數(shù)學(xué)抽象能力的表現(xiàn)水平劃分與進(jìn)階條件探索

【摘" "要】數(shù)學(xué)抽象能力主要包括數(shù)感、量感、符號意識(shí)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)。以“長方形面積公式”抽象為例，分別以不斷改進(jìn)的三種學(xué)習(xí)路徑為干預(yù)條件，研究了相應(yīng)條件下數(shù)學(xué)抽象能力的表現(xiàn)水平劃分，得到了表現(xiàn)水平的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)?？偨Y(jié)其條件是五次度量和二維抽象，關(guān)鍵在于用核心概念、基本原理與方法統(tǒng)領(lǐng)新知探索、釋疑解難的全過程，凸顯知識(shí)建構(gòu)的整體性與一致性。在干預(yù)條件不足時(shí)，穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)具有可變性，即一個(gè)表現(xiàn)水平將分化為若干個(gè)水平，進(jìn)而提出展開表現(xiàn)水平劃分與進(jìn)階條件研究以及促進(jìn)進(jìn)階的教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】表現(xiàn)水平；關(guān)鍵能力；數(shù)學(xué)抽象能力；長方形面積

一、引言

數(shù)學(xué)抽象能力主要包括數(shù)感、量感、符號意識(shí)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)。如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，需關(guān)注兩個(gè)基本問題：一是數(shù)學(xué)抽象是如何逐步形成的，具體有哪些不同的發(fā)展水平？二是如何促進(jìn)水平進(jìn)階，其條件和策略是什么？本研究選取“長方形面積公式”抽象過程作為研究對象。研究中區(qū)分了兩種不同性質(zhì)的抽象：一種是量性抽象，即通過對具體數(shù)量的抽象，從而得到結(jié)論。如通過用1平方厘米作為度量單位來測量不同整厘米長、寬的長方形面積，抽象出結(jié)論。另一種是質(zhì)性抽象，即通過對不同類型的數(shù)學(xué)問題或同一問題下的不同情境的抽象，從而得到結(jié)論?！伴L方形面積公式”的抽象過程應(yīng)包含量性抽象和質(zhì)性抽象這兩個(gè)階段。

本內(nèi)容的教學(xué)，實(shí)質(zhì)上是運(yùn)用面積、面積單位、度量等核心概念和基本方法解決長方形面積的計(jì)算問題，即從用面積單位度量長方形面積的活動(dòng)中，抽象出一行擺幾個(gè)、擺幾行以及與長、寬之間的關(guān)系，從而得到計(jì)算公式及其特例和適用條件。其中包括三個(gè)子問題：①長方形面積的計(jì)算公式及算理。②正方形面積的計(jì)算公式及算理。③公式的適用條件，包括長、寬單位要統(tǒng)一的原因。

解決子問題①，首先需要確定相關(guān)變量，即長方形的面積與哪些因素有關(guān)。其次要研究變量之間的關(guān)系，即通過抽象得到公式。

解決子問題②，有兩條路徑：一是利用正方形是特殊的長方形，通過從一般到特殊的推理得出公式；二是用面積單位度量，通過抽象得到公式。從教學(xué)實(shí)踐來看，許多學(xué)生尚未理解從一般到特殊的推理過程。盡管教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)正方形是特殊的長方形，但學(xué)生仍然固執(zhí)地認(rèn)為正方形與長方形是不同的圖形——長方形鄰邊長度不相等，而正方形鄰邊長度相等。因此，面積的計(jì)算方法也應(yīng)當(dāng)不同。教學(xué)中應(yīng)同時(shí)采用這兩條路徑，以相互印證，滿足不同認(rèn)知水平學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

解決子問題③，可以從兩方面入手：一是在解決前兩個(gè)問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生理解長、寬單位與面積單位的一致性，但這種方法往往難以留下深刻印象；二是通過反例辨析來理解一致性，這種方法更容易給學(xué)生留下深刻印象。以問題“長方形的長3米、寬20分米，它的面積是多少”為例，如果將20分米轉(zhuǎn)換為2米，可以用1平方米來度量面積，得到3×2=6（平方米）；如果將3米轉(zhuǎn)換為30分米，可以用1平方分米來度量面積，得到30×20=600（平方分米）；如果直接列出3×20=60，就必須用長1米、寬1分米的長方形作單位進(jìn)行度量，而數(shù)學(xué)中并不存在這樣定義的面積單位。根據(jù)對54位教師的調(diào)查結(jié)果顯示，大多數(shù)教師并未深入思考為什么要統(tǒng)一長、寬單位，而是普遍采用直接告知并反復(fù)強(qiáng)調(diào)的方法進(jìn)行教學(xué)。

