高中導函數多變量問題解題策略研究

［摘 要］高中數學中，導函數多變量問題常見且復雜。這類問題不僅考查基礎知識，還對學生的邏輯思維、問題分析和問題解決能力有較高要求。文章探討高中導函數多變量問題的解題策略，通過案例分析、方法總結及技巧提煉，幫助學生更好地應對此類難題。

［關鍵詞］導函數；多變量問題；解題策略

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2025）02-0013-04

導函數作為微積分的基礎，在高中數學中具有舉足輕重的地位。多變量問題是導函數應用的一大難點，尤其在處理不等式、極值、最值等問題時，學生常常感到無從下手。本文將從六個方面探討導函數多變量問題的解題策略，為學生提供有效的解題方法和思路。

一、利用韋達定理消元

韋達定理揭示了一元二次方程中根與系數之間的關系。利用韋達定理處理導函數多變量問題是一種巧妙的策略。當問題涉及多個變量且滿足二次關系時，可構造一元二次方程，利用韋達定理將多變量問題轉化為單變量問題。關鍵在于識別可構造的一元二次方程，并準確應用韋達定理。轉化后，問題大大簡化，此時可利用一元二次方程根的性質和導數工具求解。

［例1］已知函數[f（x）=ax2-2x+lnx]（[a≠0]，[a∈R]）。（1）討論函數[f（x）]的單調性；（2）若函數[f（x）]有兩個極值點[x1]，[x2]，求證：[f（x1）+f（x2）lt;-3]。

解析：（1）由題意得，函數[f（x）]的定義域是[（0，+∞）]，[f '（x）=2ax-2+1x=2ax2-2x+1x]，令[g（x）=2ax2-2x+1]，[Δ=4-8a]，接下來可對[a]進行分類討論，研究函數的單調性（過程略）。

（2）由（1）得[0lt;alt;12]時，函數[f（x）]有[2]個極值點[x1]，[x2]，且[x1+x2=1a]，[x1x2=12a]，所以[f（x1）+f（x2）=-lna+1a-（1+ln2）]，令[h（a）=-lna+1a-（1+ln2）0lt;alt;12]，則[h'（a）=-1a-1a2=1-aa2gt;0]，所以[h（a）]在[0，12]上遞增，則[h（a）lt;h12=-ln12+2-（1+ln2）=-3]，即[f（x1）+f（x2）lt;-3]。

評析：第一問含參變量，需要對其進行分類討論；第二問基于第一問，進一步縮小參變量的取值范圍。當函數存在導數時，函數的極值點是其導函數變號的零點。利用韋達定理，建立極值點與參變量的關系，通過變形可將多變量化為單變量，從而得出目標函數。

二、齊次化處理

齊次化是處理導函數多變量問題的有效策略。它通過代數變換，將多變量問題轉化為單變量問題，簡化求解過程。具體步驟包括：（1）觀察與識別。觀察題目，識別出可通過代數變換形成齊次形式的項。（2）代數變換。利用已知條件進行乘除、加減、換元等代數變換，使多變量表達式轉化為齊次形式。（3）引入新變量。為簡化問題，可引入新變量（如令某兩個變量的比值為新變量），將多變量轉化為單變量或更簡單的多變量形式。（4）利用導數性質。齊次化后，利用鏈式法則、乘積法則等，對新的單變量函數求導，求解問題。（5）回代求解。如需求出原變量值，可將新變量或中間結果回代到原問題中求解。通過這些步驟，齊次化策略能有效地將復雜的多變量問題轉化為更易解決的問題。

［例2］已知函數[f（x）=xlnx-2ax2+x]，[a∈R]。（1）若[f（x）]在（[0，+∞）]內單調遞減，求實數[a]的取值范圍；（2）若函數[f（x）]有兩個極值點[x1]，[x2]，證明：[x1+x2gt;12a]。

