考慮結晶器在線調寬澆次計劃的改進蟻群算法

摘要：針對煉鋼連鑄調度中的澆次計劃編制問題，結合結晶器在線調寬技術，以最小化加權成本（包括澆次間爐次切換成本、連鑄機停機成本和結晶器在線調寬成本）為目標對傳統模型進行改進，建立了新的澆次計劃編制模型。同時，借鑒車輛路徑問題的優化思路構建了改進的蟻群算法，算法設計了節點排序規則和節點選擇規則，并引入獎懲因子和分位參數提高搜索廣度和適應性。最后，利用實際生產數據驗證了模型及算法的有效性。

關鍵詞：煉鋼連鑄；澆次計劃；蟻群算法；車輛路徑問題；獎懲因子

中圖分類號：TP391.9

An Improved Ant Colony Algorithm for Cast Plan Considering Online-width-adjustment Technology of Crystallizers

LI Yiren^1，2 WANG Bailin^1，2 YUAN Shuaipeng^1，2* LI Tieke^1，2 WANG Yang^1，2

1.School of Economics and Management，University of Science and Technology Beijing，Beijing，100083

2.Engineering Research Center of MES Technology for Iron amp; Steel Production Ministry ofEducation，Beijing，100083

Abstract： Aiming at the problems of cast planning in steelmaking-continuous casting scheduling， integrating the online width adjustment technology for the mold，with the objective of minimizing the weighted cost（including the furnace switching cost between heats， downtime cost for the continuous caster， and the online width adjustment cost for the mold）， the traditional model was improved， resulting in the development of a new cast planning model. Meanwhile， inspired by the optimization approach used in the vehicle routing problem， an improved ant colony algorithm was proposed. The algorithm included node sorting and selection rules， and the reward-punishment factors and quantile parameters were incorporated to enhance the search breadth and adaptability. Finally， the effectivenesses of the proposed model and algorithm were validated by using real production data.

Key words： steelmaking-continuous casting; cast plan; ant colony algorithm; vehicle routing problem; reward and punishment factor

0 引言

鋼鐵工業是制造強國建設的重要基石。煉鋼連鑄作為鋼鐵生產的核心階段，其作業計劃和調度方案的優劣對企業提質增效至關重要。在煉鋼連鑄生產過程中，高溫鋼水需以爐次為單位組織生產和調度^［1］。其中，澆次計劃是在滿足工藝約束和交貨期要求的前提下，盡可能將多爐次組合成一個澆次進行連續澆鑄，并確定各個澆次內爐次的加工順序，使得澆次數量、連澆的爐次間懲罰費用及未被選爐次最少^［2］。深入研究澆次計劃的編制問題對優化鋼鐵生產過程、提高生產效率具有極其重要的實用價值^［3］。

澆次計劃編制問題的研究主要分為兩大類：一是在已知澆次數量的前提下，以爐次間產生的成本最低為目標；二是在澆次數未知的前提下，以最小澆次數為目標。針對第一類問題，唐立新等^［4］在假設爐次全部組澆的基礎上，構建了以爐次間懲罰費用最小為目標的最優澆次計劃模型，并用遺傳算法進行求解。WANG等^［5］以最大化鑄機生產效率和相鄰板坯尺寸變化的懲罰值為目標，構建了多目標混合整數線性規劃模型，提出了一種嵌套變鄰域搜索的快速非支配排序遺傳算法。崔志華等^［6］在澆次數已知的前提下，以爐次差異產生的成本最小為目標構造了數學模型，并設計了基于禁忌搜索的遺傳算法。薛云燦等^［7］將澆次計劃編制問題轉化為旅行商問題，以懲罰費用最小為目標構建了一種改進的粒子群算法。針對第二類問題，SOO等^［8］針對板坯在連鑄機上的批次分組問題構建了以最小澆次數為目標的整數規劃模型，并采用列生成方法進行求解。李巖等^［9］在已有研究的基礎上增加了板坯厚度和交貨期約束，以澆次數量最小為目標構建了澆次計劃模型，并通過仿真軟件進行了求解。唐立新等^［10］在澆次數未知的基礎上，以爐次間總懲罰費用、連鑄機開澆費用和爐次未排入計劃的懲罰費用總和最小為目標構建了澆次計劃優化模型，并設計了啟發式算法進行求解。李崇等^［11］以懲罰費用最小為目標分別建立了訂單分組模型和澆次排序模型，并設計了二階段啟發式算法對問題進行求解。易劍等^［12］針對連鑄計劃中的組中間包問題，以最小化中間包數、寬度變化次數和鋼種交接次數為目標構建了優化模型，并提出了一種混合優化算法。針對類似的問題，楊凡等^［13］構建了混合啟發式交叉熵算法對問題進行了求解。

