題時，多起點算法因其能夠適應(yīng)復(fù)雜和不確定的環(huán)境而顯得尤為重要。TikTak算法，作為多起點算法的一種，通過在參數(shù)空間中選擇多個初始點并執(zhí)行局部優(yōu)化，以期找到全局最優(yōu)解。算法通過選擇新的起點和利用歷史搜索信息，逐步縮小搜索范圍，提高優(yōu)化效率。本算法使用“Sobol”序列[10]，該序列具有幾個理想的性質(zhì)，并且在高維度中表現(xiàn)較好。

TikTak算法分為2個主要階段。第1階段是預(yù)測試，包括繪制和評估N 個“Sobol”點，并從中選擇N? （? N） 個函數(shù)值最低（最優(yōu)） 的“種子”點。在實際操作中，N 會根據(jù)問題的維度大幅增加，而N?為10％N。這些種子點按升序排列為（s1，…，sN*），其中f （s1 ） ≤ … ≤ f （sN* ）。剩余的“Sobol”點將被丟棄，因為其附近的空間優(yōu)化趨勢不佳。

在第2階段，算法依次從N?個起點（s?1，…，s?N*）開始進行局部搜索。令z*j 表示從s*j 開始的局部搜索所找到的最小值。下一個局部搜索的起點被選擇為下一個“Sobol”種子點sj + 1 與之前j 次局部搜索中找到的最佳最小值Z *j = min（z*1， z*2，…， z*j ）的凸組合，見式（5）。

s?j + 1 = （1 - θj ）sj + 1 + θj Z *j （5）

式中，θj ∈ （0，1]是混合權(quán)重；Z *j 是最小解的坐標(biāo)。在第2階段的早期，θj 被選為非常小的值，以便算法有時間在參數(shù)空間中進行廣泛搜索。隨著算法的進展以及從過去局部搜索中累積的信息增多，θj 會逐漸增加，以便集中局部搜索包含最佳局部最小值的區(qū)域，從而更徹底地探索參數(shù)空間中最有前景的部分。最后，當(dāng)z*j 的最后2個不同值之間的絕對差異足夠小時，停止算法。

2 案例研究

2. 1 案例1：造紙干燥部優(yōu)化

在工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域，生活用紙的干燥工段流程頗為繁雜，涵蓋了多個操作參數(shù)。在確保紙張干燥品質(zhì)達標(biāo)的基礎(chǔ)上，不同操作參數(shù)的組合方式，會產(chǎn)生不一樣的干燥能耗水平。為驗證求解器的效用，本案例以陳曉彬[17]所構(gòu)建的紙張干燥過程模擬模型為基礎(chǔ)，設(shè)計了一個簡化的近似能效優(yōu)化模型來驗證本求解器。本研究的測試環(huán)境采用了11th Gen Intel（R） Core（TM）i5-11300H @ 3.10GHz 處理器，具有4 個物理核心和8個邏輯處理器，最多可利用8個線程。

2. 1. 1 決策變量

決策變量包括主蒸汽壓力（Pms，kPa），還有干燥一二段蒸汽壓差、干燥二三段蒸汽壓差、三段端壓差（dp1/dp2/dp3， kPa）， 以及送風(fēng)機電機負(fù)載（Φ1，％）、排風(fēng)機電機負(fù)載（Φ2，%），共計6個決策變量。為契合實際生產(chǎn)情形，在敲定模型決策變量的可行取值范圍時，本研究依據(jù)歷史工況數(shù)據(jù)，在其范圍基礎(chǔ)上拓展10％并取整來明確各決策變量的可行域。

2. 1. 2 約束條件

約束條件關(guān)聯(lián)著系統(tǒng)狀態(tài)變量與決策變量。針對生活用紙紙張干燥過程中的能效優(yōu)化問題，模型約束條件主要涵蓋以下4個層面[17]。

（1） 紙張干度約束。干燥部主要功能在于促使紙張內(nèi)水分蒸發(fā)。正常狀況下，對于紙張脫離干燥部時的干度設(shè)有既定要求。

（2） 露點約束。為了防止氣罩滴水，排風(fēng)溫度必須高于露點溫度?？紤]到氣罩內(nèi)部溫度分布的不均勻性，排風(fēng)溫度必須保持在露點溫度以上，以避免局部溫度低于露點。