解析：（1）令[f '（x）≤0]在[x∈（0，+∞）]上恒成立，分離參數得出[4a≥lnx+2x]，利用函數單調性求出函數[g（x）=lnx+2x]的最大值即可得出[a]的取值范圍。

（2）因為[f（x）]有兩個極值點，所以[f '（x）=lnx+2-4ax=0]在[（0，+∞）]上有兩個解，即[4a=lnx+2x]有兩個解，由（1）可知[0lt;alt;e4]。由[lnx1-4ax1+2=0]，[lnx2-4ax2+2=0]，可得[lnx1-lnx2=4a（x1-x2）]，不妨設[0lt;x1lt;x2]，要證明[x1+x2gt;12a]，只需證明[x1+x24a（x1-x2）lt;12a（lnx1-lnx2）]，即證明[2（x1-x2）x1+x2gt;lnx1-lnx2]，即證明[2x1x2-1x1x2+1gt;lnx1x2]，令[h（x）=2（x-1）x+1-lnx（0lt;x≤1）]，則[h'（x）=-（x-1）2x（x+1）2≤0]，故[h（x）]在[0，1]上單調遞減，所以當[x∈0，1]時，[h（x）gt;h（1）=0]，即[2（x-1）x+1gt;lnx]在[0，1]上恒成立，故不等式[2x1x2-1x1x2+1gt;lnx1x2]恒成立。綜上，[x1+x2gt;12a]。

三、利用放縮法

在導函數多變量問題中，放縮法是一種有效簡化復雜問題的策略。它通過放縮不等式，將多變量表達式轉化為易處理的單變量表達式。具體過程為：首先，識別影響問題復雜度的關鍵變量或表達式；然后，利用不等式性質或函數單調性，對原表達式進行放大或縮小，使處理后的表達式僅關于一個變量。在這一過程中，需要巧妙選擇放縮的“度”，既要保證放縮后的表達式易處理，又要不改變原問題的核心性質。

［例3］已知函數[f（x）=xlnx-x]。若[f（x）=b]有兩個實數根[x1]，[x2]，且[x1lt;x2]。求證：[be+elt;x2-x1lt;2b+e+1e]。

解析：[f（x）]的定義域為（0，+∞），[f'（x）=lnx]。令[f'（x）gt;0]，得[xgt;1]；令[f'（x）lt;0]，得[0lt;xlt;1]，所以[f（x）]在區間（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減。因為[f（x）=b]有兩個實數根[x1]，[x2]，且[x1lt;x2]，所以[0lt;x1lt;1lt;x2]。

先證不等式[x2-x1lt;2b+e+1e]。因為[f（e）=0]，[f1e=-2e]，[f'（e）=1]，[f'1e=-1]，所以曲線[y=f（x）]在[x1=1e]和[x2=e]處的切線分別為[l1]：[y=-x-1e]和[l2]：[y=x-e]，如圖1所示。

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圖1

令[g（x）=f（x）--x-1e=xlnx+1e]，[0lt;xlt;1]，則[g'（x）=1+lnx]。令[g'（x）gt;0]，則[1elt;xlt;1]，令[g'（x）lt;0]，則[0lt;xlt;1e]，所以[g（x）]在[0，1e]上單調遞減，在[1e，1]上單調遞增，所以[g（x）≥g1e=0]，所以[f（x）≥-x-1e]在（0，1）上恒成立。設直線[y=b]與直線[l1]交點的橫坐標為[x′1]，則[x′1≤x1]；設直線[y=b]與直線[l2]交點的橫坐標為[x′2]，同理可證[x2≤x′2]。因為[x′1=-b-1e]，[x′2=b+e]，所以[x2-x1lt;x′2-x′1=b+e--b-1e=2b+e+1e]（兩個等號不同時成立），因此[x2-x1lt;2b+e+1e]。