上述文獻均假定同一澆次內的鑄坯寬度為定制，不能在線調整。對于考慮寬度柔性的澆次計劃編制問題，相關研究報道很少。馬天牧等^［14］在連鑄工藝生產的基礎上，以總懲罰費用最小為目標建立了基于寬度柔性的連澆計劃模型，并設計了兩層蟻群算法。楊凡等^［15］同樣考慮了爐次寬度柔性，且基于分解策略對問題進行求解。劉超等^［16］將澆次計劃編制問題抽象為帶約束條件的背包裝載問題，建立了一體化生產計劃排程的模型體系。

綜上，目前對考慮在線調寬技術澆次計劃編制問題的研究尚不充分，致使已有理論成果在實際的生產管理中存在較大的局限性^［17］。為此，本文針對考慮在線調寬的澆次計劃編制問題展開研究，以加權成本最小為目標構建了混合整數規劃模型，并將模型轉化為一類特殊的車輛路徑問題（vehicle routing problem，VRP）。根據問題特點設計了改進的蟻群優化算法，算法集成了爐次排序規則、基于序號的節點轉移規則和改進迭代策略，并通過對比實驗對算法有效性進行了驗證。

1 問題描述

澆次計劃在爐次計劃和交貨期信息已知的情況下根據工藝需求對爐次進行組合，并確定各澆次包含的爐次集合及澆鑄順序。澆次計劃編制涉及的工藝約束如下：①不同爐次之間的鋼級相同或相近；②板坯厚度必須一致；③板坯寬度在一定范圍內變化；④如果不同寬度的爐次組成同一澆次，則寬度需按非增順序排列且變化不能太大；⑤澆次中爐次的大小受中間包壽命影響；⑥爐次間的交貨期相近。但是，結晶器調寬作業通常采用離線手動和結晶器在線冷態調寬，前者在維修區域進行，后者則需要在連鑄機停澆后才能調整結晶器尺寸，因此，約束③提到的寬度變化在實際生產中往往是嚴格控制、不能改變的，對應到澆次計劃模型中會嚴格限定在同一澆次內的爐次應具有相同寬度。

結晶器在線熱調寬技術是世界板坯連鑄領域中的一項核心技術，可以在澆鑄狀態下在線改變澆鑄板坯的寬度，以滿足生產多種規格鑄坯的需要，這為多品種的批量化集中生產提供了有效途徑^［17］。對于結晶器在線調寬，同一澆次內需要考慮爐次寬度變化次數和寬度變化范圍兩個約束，此外，在線調寬可以有效優化停機成本、減少澆次數量，合理的澆次計劃可以進一步強化這種優化效果，因此，在考慮結晶器在線熱調寬技術的應用后，澆次計劃編制問題的約束和優化目標都產生了新的變化。

