高中數(shù)學(xué)課堂教與學(xué)的實(shí)踐性思考

［摘 要］《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》強(qiáng)調(diào)教、學(xué)、考有機(jī)銜接，以形成育人合力。在此要求的指導(dǎo)下，高中數(shù)學(xué)課堂的教與學(xué)應(yīng)著重從三個(gè)維度入手：設(shè)計(jì)要“活”，學(xué)習(xí)要“慢”，思考要“深”。文章結(jié)合實(shí)際教學(xué)案例，對(duì)高中數(shù)學(xué)課堂教與學(xué)進(jìn)行了實(shí)踐性思考。

［關(guān)鍵詞］教與學(xué)；活設(shè)計(jì)；慢學(xué)習(xí)；深思考

［中圖分類號(hào)］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號(hào)］" " 1674-6058（2025）02-0001-03

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》強(qiáng)調(diào)基于學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，引導(dǎo)教學(xué)更加關(guān)注育人目的，幫助教師和學(xué)生正確把握教與學(xué)的深度和廣度，促進(jìn)教、學(xué)、考有機(jī)銜接，形成育人合力［1］。回顧我國(guó)課改主要發(fā)展歷程，從加強(qiáng)“雙基”教學(xué)到全面推進(jìn)素質(zhì)教育、落實(shí)三維目標(biāo)，再到如今培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)、落實(shí)立德樹人，課程目標(biāo)逐步從教書轉(zhuǎn)向育人。那么，課堂上如何實(shí)現(xiàn)育人？關(guān)鍵在于課堂教學(xué)，核心在于教師的教和學(xué)生的學(xué)。筆者認(rèn)為，要實(shí)現(xiàn)課堂教與學(xué)的高效轉(zhuǎn)化與創(chuàng)新，需把握三個(gè)維度：設(shè)計(jì)要“活”，學(xué)習(xí)要“慢”，思考要“深”。基于此，筆者結(jié)合教學(xué)理論與實(shí)踐，通過(guò)具體案例進(jìn)行詳細(xì)闡述。

一、課堂教與學(xué)的典型問(wèn)題及原因分析

自2008年以來(lái)，我國(guó)教育以培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)、落實(shí)立德樹人為主要目標(biāo)，課程目標(biāo)從教書轉(zhuǎn)向育人。在此背景下，國(guó)內(nèi)學(xué)者、專家、教研員等積極解讀和宣講新理念。然而，對(duì)一線教師而言，更新教學(xué)理念、克服傳統(tǒng)教學(xué)弊端勢(shì)在必行，但實(shí)施起來(lái)困難重重，難以根本改變。久而久之，理論與實(shí)踐脫節(jié)，教與學(xué)重回“老路”。

目前，課堂教與學(xué)仍然存在以下典型問(wèn)題

（1）傳統(tǒng)教學(xué)模式與策略根深蒂固，部分教師不愿嘗試新模式、新策略（或缺乏理念支持，有心無(wú)力）。具體表現(xiàn)為：教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)度依賴教材表面知識(shí)，或僅憑一本教輔書應(yīng)付教學(xué)，缺乏深度挖掘；常出現(xiàn)“照本宣科”現(xiàn)象；教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)僵化，按部就班。

（2）課堂上仍存在“滿堂灌”“一言堂”的現(xiàn)象，忽視學(xué)生的實(shí)際感受。這種單向傳遞固定化知識(shí)的教學(xué)方式，導(dǎo)致學(xué)生被動(dòng)接受，出現(xiàn)適應(yīng)者和不適應(yīng)者兩極分化。不適應(yīng)者無(wú)法體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，逐漸失去持續(xù)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與興趣［2］。這些問(wèn)題的根源在于忽視了學(xué)生的主體地位，缺乏對(duì)學(xué)生實(shí)際情況和學(xué)習(xí)需求的深入了解。教師沉迷于自己的“演講”，單向傳授知識(shí)，看似提高了課堂教學(xué)效率，實(shí)則降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，未能真正完成教學(xué)任務(wù)。因此，學(xué)生常出現(xiàn)課上聽(tīng)得懂、課下不會(huì)做的現(xiàn)象，且隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，這一問(wèn)題愈發(fā)明顯。