筆者根據(jù)上述三個(gè)子問題的分析，對國內(nèi)現(xiàn)行各版本教材的處理情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，具體情況如表1所示。

除了滬教版教材將教學(xué)內(nèi)容安排在三年級上冊外，其他版本教材都安排在三年級下冊。關(guān)于子問題①，各版本教材都采用了基于1平方厘米度量得出公式的方法。其中，滬教版教材采用先認(rèn)識(shí)1平方厘米導(dǎo)出公式，再認(rèn)識(shí)1平方米再次導(dǎo)出公式的方法，旨在實(shí)現(xiàn)從量性抽象到質(zhì)性抽象的過渡。子問題②的處理主要采用演繹推導(dǎo)，北師大版教材采用了兩種方法。蘇教版、北京版教材出現(xiàn)了字母公式。子問題③普遍被忽視，僅在相關(guān)習(xí)題和配套作業(yè)本中出現(xiàn)，但未進(jìn)行深入辨析。這樣處理的效果如何？如何更好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的發(fā)展？這些問題需要進(jìn)一步研究。

二、研究設(shè)計(jì)

（一）研究對象

本研究基于三年級第一學(xué)期學(xué)生的學(xué)業(yè)測試情況，選取杭州市上城區(qū)3所小學(xué)6個(gè)班的三年級第二學(xué)期學(xué)生為研究對象，分為A、B、C三組，每組包含2個(gè)班級，分別有64、68、70名學(xué)生。實(shí)驗(yàn)前，對三個(gè)組的學(xué)生進(jìn)行了前測，試題內(nèi)容分為兩部分：一是已學(xué)知識(shí)的掌握情況，包括面積與面積單位的認(rèn)識(shí)、面積單位的換算與應(yīng)用、用1平方厘米度量圖形面積；二是對新知識(shí)的了解情況，包括長方形面積的相關(guān)變量、公式及其推導(dǎo)方法。對兩部分的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果顯示三組研究對象在統(tǒng)計(jì)學(xué)上無顯著性差異。

（二）研究步驟

研究的具體步驟如圖1所示。

（三）問卷及數(shù)據(jù)收集

后測試題①長方形的面積大小與它的什么有關(guān)？②一個(gè)長、寬單位同為厘米的長方形面積計(jì)算并說明理由。③表格呈現(xiàn)幾組長、寬同為整厘米的長方形（最后一組長a厘米、寬b厘米）面積計(jì)算并說明為什么都可以這樣算。④長、寬同為整分米的長方形面積計(jì)算并說明理由。⑤長、寬同為整米的長方形面積計(jì)算并說明理由。⑥選擇并說理：邊長為整厘米的正方形面積計(jì)算并說明理由（與周長計(jì)算作比較）。⑦選擇并說理：長、寬單位不統(tǒng)一的長方形面積計(jì)算并說理辨析正誤。⑧對用字母表示的面積公式的理解。

測試以紙筆形式為主并輔以訪談，各題答題正確率如表2所示。答題正確是指筆試或口答正確、指出錯(cuò)誤或存在問題（如指出不能用面積公式作為為什么這樣列式的理由等，但不做進(jìn)一步的提示或引導(dǎo)）后回答正確。第⑦題能說明統(tǒng)一長、寬單位的兩種情形可用相應(yīng)面積單位度量即視為正確。第⑧題能回答a、b的長度單位需統(tǒng)一，用相應(yīng)的面積單位一行擺a個(gè)，擺b行即視為正確。

三、水平劃分與結(jié)果分析

（一）A組干預(yù)條件下的水平劃分與結(jié)果分析

1.干預(yù)條件

主要按人教版教材的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行教學(xué)。

（1）任務(wù)一：計(jì)算長5厘米、寬3厘米的長方形面積。

用1平方厘米的小正方形進(jìn)行度量，求得長方形的面積。

（2）任務(wù)二：任取幾個(gè)邊長為整厘米的長方形，用1平方厘米的小正方形擺一擺，并在操作過程中填寫表格。

探究長方形面積與長、寬之間的關(guān)系，并推導(dǎo)出相應(yīng)的公式。

引入公式的字母表示：根據(jù)出現(xiàn)字母公式的兩個(gè)版本教材進(jìn)行教學(xué)，教師建議用S表示長方形的面積，a表示長，b表示寬，學(xué)生則用S=a×b來表示長方形面積公式。