2 考慮在線調寬的澆次計劃模型

2.1 符號定義

為便于本文模型的建立，表1列出了相關參數和變量。

2.2 問題模型

本節建立了考慮結晶器在線調寬的澆次計劃模型，其表達式如下：

min f=∑Ij=1∑Ii=1（wsCsij+wdCdij+Cwij）Xi，j+

aN+b∑Nn=1Crn（1）

約束條件如下：

∑Ij=1∑Ii=1Xi，j≤1（2）

Xi，j+Xj，i≤1（3）

Crn=∑Ini=1∑Inj=1（（wi－wj）Xi.jgt;0）≤Crmax（4）

∑Nn=1In≤I（5）

∑Ini=1∑Inj=1|wi－wj|≤Wmax（6）

Csij =0" si=sj

Fssi和sj處于同一序列

∞si和sj不在一個序列（7）

Cdij=Fd1（di－dj）" di≥dj

Fd2（di－dj）dilt;dj（8）

Cwij=0" wi≥wj

∞wilt;wj（9）

式（1）為目標函數，即最小化加權成本，包括澆次間爐次切換成本、連鑄機停機成本和結晶器在線調寬成本；式（2）和式（3）為爐次順序約束，即每個爐次的前后僅有一個相鄰爐次，并且相鄰的爐次也是有順序的；式（4）為澆次內調寬約束，表示組成的澆次內寬度變化小于結晶器在線調寬最大限制；式（5）為澆次組成約束，表示組成的澆次內爐次數要在中間包壽命約束下小于最大爐次數；式（6）為組澆內寬度變化范圍；式（7）為鋼級變化成本，當同一澆次內相鄰兩個爐次鋼級不同且在同一序列時產生的成本為Fs；式（8）為交貨期約束成本；式（9）定義了同澆次內結晶器在線調寬的變化成本，當寬度非增變化時，變化成本為0，否則將其成本設為無窮大。

2.3 車輛路徑問題的轉化

由于澆次計劃編制問題能夠視為一類特殊的車輛路徑問題，故本節首先對車輛路徑問題進行簡單概述：給定一個或多個中心倉庫、一個車輛集合和一個顧客集合，每輛車都有自己的容量，顧客在空間任意分布，車從每一個顧客處接受貨物送到中心倉庫，以滿足所有顧客訂單下得到的總成本最小為最終目標。

圖1為節點模擬圖，共I個節點，每一個節點表示一個顧客（即本文問題中的爐次），中心倉庫為虛擬節點C，節點i到節點j的配送成本cij即澆次內爐次的更換成本；一輛車可以看作是一個澆次，假定車輛數為m（等價于澆次數n），澆次組成約束可以看作車輛的容量約束，一輛車的配送路徑就是一個澆次內的有序爐次集合，在線調寬可以看作是車輛在運行過程中的一類增加可配送顧客數而產生的成本消耗行為，記為P。這樣澆次計劃編制問題即可轉化為一類特殊VRP問題，目標為配送成本F最小，F的計算表達式如下：

F=∑cij+am+bP（10）

其中，a為每個車輛（澆次）的啟動成本系數，b為成本消耗行為（在線調寬）系數。

區別于傳統的VRP問題，由于澆次內爐次寬度存在非增約束，因此節點與節點之間的運輸成本不嚴格對稱，即節點i到節點j的運輸成本cij與節點j到節點i的運輸成本cji不一定相同。當節點i的爐次寬度小于節點j的爐次寬度時，cij=∞。由于中心倉庫為虛擬節點，當i或j為中心倉庫時，cij=0。

3 基于鄰域搜索的改進蟻群系統

蟻群算法（ant colony optimization，ACO）是一類群智能優化算法，通過模擬蟻群覓食行為實現問題的優化求解^［18］。螞蟻在覓食時會借助分泌物“信息素”尋找最短路徑，信息素會揮發，其濃度與路徑長短有關。ACO設置虛擬螞蟻對問題進行尋優，螞蟻各自尋找問題的答案并留下信息素，不斷重復，根據信息素濃度越大路徑轉移概率越大這一原則進行尋優。ACO通過正反饋進行尋優，具有較強的魯棒性，在路徑規劃問題的求解過程中有著巨大的優勢^［19］。本節基于ACO的優化特點和問題特征知識，設計了特殊覓食規則；為提高前期迭代效率，改進了信息素的更新策略和螞蟻的狀態轉移策略；為防止覓食規則影響求解空間導致結果陷入局部最優，在蟻群迭代后對算法的最優解通過2-sopt算法進行禁忌搜索，最終形成了改進蟻群系統（improved ant system，IAS），算法流程如圖2所示。

