巧用中點構造輔助線

中點是初中幾何中特殊的點，當已知條件中出現中點時，我們可以聯想到三角形的中線、三角形中位線、直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形“三線合一”等一些特殊的線段，由特殊的線段再聯想到特殊的圖形，進而解題. 因此，掌握與中點有關的輔助線添加方法對解決初中幾何問題有著重要作用. 下面舉例說明.

一、倍長中線法

例1 如圖1，在△ABC中，AB = 10， AC = 6， AD是BC邊上的中線，求AD的取值范圍.

解：如圖2，延長AD至點E，使得ED = AD，連接BE.

在△BDE和△CDA中，

BD = CD，∠BDE = ∠CDA，ED = AD，

∴△BDE ≌ △CDA，∴BE = AC = 6.

∵AB - BE lt; AE lt; AB + BE，∴10 - 6 lt; AE lt; 10 + 6.

又∵AD = [12]AE，∴2 lt; AD lt; 8.

二、倍長類中線法

例2 如圖3，在△ABC中，AD為∠A的平分線，M為BC的中點，AD[?]ME. 求證：BE = CF = [12]（AB + AC）.

證明：如圖4，延長FM至點G，使得GM = FM，連接BG.

在△BMG和△CMF中，BM = CM，∠BMG = ∠CMF，FM = GM，

∴△BMG ≌ △CMF（SAS），∴∠G = ∠CFM，BG = CF.

∵AD[?]EM，∴∠BAD = ∠E，∠DAF = ∠EFA.

∵∠BAD = ∠DAF，∴∠E = ∠EFA，∴AE = AF.

∵∠AFE = ∠CFM，∴∠E = ∠CFM，

∴∠G = ∠E，∴BE = BG = CF，

∴AB + AC = AB + AF + FC = AB + AE + BE = BE + BE = 2BE，

∴BE = CF = [12]（AB + AC）.

三、構造直角三角形斜邊上的中線

例3 如圖5，在△ABC中，BD和CE均為高線，點M是BC的中點，點N是DE的中點. 求證：MN ⊥ DE.

證明：如圖6，連接EM，DM.

∵點M是BC的中點，

∴在Rt△BEC中，EM = [12]BC；

在Rt△BDC中，DM = [12] BC，

∴EM = DM，

又∵ EN = ND，∴MN ⊥ DE.

四、構造三角形中位線

例4 如圖7，在△ABC中，F是BC邊的中點，D是AC邊上一點，E是AD的中點，連接FE并延長，交BA的延長線于點G. 若AB = DC = 10，∠FEC = 60°，求EF的長度.

解：如圖8，連接BD，取BD的中點H，連接EH，FH.

∵點E是AD的中點，H是BD的中點，

∴EH是△ABD的中位線，

∴ EH = [12]AB.

同理，FH是△BCD的中位線，∴FH = [12]CD.

又∵ AB = CD，∴EH = FH，

∴∠HEF = ∠HFE.

又∵FH是△BCD的中位線，

∴ FH [?] CD，∴∠HFE = ∠FEC = 60°，

∴△EFH是等邊三角形，∴EF = EH = [12]AB = 5.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：5分鐘

1. 已知：如圖9，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE = ∠CDE.

求證：AB = CD.

2.如圖10，CE是△ACD的中線，B是AD的延長線上一點，BD = AC，∠ACD + ∠CDB = 180°. 求證：BC = 2CE.

[B][圖9] [D][A][E][C][圖10] [C][A][E][D][B]

難度系數：★★★★ 解題時間：8分鐘

3. 如圖11，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D為AB中點，點E在直線BC上（點E不與點B，C重合），連接DE，過點D作DF ⊥ DE，交直線AC于點F，連接EF. 若AC = 5，BC = 3，EC = 1，則線段AF的長為 ." " （答案見本頁）

（作者單位：大連市東港第一中學）

答案速遞

第32頁：1. 201°

第33頁：2. （1）[∠D=30°]；（2）[∠D=12]（∠M + ∠N - 180°）．

3. （1）∠AOC = ∠A + ∠C + ∠P；（2）[∠P=12]（∠B + ∠D） = 38°；

（3）[∠P=90°+12]（∠B + ∠D）；（4）[∠P=180°-12]（∠B + ∠D）.

第36頁：1. （1）20，y = -[34x+12]；（2）OC的長為6.

2. （1）y = -2x + 2，B（0，2）；（2）（1 + [5]，0）或（1 - [5]，0）或（-1，0）.

3. （1）y = [34x+5]. （2）當點E落在OC的垂直平分線上時，OD = [1033]；當點E落在OA的垂直平分線上時，OD = 25 - 5[21].

第38頁：1.略

第39頁：2.略 3. [115]或1.

第41頁：1.原式 = x - 1，當x = 3時，原式 = 2.

2.原式 = [x2-2x-1x]，當x = 2時，原式 = -[12].

3.原式 = [2x-4x+1]，當x = 2時，原式 = 0.

4.原式 = [1x-2]，當x = 1時，原式 = -1.