（3）在實(shí)際教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生思考的時(shí)間和空間往往不足。以小組合作探究為例，部分教師將其視為“作秀”，認(rèn)為華而不實(shí)，甚至在公開(kāi)課上也只是流于形式。這主要是因?yàn)榻處煋?dān)心學(xué)生不討論、亂討論或討論失控，擔(dān)心既沒(méi)有實(shí)際效果，又浪費(fèi)時(shí)間，影響教學(xué)進(jìn)度。事實(shí)上，問(wèn)題并不在于合作學(xué)習(xí)本身，而在于其組織實(shí)施的策略。

二、課堂教與學(xué)的實(shí)踐案例與反思

針對(duì)以上教學(xué)理念及課堂教與學(xué)存在的問(wèn)題，本文從以下三個(gè)方面，結(jié)合實(shí)際教學(xué)案例與反思來(lái)闡述高中數(shù)學(xué)課堂教與學(xué)的實(shí)施策略。

（一）活設(shè)計(jì)

［案例1］平面向量的概念與表示。

引入1：同學(xué)們，你們知道博爾特是誰(shuí)嗎？我們跟博爾特賽跑，有可能贏嗎？（展示圖1）

引入2：觀看《戰(zhàn)狼2》的片段（如圖2）后，請(qǐng)思考：導(dǎo)彈精準(zhǔn)擊中目標(biāo)，需要哪些條件？

問(wèn)題1：同學(xué)們能否再列舉一些既有大小又有方向的量？

問(wèn)題2：那能列舉只有大小沒(méi)有方向的量嗎？

引入向量的概念：

從速度、位移等既有大小又有方向的量中抽象出一種新的研究對(duì)象——向量。

在數(shù)學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量叫作向量。

簡(jiǎn)要介紹向量的發(fā)展史及本章框架。（限于篇幅，后續(xù)概念表示等內(nèi)容不再展示）

這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)在概念教學(xué)中很常見(jiàn)，其流程為“創(chuàng)設(shè)情境—問(wèn)題指引—引出概念—合作探究—深化理解”。雖然教學(xué)流程看似順暢，但學(xué)生常感覺(jué)被牽著走，像掉進(jìn)了一個(gè)精心設(shè)計(jì)的陷阱。

實(shí)際上，向量的概念并不抽象。學(xué)生在物理學(xué)習(xí)中已接觸過(guò)矢量，在數(shù)學(xué)中也學(xué)過(guò)標(biāo)量，為向量概念的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。此外，學(xué)生在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等概念時(shí)，已多次體驗(yàn)類比思想，因此無(wú)須設(shè)定固定學(xué)習(xí)路線。基于學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)內(nèi)容，本節(jié)課的教學(xué)可優(yōu)化為：在引出向量概念前，引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)數(shù)量的過(guò)程，并對(duì)照學(xué)習(xí)要求與目標(biāo)閱讀課本（人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)P2—3），進(jìn)行自主學(xué)習(xí)。通過(guò)閱讀，學(xué)生初步認(rèn)識(shí)和理解向量的概念與表示，同時(shí)重視課本價(jià)值，改變學(xué)習(xí)方式。向量的表示、特殊向量、向量的模等知識(shí)點(diǎn)雖多但難度不大。教師可讓學(xué)生合作探究，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，教師適時(shí)給予點(diǎn)撥即可。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)既讓教師教得輕松，又讓學(xué)生學(xué)得扎實(shí)，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。因此，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知情況，使教學(xué)活動(dòng)、教學(xué)形式、教學(xué)問(wèn)題等更加適切、靈活。

（二）慢學(xué)習(xí)

很多一線教師都有這樣的感受：每學(xué)期的教學(xué)進(jìn)度都很緊張，時(shí)間總是不夠用。為了趕進(jìn)度，教師往往加快教學(xué)節(jié)奏，導(dǎo)致課堂出現(xiàn)“大容量、快節(jié)奏、貪多求全、主題不明”的現(xiàn)象，這已成為常態(tài)，形成了不良循環(huán)。

數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)片面追求速度，這是由數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)決定的。同時(shí)，教學(xué)應(yīng)以學(xué)生為中心，教師應(yīng)想學(xué)生之所想，解學(xué)生之所惑，教學(xué)方式及方法應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。在關(guān)鍵環(huán)節(jié)，教師應(yīng)放慢教學(xué)節(jié)奏，給學(xué)生留下充足的時(shí)間和空間去思考、感悟、展示與交流，從而了解學(xué)生的真實(shí)想法與存在的問(wèn)題。事實(shí)上，這種“慢”是為了后續(xù)高質(zhì)量的“快”。下面，筆者將結(jié)合教學(xué)案例進(jìn)行說(shuō)明。