3.1 澆次計劃的編碼規則

車輛路徑問題為經典的組合優化問題，問題的核心和難點是車和節點的對應關系以及節點的配送順序（即決策變量Xi，j），針對此類特點，本節采用整數編碼的方式。蟻群中每只螞蟻的每一次尋優過程都可得到一個問題的可行解，問題中的I個配送節點（爐次）用I個不同的整數表示，虛擬中心倉庫用0表示，這樣每一個可行解可以用一個編碼長度為（N+I+1）的一維數組來表示。假定澆次總數N為2，客戶數I為5（即5個爐次）。圖3給出了一個具體的編碼示例，其中0表示虛擬節點，兩個虛擬節點之間的數組表示一個澆次內爐次的加工順序。例如，數組［1， 3， 5］表示第1個澆次內1號爐次、3號爐次和5號爐次依次在連鑄機澆鑄，第2個澆次內的爐次同理。

3.2 考慮模型約束的覓食規則

針對本文問題，由于節點間的距離存在非對稱性且同一車輛（澆次）所經過的節點的寬度屬性需要呈現非增特性，所以本文在基礎的禁忌表下加入特殊的覓食規則從而達到縮小解空間的目的，進而提高求解效率。

3.2.1 爐次排序規則

模型中澆次內爐次的寬度非增變化約束變相減少了問題的可行解，故基于模型中的寬度、鋼級和交貨期對爐次進行了排序。爐次序號為實數并區別于編碼的編號，其中整數部分根據爐次內寬度排序，寬度越大序號越小，寬度相同時序號整數部分相同；對于序號整數位相同的爐次，對爐次的鋼級進行不減排序，鋼級相同時按交貨期進行不減排序，賦予從小到大的小數位序號，三者均相同的爐次賦予相同序號。圖4為節點排序示意圖。

3.2.2 基于序號的節點轉移規則

當螞蟻位于中心節點時，設定螞蟻向當前爐次序號整數位最小的節點轉移。若存在多個滿足條件的爐次序號（整數位相同），則隨機選取其中一個爐次節點。如圖5所示，當候選節點序號為［1.1，1.1，1.2，2.1，5.2］，此時螞蟻轉移到中心節點0，則下一個節點只在3個爐次序號的整數位為1的節點中任選一個進行轉移。

當螞蟻位于非中心節點時，設定螞蟻僅能向比本身爐次序號整數位大（或等于）的節點進行轉移。非中心節點的轉移示意圖見圖6。

3.3 信息素更新策略

螞蟻在走過的路徑中會留下蟻群個體均能識別的標記，稱之為信息素。信息素是螞蟻節點轉移的基礎，也是ACO算法搜索的關鍵。信息素更新過程中，螞蟻會依據自己路徑的優越性確定信息素的濃度，并且信息素在螞蟻的尋優過程中會發生揮發。本節算法在信息素的更新過程中借鑒文獻［14］對狼群算法獎懲因子的引用，獎懲因子在保留信息素正反饋的前提下加入了信息素的負反饋，從而通過雙向反饋加速前期ACO算法的迭代速度；參考交叉熵算法^［10］的分位數參數對所有螞蟻的路徑進行一次篩選，然后對成本特征明顯的路徑更新信息素。具體規則如下：

在m個螞蟻完成節點轉移后，引入分位數μ1、μ2，在m個路徑中選出μ1m（·表示向上取整）個成本最小的路徑集合Ωmin和μ2m個成本最大的路徑集合Ωmax，在集合Ωmin和Ωmax中信息素的計算表達式如下：

τmin=∑p∈Ωmin（Q/Fp）（11）

τmax=∑p∈Ωmax（R/Fp）（12）

式中： Q、R分別為獎勵因子和懲罰因子；Fp為路徑p的成本；τmin、τmax分別為集合Ωmin和Ωmax中所有路徑的信息素。

對于每次迭代，信息素更新公式如下：

τ（k+1）=max（（1－ρ）τ（k）+τmin－τmax，0）（13）

式中： k 為迭代次數；ρ為信息素揮發速度。

3.4 狀態轉移策略

狀態轉移是指螞蟻在覓食過程中從某一節點轉移到下一節點的過程，依據狀態轉移概率進行轉移。狀態轉移概率由初始轉移矩陣和信息素矩陣確定。螞蟻在節點轉移的過程中，為避免在迭代過程中陷入局部最優無法跳出，根據狀態轉移概率，隨機采用輪盤賭和錦標賽兩種規則進行轉移。輪盤賭選擇法是一種比例選擇法，各個節點根據轉移概率形成比例，被選擇的概率與比例成正相關，能夠使小概率的節點獲得被選擇的機會；錦標賽選擇法是一種貪心選擇法，直接選擇最大概率的節點進行轉移。