再證不等式[x2-x1gt;be+e]。函數圖象[f（x）]上有兩點A（1，-1），B（e，0），設直線[y=b]與直線[OA]：[y=-x]，直線[AB]：[y=1e-1（x-e）]的交點的橫坐標分別為[x3]，[x4]，易證[x1lt;x3lt;x4lt;x2]，且[x3=-b]，[x4=（e-1）b+e]，所以[x2-x1gt;x4-x3=（e-1）b+e-（-b）=be+e]。綜上，[be+elt;x2-x1lt;2b+e+1e]成立。

評析：本題涉及含有兩個零點的[f（x）]的解析式（可能含有參數[x1]，[x2]），已知方程[f（x）=b]有兩個實根，要證明這兩個實根之差小于（或大于）某個表達式。求解策略：首先，畫出[f（x）]的圖象，并求出[f（x）]在兩個零點處（或曲線上的某兩點）的切線方程（或找過曲線上某兩點的直線）；然后，嚴格證明曲線[f（x）]在切線（或所找直線）的上方或下方；最后，對[x1]，[x2]進行適當的放大或者縮小，以精確證明所需結論。

四、利用主元法

主元法的核心在于選定或引入一個變量作為“主元”進行主要研究，而將其他變量視為參數或常量。求解時，可利用導數工具對主元求導、分析單調性、求極值等，得到主元的解。這種策略關鍵在于合理選擇主元，并靈活處理其他變量與主元的關系。

（一）確定主元

［例4］已知函數[f（x）=a（x-1）-lnx+1]。（1）求[f（x）]的單調區間；（[2）]當[a≤2]時，證明：當[xgt;1]時，[f（x）lt;ex-1]恒成立。

解析：（1）對函數直接求導，分[a≤0]和[agt;0]兩種情況討論，根據導函數的正負得到函數的單調區間；（2）當[a≤2]，且[xgt;1]時，[ex-1-f（x）=ex-1-a（x-1）+lnx-1≥ex-1-2x+1+lnx]，令[g（x）=ex-1-2x+1+lnx（xgt;1）]，下證[g（x）gt;0]即可。[g'（x）=ex-1-2+1x]，再令[h（x）=g'（x）]，則[h'（x）=ex-1-1x2]，顯然[h'（x）]在[（1，+∞）]上遞增，則[h'（x）gt;] [h'（1）=e0-1=0]，即[g'（x）=h（x）]在[（1，+∞）]上遞增，故[g'（x）gt;g'（1）=e0-2+1=0]，即[g（x）]在[（1，+∞）]上單調遞增，故[g（x）gt;g（1）=e0-2+1+ln1=0]，問題得證。

（二）引入新主元

［例5］設函數[f（x）=（x+a）ln（x+b）]，若[f（x）≥0]恒成立，則[a2]+[b2]的最小值為" " " " " " " " 。

解析：引入新主元[t]，并令[t=x+b]，則原式可變為[F（t）=（t+a-b）lnt][（tgt;0）]，[F（t）≥0=F（1）]，所以最小值落在了極值點處，則只需[F（1）=0]，得出[1+a-b=0]，所以[a2+b2=a2+（1+a）2=2a2+2a+1≥12]，[a2+b2]的最小值為[12]。這樣就把多元問題最終化為一元問題。

五、利用單調性分析法

在解決導函數多變量復雜問題時，利用單調性分析法將其轉化為單變量問題，是一種直觀有效的策略。這種策略的核心在于通過導數判斷函數的單調性，簡化求解過程。其基礎步驟為：首先，明確多變量函數及其定義域。然后，選取一個變量作為“主變量”，其余變量視為參數或常量。最后，對函數關于主變量求導，分析導數的符號變化，確定函數的單調性。這樣處理，求解過程更加清晰。

［例6］已知函數[f（x）=13ax3-4x（a∈R）]。（[1）]討論函數[f（x）]的單調性；（[2）]若[a=1]，[?x1]，[x2∈1，2]且[x1≠x2]，都有[f（x1）-f（x2）lt;mlnx1-lnx2]成立，求實數[m]的取值范圍。

