基于彭羅斯鋪砌的數字藝術圖形生成算法

關鍵詞：數字藝術圖形；準規則斑圖；彭羅斯鋪砌

中圖分類號：TP311.1 文獻標志碼：A

0引言（Introduction）

采用計算機方法生成的數字藝術圖形能夠為藝術家和設計師提供無窮無盡的創作素材與設計靈感，有效地解決了傳統設計中存在的設計資源缺乏、設計效率低下且有可能引發版權糾紛等問題。盡管當前熱門的AIGC（人工智能自動生成內容）技術能夠高效地生成藝術圖形作品，但是傳統數字藝術圖形生成方法不依賴于訓練數據而推陳出新的特點使其仍具有活力。這些方法包括形狀語法、分形幾何、動力系統及其準規則斑圖等。形狀語法應用形狀規則，例如形狀的合并與分割，以及多種變換手法，實現豐富幾何圖案的構造。分形幾何和動力系統作為歷史較久的研究領域應用廣泛，產生了如逃逸時間法和軌道陷阱法等多種方法。這些方法均可高效地創作出各種風格的圖形素材，但受限于模型的特性，若想直觀且靈活地控制生成的圖形則較為困難。準規則斑圖是一種基于弱混沌理論生成的一類非線性圖形，不僅具有復雜多變、紋樣形式感強、富有美感等特點，而且還具有較高的可控性和靈活性，便于人們根據自己需求，方便地控制圖形的形態、顏色和紋理。然而，其整體空間結構缺少變化，空間布局的對稱性較為單調。為此，研究者們探索了基于鋪砌結構的數字藝術圖形生成方法，如基于非周期性鋪砌與周期性鋪砌的動力系統圖形，以及基于周期性鋪砌的準規則斑圖等方法。

本文結合彭羅斯鋪砌結構探索一種基于準規則斑圖的數字藝術圖形生成方法。彭羅斯鋪砌作為一種重要的非周期性鋪砌結構，其具有的反射對稱性和五重旋轉對稱性所生成的空間結構極具視覺吸引力，為生成的準規則斑圖的形成提供了豐富的空間結構。與傳統方法相比，該方法不僅提供了一種新的數字藝術圖形生成手段，而且具備了準規則斑圖的優點，能夠滿足不同場景下的藝術設計需求。

1彭羅斯鋪砌（Penrose tiling）

歐幾里得平面中的鋪砌T由一組內部封閉的鋪砌塊T={T₁，T₂，…）組成，并且滿足以下兩個條件：一是不同的鋪砌塊之間不相交；二是所有鋪砌塊可以鋪滿整個歐幾里得平面。如果T中的任意鋪砌塊與P中的鋪砌塊全等，則集合P稱為T的原始集。如果一個鋪砌T不具備平移對稱性，則稱其為非周期性鋪砌。如果一個原始集僅允許非周期性鋪砌，則被稱為非周期性原始集。其中，彭羅斯鋪砌是一種研究最為廣泛的非周期性鋪砌。

1.1風箏形和飛鏢形

風箏形和飛鏢形原始集如圖1所示，一個彭羅斯非周期性原始集P可以由風箏形和飛鏢形組成，這兩種形狀分別表示為兩條邊長為1和兩條邊長為τ=（√5 +1）／2的四邊形。

如果沿著風箏形或者飛鏢形的對稱軸切開，就會得到兩個A鋪砌塊或者B鋪砌塊，分別如圖2（a）和圖2（d）所示，它們的每個頂點都標有一個小實心圓或空心圓，連接兩個同類圓的單色邊是有方向的。彭羅斯鋪砌的匹配規則如下：一是相同長度的邊必須放在一起；二是頂點圓的類型必須相同；三是相鄰鋪砌塊的單色邊必須朝向同一個方向。

1.2替換算法

替換法是構造彭羅斯鋪砌的一種經典方法。其中，鋪砌塊τA和鋪砌塊τB的替換規則分別如圖2（b）和圖2（e）所示，其中鋪砌τA塊由兩個A鋪砌塊和一個B鋪砌塊組成，而鋪砌塊τB由一個A鋪砌塊和一個B鋪砌塊組成。將鋪砌塊T的n級超級鋪砌塊命名為S，例如圖2（b）、圖2（c）、圖2（e）和圖2（f）分別是鋪砌塊A和鋪砌塊B的一級和二級超級鋪砌塊。

相同準規則斑圖模型、不同參數q生成的美學圖案如圖8所示。彭羅斯鋪砌參數設置為D={0，1.07，0.5，0.07，0.5，1.5}，準規則斑圖模型如公式（8）所示，圖8（a）、圖8（b）、圖8（c）的參數q分別為3、5、7。

不變映射的存在，導致圖案變化差異不大，但是仍然可以看出準規則斑圖模型以及參數q決定了圖案的紋理特征和整體美感。歸功于準規則斑圖的靈活性和豐富性，本文提出的方法生成的圖形具有豐富的紋理。并且，由于準規則斑圖模型的可控性強，所以用戶可以通過調整參數實現對圖案的精細調節，從而滿足不同場景下的設計需求和目標。

3.3對比實驗

圖9展示了基于周期鋪砌的動力系統圖形，圖10展示了基于非周期鋪砌的動力系統圖形，圖11展示了使用本文提出的方法生成的美學圖案。與圖9進行對比可以看出，相較于規則鋪砌，彭羅斯鋪砌在結構上更加靈活多樣，并具有反射對稱性和五重旋轉對稱性，因此生成的空間結構更加富有美感和視覺吸引力。與圖10進行對比可以看出，準規則斑圖的生成過程更加穩定和可靠，由于其不受初始條件微小變化的影響，因此生成的圖案更具穩定性，能夠保持所需的美學特征。

4結論（Conclusion）

本文提出了一種將彭羅斯鋪砌結構與準規則斑圖著色相結合的數字藝術圖形生成方法。該方法利用彭羅斯鋪砌作為圖形的空間結構，同時通過構造不變映射進行彭羅斯鋪砌約束下的準規則斑圖生成。實驗結果表明，該方法具有良好的圖形可控性，用戶能夠靈活地控制生成圖形的效果，得到的圖形不僅展現出準規則斑圖的精妙構造和復雜紋理，還呈現出彭羅斯鋪砌獨特的對稱性和美感，為數字藝術圖形的生成提供了一種新的思路。