根據3.2節的覓食規則構建初始狀態轉移矩陣P，P中第i行第j列的元素值pi，j計算式如下：

pi，j=1/cij" wi≥wj且i，j≠0

0其他（14）

對于節點i，假定其候選節點集合為J（集合J內共l個候選節點），則從節點i到候選節點j（j∈J）的轉移概率xj參數的計算公式如下：

xj（k）=αpi，jβτ（k）∑lj′=1（αpi，j′βτ（k））（15）

式中： α為成本權重參數；β為信息素權重參數；j′為集合J內候選節點的索引。

螞蟻在中心節點外的節點進行轉移時，基于轉移概率進行轉移。生成隨機數Ra并與貪心概率q進行對比，當Ragt;q時，按照輪盤賭策略選擇節點進行轉移；當Ra≤q時，采用錦標賽策略（即貪心策略）選用轉移概率最大的節點進行轉移。當螞蟻中心節點外無節點可轉移時，則回到中心節點。

3.5 最優解鄰域搜索

考慮模型約束的覓食規則雖然在一定程度上縮小了解空間，提高了求解效率，但可能導致求解過程陷入局部最優，因此在螞蟻覓食結束后對最優解采用2-sopt算法進行禁忌搜索，具體搜索方式如下：首先對整數位相同的節點進行2-sopt交換，記錄禁忌表，并判定候選解內是否有可行解優于最優解，若有則替代最優解，否則，重復迭代直到達到迭代次數或不存在滿足交換條件的可行解。圖7為經典鄰域搜索規則2-sopt算法的示意圖。

3.6 算法步驟

所設計算法的詳細步驟如下。

1）根據排序規則將爐次進行排序并賦予節點序號，計算爐次間的成本cij，生成初始狀態轉移矩陣P；

2）初始化算法參數；

3）將螞蟻放入倉庫中，基于3.2節覓食規則確定候選目的地，并得到各個候選點的轉移概率，然后基于3.4節狀態轉移策略進行轉移，直到螞蟻遍歷所有節點，生成車輛路徑計劃；

4）計算每條路徑的成本，將其從小到大排列，基于3.3節信息素更新策略選出具有最小成本值的路徑；

5）更新信息素；

6）判斷是否達到最大迭代次數，若達到則轉至步驟7），否則返回步驟3）；

7）初始化禁忌表，設置禁忌長度l和最大禁忌搜索次數Ntmax；

8）通過2-sopt算法生成候選解并計算候選解的適應度值，判斷是否更新最優解；

9）判斷是否達到最大禁忌搜索次數Ntmax，若達到則輸出最優解，否則返回步驟8）。

4 數據實驗

4.1 實驗設計

為驗證本文模型和算法的有效性，本節參考我國某大型鋼鐵企業煉鋼連鑄車間的實際爐次數據，按模型參數對其進行整理，得到以下實驗數據：爐次數量I={40，60，80，100，120}，每個爐次寬度的取值范圍為［1200，1650］mm，并以50 mm為單位進行分布，即wi∈{1200，1250，1300，…，1650}mm；鋼級序號si∈{1，2，3，…，15}；交貨期di∈{5，6，7，…，12}d。澆次計劃模型參數為：Crmax=5，N=30，Fs=5，Fd1=1，Fd2=-1，ws=0.5，wd=0.05，a=20，b=1。基于這些數據進行以下實驗：①基于一組60個爐次的測試算例驗證IAS算法的有效性；②將IAS算法與文獻［10］中的交叉熵算法（cross entropy， CE）算法、文獻［14］中ACO算法和文獻［15］中的混合算法（hybrid algorithm， HA）進行對比，以此來檢驗IAS算法的優勢和不足；③將考慮結晶器在線調寬的澆次計劃模型與澆次內固定寬度的模型進行對比，以此驗證模型的研究意義。