（3） 氣罩平衡約束。氣罩平衡約束與氣罩零位控制相關(guān)，一般送排風(fēng)比要在70%～80%范圍內(nèi)。

（4） 濕端汽水分離器的真空度有一定限制，受到系統(tǒng)配置的影響。

對于以上復(fù)雜工藝約束，為了便于求解可將其轉(zhuǎn)化為9個不等式約束，見表1。

2. 1. 3 目標(biāo)函數(shù)

為了實現(xiàn)節(jié)能降耗，將能源收益作為目標(biāo)函數(shù)，主要包括蒸汽消耗和電機功耗[17]，見式（6）。

式中，mtot 是蒸汽總消耗量，kg/s，與主蒸汽壓力、壓差等變量通過質(zhì)量平衡和焓值差間接相關(guān)；p 是風(fēng)機電機功耗，kW，與電機負(fù)載呈線性關(guān)系。

由于其與變量之間存在的對數(shù)與線性關(guān)系[17]，本研究將其轉(zhuǎn)化為非線性目標(biāo)函數(shù)，見式（7）。

為闡釋目標(biāo)函數(shù)的特性，本研究聚焦于立方體域x ∈ [0，50 ]n，繪制了三維圖與等線圖。圖2展示了該目標(biāo)函數(shù)二階情況下的三維圖與等線圖，其中三維圖的半透明區(qū)域表示不滿足約束的區(qū)域，等線圖的陰影區(qū)域表示滿足約束的區(qū)域，全局最小值位于約束邊界處。整體來看，因其二次項和約束的影響，函數(shù)呈現(xiàn)出1個明顯的山峰狀，每個最小值藏在山谷底部。然而，由于余弦項的乘積，函數(shù)還表現(xiàn)出大量小“波紋”，導(dǎo)致域內(nèi)分布著大量局部最小值。這些波紋在圖2（b）函數(shù)等高線圖中更為清晰。等高線圖中的每個閉合圓圈內(nèi)至少包含1個局部最小值，且數(shù)量眾多。這些挑戰(zhàn)在二維情況下已經(jīng)很明顯；而在三維或更高維度中，函數(shù)的形態(tài)和可能出現(xiàn)的復(fù)雜情況更是難以可視化。

本案例在變量范圍（104，128）（30，37）（80，98）（30，37）（25，31）（35，43）內(nèi)優(yōu)化，使用3個求解工具經(jīng)過多次迭代可求得精確解為： x1 = 106.81， x2 =35.53， x3 = 97.92， x4 = 31.39， x5 = 28.08， x6 = 38.44。目標(biāo)函數(shù)為7.46，相較于原始的目標(biāo)函數(shù)值8.47減少了1.01。為驗證求解穩(wěn)定性，本研究從100個隨機抽取的初始點位（每個求解工具都是相同的） 中實現(xiàn)最優(yōu)化求解，設(shè)置成功的公差水平為10?4。Matlab使用了fmincon 函數(shù)默認(rèn)的內(nèi)點法（interior-point），Scipy則使用了minimize函數(shù)的信賴域約束優(yōu)化算法（trustconstr）分別并行差分進化算法（differential evolu?tion） 以及模擬退火算法（dual annealing），本求解框架使用了信賴域內(nèi)點法和TikTak多起點全局優(yōu)化算法。在建模中，只有Scipy中的差分進化算法與本求解框架支持非線性約束，其他全局算法則通過將約束轉(zhuǎn)換為懲罰項添加到目標(biāo)函數(shù)中來進行求解。