［案例2］數(shù)列的概念與表示。

“數(shù)列的概念”是章節(jié)起始課。作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，“數(shù)列”是訓(xùn)練數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力等能力的重要載體。概念越基礎(chǔ)，越能揭示事物的深層聯(lián)系，形成廣泛應(yīng)用。但也正因其基礎(chǔ)性，很多教師在數(shù)列的概念教學(xué)中往往一筆帶過(guò)，急于講解例題，結(jié)果卻常常欲速則不達(dá)。下面是筆者在“數(shù)列”公開(kāi)課中的一個(gè)教學(xué)片段，旨在探討“慢學(xué)習(xí)”教學(xué)理念在概念教學(xué)中的實(shí)踐。

1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣（感知階段）

情境一：展示大自然中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)規(guī)律的圖形。

情境二：展示向日葵花盤螺紋（如圖3），引導(dǎo)學(xué)生觀察并記錄花瓣數(shù)及兩種不同方向的螺紋數(shù)，探究這些數(shù)的規(guī)律，引出斐波那契數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…

情境三：觀看視頻，感受數(shù)列與大自然的緊密聯(lián)系及神奇魅力。

2.結(jié)合生活，設(shè)問(wèn)引思（抽象階段）

提出畢達(dá)哥拉斯學(xué)派擺石子、細(xì)胞分裂、一尺之棰日取其半、奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù)及斐波那契數(shù)等5個(gè)生活問(wèn)題，供學(xué)生獨(dú)立思考。

3.抽象概括，形成概念（表達(dá)階段）

分組合作，討論交流，解決以下問(wèn)題：

問(wèn)題1：這幾組數(shù)有何共同點(diǎn)？

問(wèn)題2：集合[1，4，9，16]與[1，4，9，16]有何區(qū)別？

問(wèn)題3：如何定義數(shù)列？

從自然情境到生活情境，多維度展示數(shù)列的意義，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)列與自然環(huán)境及日常生活有著密切聯(lián)系。通過(guò)類比集合概念，突破數(shù)列中數(shù)的有序性難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的感知、抽象、表達(dá)過(guò)程，實(shí)現(xiàn)數(shù)列概念的“慢形成”。這一過(guò)程不僅讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與自然、生活的聯(lián)系，體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力，還培養(yǎng)了他們的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。課堂教學(xué)之“慢”還體現(xiàn)在公式推導(dǎo)、經(jīng)典習(xí)題講解、小組合作探究與交流展示等環(huán)節(jié)。

“春風(fēng)化雨，潤(rùn)物無(wú)聲。”“貪多求快”往往適得其反。“慢學(xué)習(xí)”并非拖延教學(xué)進(jìn)度和降低教學(xué)效率的表面功夫，而是緊扣學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，尊重學(xué)生的主體地位，為學(xué)生提供更多自主思考、合作探究的時(shí)間和空間，創(chuàng)造更好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。這充分體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的人文關(guān)懷，讓理解慢的學(xué)生能跟上節(jié)奏，讓反應(yīng)快的學(xué)生能抓住本質(zhì)，領(lǐng)悟精髓，學(xué)會(huì)舉一反三，提升思維品質(zhì)。

（三）深思考

深度思考是學(xué)生在面對(duì)挑戰(zhàn)性問(wèn)題時(shí)的全身心參與過(guò)程。“慢學(xué)習(xí)”為深度思考提供了必要的時(shí)間和空間，是深度思考能夠發(fā)生的客觀條件。為促進(jìn)深度思考，教師應(yīng)構(gòu)建關(guān)于研究對(duì)象（具有研究?jī)r(jià)值的問(wèn)題）的整體框架，按照“對(duì)象本身—知識(shí)原理—數(shù)學(xué)規(guī)律（性質(zhì)、關(guān)系）—形成結(jié)構(gòu)—應(yīng)用創(chuàng)新”的主線，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理、法則出發(fā)，結(jié)合已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知，建立解決問(wèn)題的基本思路。這樣，學(xué)生不僅能理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，還能獲得深度思考的機(jī)會(huì)與方法。

在“三新”（新課標(biāo)、新教材、新高考）背景下，考試更加注重對(duì)思維過(guò)程的考查，試題更靈活，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的挖掘更深入。課堂教學(xué)中，若學(xué)生僅記住概念、公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，缺乏深度理解和靈活運(yùn)用，解題技巧停留在表面模仿，這種被動(dòng)學(xué)習(xí)無(wú)法鍛煉思維、提升關(guān)鍵能力，這也是部分學(xué)生在大考“用不上力”的原因之一。