算法代碼采用Python編寫，測試環境為Intel（R）i5-8265U/8GB， Python 3.7。通過預備實驗對算法參數在不同組合水平下進行測試，將每組實驗得到的總體目標均值作為響應值（response value， RV），結果如表2所示。基于表2所示的實驗結果，將IAS算法的參數設置為：螞蟻個數m=50；成本權重參數α=1；信息素權重參數β=2；信息素揮發速度ρ=0.35；分位參數μ1=μ2=0.05；貪心概率q=0.05；最大迭代次數K=100；獎勵因子Q=15和懲罰因子R=15。

4.2 算法性能實驗

本組實驗采用一組具有60個爐次的算例對算法的效果進行驗證，表3所示為澆次計劃的編制結果，其中60個爐次共編制為7個澆次，本組實驗通過IAS算法對原始數據共運行10次，運行結果的標準差為3.4，平均運行時間為16.94 s，顯著縮短了實際生產中基于人工經驗的手動編制所用的時間。IAS算法能夠在短時間內得到滿足實際生產需要的澆次計劃，通過該實驗驗證了IAS算法對問題的求解能力，也展現了在爐次排序規則和基于序號的節點轉移規則下對爐次進行組澆的可行性。

表4給出了澆次7內的爐次順序結果，可以看出，通過結晶器在線調寬，可使得更多的爐次在同一澆次內，澆次7內共進行5次調寬，盡管增加了爐次間鋼級變化和交貨期的成本，但IAS算法在寬度約束允許的范圍內盡可能地將交貨期和鋼級相近的爐次進行緊鄰排序，并顯著降低了連鑄機的停機成本，提高了生產效率。

4.3 IAS對比實驗

本文將實驗數據分為5組不同爐次數的爐次計劃，將IAS算法與文獻中的CE、ACO和HA算法進行對比分析，3種對比算法均采用原文中的參數值設置。對于每組算例，設定4種算法的最大運行時間均為（20+I）s，其值由一個基數和總爐次數量之和得到。設定適應度函數為Vfit=Csum+20N+∑Nn=1Crn，Vfit為目標函數值，Csum為澆次內相鄰爐次產生的成本總和，∑Nn=1Crn為所有澆次的調寬總次數。澆次內最大爐次數受各個鋼廠的中間包影響，實驗將澆次內最大爐次數設為10。4種算法目標函數的均值、標準差與以及方差分析（analysis of variance， ANOVA；顯著性水平為0.05）結果見表5，其中VF值表示不同因子對算法性能的影響程度，VP值表示每個因子各水平間是否存在顯著差異，當VP≤0.05時，表明存在顯著性差異，否則，不存在顯著性差異。

由表5可知，不同爐次下5組實驗ANOVA中的VP值均遠小于0.05，表明4種算法的實驗結果存在顯著性差異。IAS算法的整體目標函數均值（即5組實驗中目標函數均值的平均值）為211.84，遠小于CE（255.81）、ACO（241.04）和HA（235.68）算法的整體目標函數均值。與本文設計的IAS算法相比，3種比較算法中表現最好的是HA算法，其目標函數均值在5組實驗中相較于IAS算法分別增大了5.73%、4.55%、9.51%、11.06%、17.30%，且隨著爐次的增加，IAS算法的優越性顯著提高。主要因為實驗數據有著較為相近的鋼級導致HA算法的啟發式效率較低，而IAS算法的覓食規則能夠體現出較強的優越性，并且正負反饋的協同機制能夠將螞蟻較快地引導到優質的路徑中，隨著迭代次數的增加迭代效率提高，所以產生的解質量提高。在算法穩定性方面，4種算法中IAS的整體標準差（即5組實驗中標準差的平均值）為4.22，同樣小于CE（7.78）、ACO（10.12）和HA（10.77）算法的整體標準差，具體到每組實驗，可以看到只有第2組實驗（I=60）中IAS算法的標準差（0.58）略大于CE算法的標準差（0.35），但考慮到IAS算法得到的目標值要更小，因此能夠認為IAS算法不僅具有更高的求解質量，其穩定性也要優于其他3種對比算法。