圖3為求解效果對比。根據(jù)圖3（a）中的成功率曲線，隨著最大迭代次數(shù)設(shè)置的上升，Scipy和Matlab在干燥部優(yōu)化中均未能穩(wěn)定找到解決方案，差分進化算法的求解成功率最終為87％左右，類似的效果也出現(xiàn)在了模擬退火算法中。內(nèi)點法在不使用全局優(yōu)化算法的情況下的求解成功率為10％左右。這意味著差分優(yōu)化算法和模擬退火算法均可跳出絕大部分小型局部優(yōu)化陷阱，但仍然會陷入更為明顯的局部優(yōu)化陷阱，且不能保證求解的穩(wěn)定性。相比之下，本求解器在不同類型的非線性優(yōu)化問題上表現(xiàn)出色。在最大迭代次數(shù)100及以上的情況下，本求解框架都以成功率100％解決了問題。圖3（b）展示了在最大迭代次數(shù)1 000下統(tǒng)計各求解器計算時間，其中每種求解器進行了100次獨立求解（n=100），以統(tǒng)計其計算時間分布。由圖3（b）可知，本求解器的平均求解時間為0.81 s，相較于差分進化法的0.96 s和模擬退火算法的2.08 s，有所提升。

綜合來看，本求解器在全局優(yōu)化能力、約束處理以及初始點兼容性方面均表現(xiàn)較好。與一般啟發(fā)式優(yōu)化方法相比，其不僅能夠有效提升求解成功率，還減少了計算時間。

2. 2 案例2：造紙企業(yè)能量系統(tǒng)操作優(yōu)化

熱電聯(lián)產(chǎn)是造紙工業(yè)節(jié)能的一個重要方面，也是造紙企業(yè)提高效益的另一個重要途徑[18]，但存在明顯的非線性特性，當(dāng)制漿、造紙生產(chǎn)局部改變或異常時，熱電廠的被動調(diào)節(jié)會使熱電聯(lián)產(chǎn)系統(tǒng)運行狀態(tài)改變，這種調(diào)節(jié)與系統(tǒng)響應(yīng)并非簡單的線性關(guān)系[19]。如制漿環(huán)節(jié)的微小波動可能導(dǎo)致熱電廠蒸汽供應(yīng)需求的非比例變化，而且這種變化在不同工況下具有不確定性，體現(xiàn)出多因素相互作用的復(fù)雜非線性。同時，多個鍋爐和汽輪機組之間的協(xié)同工作也呈現(xiàn)出非線性特點，這些設(shè)備的運行狀態(tài)相互影響，一個機組參數(shù)的改變對整個熱電聯(lián)產(chǎn)系統(tǒng)的影響不是簡單的加和關(guān)系。

基于此，本研究參考了周艷明等[20]的研究，該研究提出了一個包含多個能耗模塊和汽輪機的造紙企業(yè)熱電聯(lián)產(chǎn)優(yōu)化模型，目的是使能耗系統(tǒng)的效益和效率最大化。因熱電聯(lián)產(chǎn)涉及多個鍋爐和汽輪機組，且二者存在線性和非線性約束，所以其運行優(yōu)化可采用自然語言處理（NLP） 方法。該研究將工藝模型分解為單元（設(shè)備） 模型的組合，并在此基礎(chǔ)上建立相應(yīng)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型并求解。以廣州造紙集團有限公司（以下簡稱“廣紙”） 的熱電聯(lián)產(chǎn)項目為例，此模型目標(biāo)是在給定約束條件下，讓煤、蒸汽和電的消耗達到最優(yōu)平衡，實現(xiàn)能源利用和經(jīng)濟效益的最大化。

該熱電聯(lián)產(chǎn)工藝由3臺后置汽輪機，3個耗能模塊，2臺前置汽輪機組成。共32個變量，48個約束，其中3個非線性約束，變量為各物料流量，詳見廣紙熱電聯(lián)產(chǎn)建模[20]。在廣紙熱電聯(lián)產(chǎn)系統(tǒng)的優(yōu)化中，本研究使用了不同的求解工具Matlab、Scipy和本求解工具來解決復(fù)雜的優(yōu)化問題。3種求解工具的方法選擇同案例1。固定產(chǎn)汽量為295.43 t/h，在同樣初始點情況下進行計算。

表2為各求解器優(yōu)化結(jié)果。由表2可知，Matlab、Scipy和本求解器這3種求解工具在不同工段的耗能模塊耗煤量和產(chǎn)汽量方面存在一些差異。Matlab在第3工段的耗能模塊耗煤量為1.85 t/h，這可能是由于該求解器在迭代過程中遇到了疑似駐點導(dǎo)致提前停止迭代的情況。相比之下，Scipy和本求解器在該工段的結(jié)果相對穩(wěn)定且在10?6精度下保持一致。Matlab可能遇到了迭代到疑似駐點而停止的情況，但Scipy和本求解器在該問題上表現(xiàn)出更好的迭代穩(wěn)定性和一致性，產(chǎn)生了相同的最優(yōu)解。