［案例3］直線和圓的綜合問(wèn)題。

直線和圓的綜合問(wèn)題是高考的重要考點(diǎn)，2023年新高考Ⅰ卷第6題即為該考點(diǎn)的典型題目。筆者以此類題為例，分享高三一輪復(fù)習(xí)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深度思考的案例。

題目：已知[P]是圓[C：][x2+y2-2x-2y+1=0]外一點(diǎn)，且在直線[3x+4y+3=0]上，[PA，PB]是圓[C]的兩條切線，[A，B]是切點(diǎn)，求[PA·PB]的最小值。

待學(xué)生獨(dú)立思考后，教師引導(dǎo)他們思考以下問(wèn)題：

（1）向量數(shù)量積有哪些轉(zhuǎn)化方向？本題應(yīng)如何轉(zhuǎn)化？

學(xué)生根據(jù)圖4，由向量數(shù)量積的定義知[PA·PB=PA2cos2θ]。

（2）多變量問(wèn)題的一般轉(zhuǎn)化策略是什么？本題應(yīng)如何應(yīng)用這一策略？

學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的方法（如圖4），將變量轉(zhuǎn)化為不變量，即[PA·PB=PA2cos2θ=PC2-r2（1-2sin2θ）=PC2+2PC2-3]。

考慮到[PC2min=4]，[PC]取不到[2]，所以讓學(xué)生試錯(cuò)，然后討論為何此處不能使用基本不等式。接著，提出問(wèn)題（3）：那么，該如何求解呢？你是怎樣想到這樣處理的？

學(xué)生展示：令[PC2=x]，[x∈4，+∞]，[y=PC2+2PC2-3]，則問(wèn)題等價(jià)于求[y=x+2x-3]的最小值。由于[y=x+2x-3]在[4，+∞]上單調(diào)遞增，因此當(dāng)[x=4]時(shí)，[ymin=32]，即[PA·PBmin=32]。

教師總結(jié)后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：在不改變題目條件的前提下，我們還能研究哪些問(wèn)題？學(xué)生類比剛才探討的問(wèn)題，結(jié)合圖形，分組進(jìn)行思考和討論。隨后，各小組在黑板上列出了以下問(wèn)題：①求[CA·CB]的最大值；②求四邊形[PACB]面積的最小值；③求張角[∠APB]的最大值。學(xué)生積極交流，展示了自己的思考成果（略）。

傅種孫先生關(guān)于解題教學(xué)提出了三重境界：知其然；知其所以然；何由以知其所以然。問(wèn)題（1）和問(wèn)題（2）利用數(shù)形結(jié)合以及從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行常規(guī)處理，對(duì)所求問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)、解法、思路的合理性進(jìn)行定性分析，達(dá)到了前兩重境界。問(wèn)題（3）為易錯(cuò)點(diǎn)，故讓學(xué)生走點(diǎn)“彎路”，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，然后分析并解決問(wèn)題，同時(shí)引導(dǎo)他們思考“是怎樣想到這樣處理的”，深入剖析問(wèn)題的來(lái)龍去脈，以此培養(yǎng)學(xué)生的深度思考意識(shí)和能力，提升他們的思維品質(zhì)，進(jìn)而達(dá)到第三重境界。

綜上，有效的課堂教學(xué)源于精心設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)。當(dāng)教學(xué)設(shè)計(jì)具備開(kāi)放性、靈活性、適切性，并與“慢學(xué)習(xí)”理念相融合時(shí)，學(xué)生的深度思考便會(huì)自然發(fā)生。教學(xué)設(shè)計(jì)作為載體，引導(dǎo)學(xué)生從“快想”走向“慢思”，再達(dá)到“深思”的境界，完成知識(shí)的內(nèi)化。在此過(guò)程中，每個(gè)學(xué)生都能“真參與、親經(jīng)歷、深思考”，親身體驗(yàn)知識(shí)的生成過(guò)程，從而獲得積極成功的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，逐步實(shí)現(xiàn)全面發(fā)展。

［" "參" "考" "文" "獻(xiàn)" "］

[1]" 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版[M].北京：人民教育出版社，2018.

［2］" 傅種孫.平面幾何教本[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1982.

（責(zé)任編輯" " 黃春香）