（3）任務(wù)三：測量所需數(shù)據(jù)，計(jì)算兩個(gè)長方形的面積。

其中一個(gè)為正方形，展示學(xué)生兩種算法：一是邊長乘4，二是邊長×邊長。學(xué)生通過推理和操作度量來辨析兩種方法，并解釋面積公式。

（4）任務(wù)四：解決簡單的實(shí)際問題。補(bǔ)充長、寬單位不統(tǒng)一的長方形面積計(jì)算的問題，反饋學(xué)生各種解法，部分學(xué)生認(rèn)為需要先統(tǒng)一長、寬單位再進(jìn)行計(jì)算，教師對此表示肯定并強(qiáng)調(diào)。

2.水平劃分

根據(jù)后測數(shù)據(jù)，在A組的干預(yù)條件下，能力表現(xiàn)水平可作如下劃分。

水平1：變量感悟。知道長方形面積大小與長、寬有關(guān)。對應(yīng)后測第①題。

水平2：操作感知。知道可以用1平方厘米度量長、寬為整厘米的長方形面積，并感知一行個(gè)數(shù)、行數(shù)與長方形長、寬之間的關(guān)系。對應(yīng)后測第②題。

水平3：表象遷移。借助1平方厘米操作度量的表象，想象用1平方分米、1平方米度量相應(yīng)長、寬單位的長方形面積，并感悟一行個(gè)數(shù)、行數(shù)與長方形長、寬之間的關(guān)系。對應(yīng)后測第④題和第⑤題。

水平4：量性抽象。從用1平方厘米度量長方形面積的操作中抽象出一般關(guān)系，并用字母表示，解釋其合理性。對應(yīng)后測第③題。

水平5：質(zhì)性抽象。將基于1平方厘米度量抽象得到的一般關(guān)系應(yīng)用于新情境（用平方分米、平方米等面積單位度量），解釋其合理性，驗(yàn)證其普適性。對應(yīng)后測第⑧題。

水平6：系統(tǒng)表征。能夠根據(jù)面積和面積單位的意義，對算法的合理與否進(jìn)行統(tǒng)一說明。對應(yīng)全部后測第①～⑧題。

3.結(jié)果分析

統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，能夠?qū)⒂?平方厘米度量長、寬為相應(yīng)長度單位的長方形面積的經(jīng)驗(yàn)，自然遷移運(yùn)用于長、寬單位同為分米、米的長方形面積的人數(shù)不超過50%，這與預(yù)期相去甚遠(yuǎn)。可以推測，如果在課堂上用處理長、寬同為整厘米的長方形面積的方式處理長、寬為整分米、整米的長方形面積，那么，第②題、④題、⑤題應(yīng)該有大致相同的正確率，同時(shí)第③題、⑧題的正確率也應(yīng)有所提升。然而，這種教學(xué)方法未能充分利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的遷移，導(dǎo)致課堂教學(xué)效率低下。建議優(yōu)先考慮利用基于1平方厘米操作度量的表象，通過想象用1平方分米、1平方米度量相應(yīng)長、寬單位的長方形面積來進(jìn)行教學(xué)。同時(shí)，進(jìn)一步加強(qiáng)子問題②③的教學(xué)，并嘗試改變字母公式教學(xué)中用字母直接替換文字的教法，滲透用字母表示數(shù)，從而促進(jìn)早期代數(shù)思維的發(fā)展。

（二）B組干預(yù)條件下的水平劃分與結(jié)果分析

1.干預(yù)條件

按照新的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行教學(xué)。

（1）任務(wù)一：長方形面積與它的什么有關(guān)？

學(xué)生指出與長、寬有關(guān)，并說明理由。教師通過課件演示：當(dāng)寬不變時(shí)，長的變化引起面積變化，反之亦然。

給出一個(gè)長方形及長、寬整厘米數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生猜想面積計(jì)算方法。