在研究過程中，記錄下3 種求解器的目標(biāo)函數(shù)迭代曲線如圖4 所示。由圖4 可知，Matlab 的求解結(jié)果會停止在滿足公差的范圍內(nèi)，即迭代到疑似駐點停止，而其他2種求解方法則能夠持續(xù)迭代并得到相同的結(jié)果。這表明本求解器在不同求解器之間具有更好的初始點兼容性，迭代結(jié)果更為穩(wěn)健。

另外，在已找到合適初始值的前提下，通過各關(guān)鍵參數(shù)迭代曲線的分析，可以發(fā)現(xiàn)本求解器的收斂速度明顯快于Scipy求解器。圖5展示了耗能模塊1、2、3的產(chǎn)汽量與耗煤量的迭代曲線。由圖5可知，在目標(biāo)函數(shù)與參數(shù)的迭代過程中，本求解器的迭代速度明顯快于Scipy求解器。

進一步比較2種求解器的迭代信息如表3所示。由表3可知，本求解器的總迭代次數(shù)明顯少于Scipy求解器，減少了59.7％，且優(yōu)化時間相比之下也更少，減少了9.29％。此外，在總目標(biāo)函數(shù)評估次數(shù)和矩陣評估的總次數(shù)方面，本求解器也表現(xiàn)更為出色。

平均迭代次數(shù)較當(dāng)前信賴域求解器更少，這表明本求解器能更快地收斂到約束邊界條件下，為系統(tǒng)的優(yōu)化提供了更高效的求解方法，減少計算成本。優(yōu)化時間方面，本求解器同樣表現(xiàn)出更短的優(yōu)化時間，進一步說明了其在迭代速度和效率方面的優(yōu)勢。

綜上所述，以上模型以經(jīng)濟指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，多個模塊構(gòu)成離散決策變量與約束，可根據(jù)當(dāng)前環(huán)境與任務(wù)（目標(biāo)耗煤量或發(fā)電量） 進行動態(tài)調(diào)整求解為不確定性生產(chǎn)的單目標(biāo)優(yōu)化問題，針對這一類問題，本求解器能夠很好地求解。結(jié)合案例 1 中所展現(xiàn)出的非線性優(yōu)化性能，對于具有線性與非線性約束，性能指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)的造紙生產(chǎn)優(yōu)化模型，本求解器也能實現(xiàn)良好的求解。

3 結(jié) 論

本研究開發(fā)了一個面向造紙生產(chǎn)系統(tǒng)的全局優(yōu)化求解器，以應(yīng)對該領(lǐng)域的復(fù)雜性挑戰(zhàn)。造紙生產(chǎn)系統(tǒng)由于其非線性、多維度以及不確定性等特征，需要一種有效的全局優(yōu)化方法。為解決這些問題，提出的優(yōu)化框架結(jié)合了信賴域內(nèi)點法和多起點全局優(yōu)化算法。在此工具的支持下，針對造紙干燥部優(yōu)化案例，該求解器以100%的成功率找到了全局最優(yōu)解，相比其他求解工具表現(xiàn)更加穩(wěn)健，且單個案例平均求解時間為0.81 s。其次，在造紙企業(yè)能量系統(tǒng)操作優(yōu)化案例中，該求解器不僅在迭代次數(shù)上減少了59.7%， 而且優(yōu)化時間縮短了9.29%，提高了優(yōu)化效率，并使計算成本降低。結(jié)果表明，本求解器具備較強的全局優(yōu)化能力和初始點兼容性，確保了其在面對具備線性與非線性約束的造紙優(yōu)化問題時，依然能夠?qū)崿F(xiàn)高效、穩(wěn)定的全局優(yōu)化求解，為造紙工業(yè)的數(shù)字化轉(zhuǎn)型提供了有力支持。

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（責(zé)任編輯：宋佳翼）

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