此外，表6進一步給出了IAS算法和對比算法中表現最好的HA算法不同目標函數的結果，其中Vfit、Csum、N和∑Nn=1Crn為總體均值。由表6可知，隨著規模的增大，IAS算法無論是在成本方面還是在澆次數方面都獲得了更為滿意的解。HA算法設計的啟發式規則主要針對原文問題進行了適配，在適應性和可擴展性方面存在一定的局限性，進而導致其求解效果受到影響。而IAS算法通過獨特的覓食規則、信息素更新規則和狀態轉移規則，避免了鋼級相近時求解效率不佳的缺點，表現出了較強的魯棒性。

為進一步檢驗4種算法在收斂速度方面的差異性，以I=40的測試數據為例，隨機選取一次實驗結果，繪制出了4種算法的收斂曲線（基于前150次迭代次數），結果如圖 8 所示，可以看出，與其他3種對比算法相比，IAS算法的早期的收斂速度非常快，能夠以更快的速度搜索到更優解，這得益于IAS算法的初始轉移矩陣所帶來的一個較好的初始解的優勢。在進化的中后期，其他3種對比算法逐步陷入局部收斂的狀態，而IAS算法始終維持在較優的位置，這進一步證明了本文所設計IAS算法的有效性。

4.4 在線調寬對比實驗

本組實驗基于第2組實驗中實際生產數據提取出的5組爐次數據，將考慮結晶器在線調寬的數學模型與澆次內寬度固定的數學模型進行對比，2個模型均通過IAS算法進行求解，模型參數與第2組實驗的設置相同。

表7給出了本組實驗2個模型得到的Vfit、Csum、N和∑Nn=1Crn的總體均值。由表7可知，同樣的爐次數據下考慮在線調寬的澆次計劃模型能夠得到更小的加權成本，說明連鑄機在線調寬技術具有一定意義和作用，以及研究考慮連鑄機在線調寬的澆次計劃編制問題的必要性。

進一步繪制了5組實驗目標函數組成部分中的澆次數量和爐次間成本變化的曲線，結果分別如圖9和圖10所示，可以看出，5組實驗下2個模型的澆次數量均有較大的差異，也反映了實際生產的特點，在面向訂單的生產中生產訂單品種多樣且批量較小，導致有很多小澆次的產生，因此應用結晶器在線調寬技術能夠顯著減少連鑄機在生產過程中的停機次數。本組實驗反映了當前的市場需求下在線調寬技術應用的必要性和所設計模型對實際生產的意義。

5 結論

針對煉鋼連鑄調度中的澆次計劃編制問題，通過融入結晶器在線調寬技術構建了新的澆次計劃編制模型，并通過改進蟻群算法對模型進行求解，算法設計了一系列優化技術來提高其求解性能，具體如下：①引入爐次排序規則和初始選擇規則，減小了搜索空間，避免了某些不必要解的產生，提高了收斂效率；②引入了狼群算法的獎懲因子，提高了全局搜索能力；③引入了交叉熵算法的分位參數，提高了算法對不同模型問題的適應能力。以國內某大型鋼鐵企業的實際生產數據為基準，通過與文獻中的3種算法的對比展現了在大規模爐次下該算法的高效性，并且驗證了兩種規則的引入對解空間的減小是有效可行的。

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（編輯 胡佳慧）

基金項目：國家自然科學基金（72301026， 71701016）；教育部社科研究基金規劃項目（23YJA630090）

作者簡介：

李毅仁，男，1974年生，正高級工程師、博士研究生。研究方向為生產計劃與調度。發表論文10余篇。E-mail：liyiren@hbisco.com。

袁帥鵬*（通信作者），男，1993年生，講師、博士。研究方向為智能優化算法。發表論文10余篇。E-mail：yuansp@ustb.edu.cn。

本文引用格式：

李毅仁，王柏琳，袁帥鵬，等.考慮結晶器在線調寬澆次計劃的改進蟻群算法［J］. 中國機械工程，2025，36（3）：614-622.

LI Yiren， WANG Bailin， YUAN Shuaipeng， et al. An Improved Ant Colony Algorithm for Cast Plan Considering Online-width-adjustment Technology of Crystallizers［J］. China Mechanical Engineering， 2025， 36（3）：614-622.