（2）任務(wù)二：給出三個(gè)長、寬為整厘米的長方形，引導(dǎo)學(xué)生用1平方厘米進(jìn)行度量。在操作過程中填寫表格。

發(fā)現(xiàn)一行個(gè)數(shù)、行數(shù)與長、寬之間的關(guān)系，進(jìn)而給出長方形長a厘米、寬b厘米，解釋一行擺a個(gè)，擺b行，得出公式。

（3）任務(wù)三：同A組任務(wù)三。增加用面積單位度量正方形面積的課件演示。

（4）任務(wù)四：計(jì)算長、寬分別同為分米、米的兩個(gè)長方形面積。

學(xué)生通過猜想方法計(jì)算，通過表象操作度量說明算法的合理性，并輔以課件演示度量過程。給出一個(gè)用字母a、b表示的長、寬同為分米、米的長方形面積，解釋一行擺a個(gè)面積單位，擺b行，經(jīng)量性抽象分別得出公式。進(jìn)而綜合三種情況，通過質(zhì)性抽象得出公式。

（5）任務(wù)五：練習(xí)拓展。涵蓋長、寬單位不統(tǒng)一的長方形面積計(jì)算，反饋時(shí)呈現(xiàn)學(xué)生各種解法，借助表象操作度量辨析其合理性和不合理性，輔以課件演示度量過程。

2.水平劃分

根據(jù)后測數(shù)據(jù)，在B組的干預(yù)條件下，能力表現(xiàn)水平可作如下劃分。

水平1：變量感悟。

水平2：操作感知。

水平3：表象遷移。

水平4：抽象表征。通過量性抽象和質(zhì)性抽象得到計(jì)算公式，解釋其合理性，驗(yàn)證其普適性。對應(yīng)后測第③題和第⑧題。

水平5：系統(tǒng)表征。

3.結(jié)果分析

教學(xué)凸顯了核心概念、基本原理與方法在知識(shí)建構(gòu)中的整體性和一致性，將面積單位度量作為探索新知、釋疑解難的根本貫穿始終。相較于A組干預(yù)條件下的兩次度量——一次用1平方厘米的實(shí)物操作度量和一次源于課堂生成的表象操作度量（正方形面積），B組干預(yù)條件下的五次度量——一次用1平方厘米的實(shí)物操作度量和四次表象操作度量+演示，顯著強(qiáng)化了學(xué)生從核心概念、基本原理與方法出發(fā)解決問題的意識(shí)，整體上顯著提高了后測的正確率。在長方形面積公式三次量性抽象的基礎(chǔ)上，順利達(dá)成質(zhì)性抽象，使A組干預(yù)條件下的水平4和水平5合并為一個(gè)水平。盡管本研究的三個(gè)學(xué)習(xí)路徑都采用了先量性抽象再質(zhì)性抽象的設(shè)計(jì)，但并不排斥先質(zhì)性抽象后量性抽象的設(shè)計(jì)，如先分別用1平方厘米、1平方分米、1平方米度量長、寬分別為3、4的相應(yīng)長度單位的三個(gè)長方形，進(jìn)行質(zhì)性抽象，然后換成其他長寬數(shù)據(jù)逐步達(dá)成量性抽象。既然這是兩種等價(jià)的路徑設(shè)計(jì)，那么，兩個(gè)水平合而為一也是合理的。

從后測數(shù)據(jù)看，第②題、④題、⑤題的正確率仍然存在較大差距，對于能力較弱的學(xué)生來說，繼續(xù)加強(qiáng)表象操作度量可能難以取得明顯的效果，需要進(jìn)一步增加實(shí)物操作度量，應(yīng)優(yōu)先考慮增加用1平方分米的實(shí)物操作度量，因?yàn)閷Υ蠖鄶?shù)學(xué)校老師來說用1平方米度量的學(xué)具準(zhǔn)備、場地安排均有諸多的不便。

（三）C組干預(yù)條件下的水平劃分與結(jié)果分析

1.干預(yù)條件

在B組干預(yù)條件的基礎(chǔ)上，將任務(wù)四中用1平方分米的表象操作度量改為對課桌桌面、書包柜門面積的實(shí)物操作度量，其余不變。

2.水平劃分

根據(jù)后測數(shù)據(jù)，在C組的干預(yù)條件下，能力表現(xiàn)水平可作如下劃分。

水平1：變量感悟。

水平2：具體表征。通過用1平方厘米、1平方分米、1平方米操作度量長、寬單位分別同為厘米、分米、米的長方形面積，感悟一行個(gè)數(shù)、行數(shù)與長方形長、寬之間的關(guān)系。對應(yīng)后測第②題、④題、⑤題。