解析：（1）對函數[f（x）]求導，討論[a]的取值范圍，得出單調性。

[（2）]當[a=1]時，[f（x）=13x3-4x]，由（1）可知[f（x）]在[1，2]上單調遞減，不妨設[1≤x1lt;x2≤2]，則原式轉化為[f（x1）+mlnx1lt;f（x2）+mlnx2]對任意的[x1，x2∈1，2]成立，則[g（x）=f（x）+mlnx]在[1，2]單調遞增，[g′（x）=f ′（x）+mx=x2-4+mx≥0]，則[m≥-x3+4x]對[x∈1，2]恒成立，令[h（x）=-x3+4x]，求出[h（x）]的最大值，即可得出結果。

六、對稱化構造函數

在解決極值點或拐點偏移問題時，對稱化構造函數能夠直觀展現偏移規律，將復雜的雙變量問題轉化為易于處理的單變量問題。通過構造函數并對其求導，分析其在特定區間的單調性，可得出偏移的結論，彰顯該策略的獨特優勢。

［例7］已知函數[f（x）=xe2-x]。（1）求[f（x）]的極值；（2）若[agt;1]，[bgt;1]，[a≠b]，[f（a）+f（b）=4]，證明：[a+blt;4]。

解析：（1）因為[f（x）=xe2-x]，所以[f'（x）=（1-x）e2-x]，由[f'（x）gt;0]，解得[xlt;1]；由[f'（x）lt;0]，解得[xgt;1]，所以[f（x）]在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，又[f（1）=e]，所以[f（x）]在[x=1]處取得極大值e，無極小值。

（2）由（1）可知，[f（x）]在（1，+∞）上單調遞減，[f（2）=2]，且[agt;1]，[bgt;1]，[a≠b]，[f（a）+f（b）=4]，不妨設[1lt;alt;2lt;b]，要證[a+blt;4]，只需證[blt;4-a]，而[bgt;2]，[2lt;4-alt;3]，且[f（x）]在（1，+∞）單調遞減，所以只需證[f（b）gt;f（4-a）]，即證[4-f（a）gt;f（4-a）]，即證[f（a）+f（4-a）lt;4]，即證當[1lt;xlt;2]時，[f（x）+f（4-x）lt;4]，令[F（x）=f（x）+f（4-x）]，[1lt;xlt;2]，則[F′（x）=f ′（x）-f ′（4-x）=（1-x）e2-x-ex-2（x-3）]，令[h（x）=（1-x）e2-x-ex-2（x-3）]，[1lt;xlt;2]，則[h'（x）=e2-x（x-2）-ex-2（x-2）=（x-2）（e2-x-ex-2）]，因為[1lt;xlt;2]，所以[x-2lt;0]，[e2-x-ex-2gt;0]，所以[h'（x）lt;0]，即[h（x）]在（1，2）上單調遞減，則[h（x）gt;h（2）=0]，即[F'（x）gt;0]，所以[F（x）]在（1，2）上單調遞增，所以[F（x）lt;F（2）=2f（2）=4]，即當[1lt;xlt;2]時， [f（x）+f（4-x）lt;4]，所以原命題成立。

一般地，對稱化構造函數常有下列兩種情形：（1）對結論[x1+x2gt;2x0]的類型，構造函數[F（x）=f（x）-f（2x0-x）]；（2）對結論[x1x2gt;x20]的類型，構造函數[F（x）=f（x）-f x20x]，通過求導研究[F（x）]的單調性獲得不等式。

導函數多變量問題是高中數學中的難點和重點。在處理這類問題時，韋達定理消元、齊次化處理、放縮法、主元法及單調性分析法、對稱化構造函數等方法各有優勢、相互補充，共同構成了解決導函數多變量問題的有效工具庫。掌握并靈活運用這些方法，能實現多變量到單變量的有效轉化，顯著提升學生解決復雜導函數問題的能力。同時，這些方法不僅適用于導函數多變量問題，還可以推廣到其他數學問題，幫助學生提升解題能力和數學素養。

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（責任編輯" " 黃春香）