水平3：抽象表征。

水平4：系統(tǒng)表征。

3.結(jié)果分析

增加實(shí)物操作度量顯著提高了大多數(shù)問題的正確率，第②題、④題、⑤題的差距顯著縮小，使B組干預(yù)條件下的水平2和水平3合并為一個(gè)水平。

在學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)中，“長方形面積公式”抽象還將向兩個(gè)方向發(fā)展：一是抽象表征進(jìn)一步發(fā)展成形式表征，如S=a×b，長為a個(gè)單位，寬為b個(gè)單位，面積為a×b個(gè)平方單位；二是系統(tǒng)表征進(jìn)一步拓展，如用長方形面積直觀表征數(shù)量關(guān)系（如路程=速度×?xí)r間等），發(fā)展幾何直觀，將其他問題轉(zhuǎn)化為長方形面積問題，促進(jìn)問題解決。

四、研究的結(jié)論與建議

（一）研究結(jié)論

1. 能力表現(xiàn)水平具有穩(wěn)定性

在研究設(shè)定的A、B、C組干預(yù)條件下，觀察到不同的表現(xiàn)水平。其中，C組干預(yù)條件下的表現(xiàn)水平顯示出一定的穩(wěn)定性。然而，如果干預(yù)條件不充分，這種穩(wěn)定性可能會(huì)出現(xiàn)分化，正如A、B組干預(yù)條件下展現(xiàn)的表現(xiàn)水平。

2. 不同能力發(fā)展水平的學(xué)生需要不同的進(jìn)階條件

以A組干預(yù)條件為例，部分學(xué)生能夠自主地將用1平方厘米度量長方形面積的經(jīng)驗(yàn)，遷移運(yùn)用于度量整分米、整米為單位的長方形面積上。而其他學(xué)生則需要進(jìn)一步的教學(xué)干預(yù)，如B組干預(yù)條件下的表象操作度量+演示，才能實(shí)現(xiàn)遷移。還有部分學(xué)生需要多次的實(shí)物操作度量來實(shí)現(xiàn)遷移。

（二）建議

1. 對于表現(xiàn)水平劃分的研究建議

研究應(yīng)致力于不斷優(yōu)化進(jìn)階條件，以揭示穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。應(yīng)尋求大多數(shù)學(xué)生能夠達(dá)到的能力表現(xiàn)水平，并探索促進(jìn)大多數(shù)學(xué)生能力水平進(jìn)階的條件。在尋求條件時(shí)，應(yīng)特別考慮實(shí)際情況，如大多數(shù)學(xué)校的教師在用1平方米度量長方形面積時(shí)可能會(huì)面臨學(xué)具準(zhǔn)備和場地限制等問題。這樣的研究成果則更容易被一線教師采納。

2. 對教材編寫與教學(xué)的建議

教材編寫和教學(xué)應(yīng)注重核心概念、基本原理與方法的整合，以確保知識(shí)建構(gòu)的整體性與一致性。例如，本內(nèi)容教學(xué)的本質(zhì)是用面積單位度量解決長方形面積計(jì)算問題，因此，應(yīng)突出這一方法作為解決三個(gè)子問題的基本手段，幫助學(xué)生養(yǎng)成從源頭上思考解決問題方法的意識(shí)和習(xí)慣。教學(xué)中，應(yīng)安排兩次實(shí)物操作度量，為能力較弱的學(xué)生提供更好的發(fā)展機(jī)會(huì)，鞏固具體表征。通過量性抽象和質(zhì)性抽象，促進(jìn)抽象表征的發(fā)展。通過表象操作度量提升空間想象能力，以提高教學(xué)效率。通過正方形面積計(jì)算和統(tǒng)一單位的多種方法辨析，發(fā)展學(xué)生的審辯思維能力，促進(jìn)系統(tǒng)表征的發(fā)展。此外，教材編寫不一定要出現(xiàn)字母公式，但教師在教學(xué)時(shí)可以根據(jù)班級實(shí)際情況適當(dāng)滲透。

（1.浙江省杭州天地實(shí)驗(yàn)小學(xué)"2.浙江省杭州市高銀巷小學(xué)）