基于鏡像判斷和改進父代選擇的多目標進化算法

摘 要：高維多目標進化算法在解決復雜帕累托前沿問題時，常面臨收斂性和多樣性難以平衡的問題.為解決這一問題，提出了一種基于鏡像判斷和改進父代選擇的高維多目標進化算法.該算法首次結合成就標量函數和全局密度并應用在交配池中，使其在迭代過程中不僅關注當前最優解，還兼顧解在整個空間的分布情況，從而實現了收斂性和多樣性的統一.此外，針對算法在迭代過程中可能出現鏡像的問題，本文提出了解決方案.具體來說，算法首先采用非支配排序，將臨界層個體與參考向量相關聯，隨后判斷其是否滿足鏡像對稱準則，若滿足則通過全局密度選取個體，達成“內緊外松”的目的，最大限度保證候選解的分布性，從而有效解決了選擇壓力不均的問題.最后將本文算法與最新的五種多目標算法在4種不同維度的測試問題上進行對比實驗，并應用在兩個實際案例中.實驗結果表明：所提算法不僅能高效解決高維多目標優化問題，且能有效平衡收斂性和多樣性.

關鍵詞：

多目標進化算法； 交配選擇； 聚合距離； 收斂性； 分布性

中圖分類號：TM614； TP18

文獻標志碼： A

Multi-objective evolutionary algorithm based on image

judgment and improved parent selection

WANG Jia-cheng¹， ZOU Yu-heng²， WANG Shan-shan^1*， ZENG Liang¹

（1.School of Electrical and Electronic Engineering， Hubei Key Laboratory for High-Efficiency Utilization of Solar Energy and Operation Control of Energy Storage System， Hubei University of Technology， Wuhan 430068， China; 2.School of Industrial design， Hubei University of Technology， Wuhan 430068， China）

Abstract：When solving complex Pareto frontier problems，high-dimensional multi-objective evolutionary algorithms often face the difficulty of balancing convergence and diversity.In this paper，a multi-objective evolutionary algorithm based on image judgment and improved parent selection is proposed to solve this problem.This algorithm combines the achievement scalar function and global density for the first time and applies them to the mating pool，so that the algorithm not only pays attention to the current optimal solution in the iterative process，but also considers the distribution of the solution in the whole space，achieving the unity of convergence and diversity.Additionally，it was found that the algorithm may exhibit symmetrical phenomena during the iterative process.This paper identifies the drawbacks of this issue and proposes a solution.Specifically，The algorithm first employs non-dominated sorting to associate the critical layer individuals with reference vectors.It then evaluates whether they meet the symmetry criterion.If they do，individuals are selected based on global density to achieve the goal of \"tight inside，loose outside\"，maximizing the distribution of candidate solutions.This effectively resolves the issue of uneven selection pressure.Finally，the proposed algorithm is compared with the latest five multi-objective algorithms on four different dimension test problems，and is applied in two practical cases.The experimental results show that the proposed algorithm can efficiently solve the high-dimensional multi-objective optimization problem and has good stability.

Key words：

multi-objective evolutionary algorithm; mating selection; polymerization distance; convergence; distributivity

0 引言

在現實生活中，許多優化問題需要同時優化多個（通常是沖突的）目標，這類問題被稱為多目標優化問題^[1]（Multi-Objective Problems）.由于目標之間的沖突性，通常不存在單一的最優解，而是需要找到一組權衡的解決方案，這組解被稱為帕累托最優解集.

目前已有很多性能優越的多目標進化算法（Multi-objective Evolutionary Algorithms，MOEAs）如PESA-Ⅱ^[2]、SPEA2 ^[3]和MOEA/D^[4]，然而，這些算法在解決高維多目標問題時，往往難以同時兼顧收斂性和多樣性.其主要原因在于，隨著目標維數的增加，目標之間的沖突不可避免，此時無法根據優勢關系準則區分種群中的非劣解，導致算法性能顯著下降.

為了克服Pareto優勢在處理MOPs時的缺點，近些年來許多學者進行了一系列的研究，并提出了幾種方法.這些方法大致可分為三類.

第一類是通過收斂增強策略修改Pareto優勢關系：增加選擇壓力促進解集逼近帕累托前沿，增強收斂的主要思路是通過調整選擇機制或者評價準則，使算法能夠更精確地逼近帕累托前沿，同時確保解的多樣性不被犧牲.其中基于參考點的支配^[5]優勢是可按照決策者的偏好調整收斂區域，但參考點的選取可能會嚴重影響算法性能.模糊支配^[6]擴展了傳統的二元支配，能更好的處理原本不確定的支配關系，但計算復雜度偏高，且動態角向量支配^[7]通過引入動態調整的角向量來判定支配關系，在進化過程中動態調整搜索方向，避免集中在特定區域.但計算過程復雜.

第二類是基于分解的多目標進化算法，它通過將復雜的多目標優化問題轉換為一系列更易處理的子問題.從而在進化過程中同時優化這些子問題.常見方法包括懲罰邊界交叉^[8]（Penalty Boundary Crossover，PBI）、角度懲罰距離^[9]、切比雪夫^[10]和加權和^[11].然而，這些方法所產生解集的分布與參考向量是密不可分的，為了解決這一問題，算法PDAREA^[12]提出了自適應參考向量方法，能夠根據迭代進程動態調整參考向量的分布.

第三類方法是基于指標選擇的多目標進化算法，其中最常用的指標是超體積（Hypervolume，HV）^[13]，它不依賴于任何特定的目標權重或偏好設置.但若將其用于引導種群進化，計算成本會隨著目標數量的增加呈指數增長.R2^[14]（R-squared Indicator）指標則通過調整權重向量來體現對不同目標的偏好，根據具體應用需求進行靈活調整，利用R2指標值來引導種群進化.但效果依賴于歸一化和參考向量的選擇.IGD^[15]（Inverted Generational Distance）指標是基于平均距離衡量標準，在個體選擇中如果存在多個相似解，這些解對IGD指標的貢獻非常接近，這種情況會導致重復選擇，進一步降低種群多樣性.

盡管上述方法在一定程度上緩解了原有算法在解決高維目標的不足，但在應對復雜帕累托問題的時候仍存在不足之處，需要設計一種新的算法.基于自適應聚合距離MOEA-AAD的多目標進化算法是曾亮等^[15]提出的用于求解多目標優化問題的方法，該方法提出了自適應懲罰參數并將其引入小生境策略中.然而MOEA-AAD算法存在一個顯著問題，當候選解在同一參考向量的兩側呈鏡像對稱分布時，算法的選擇過程往往會趨于隨機.為避免算法在進化過程中出現隨機選擇的現象，本文在MOEA-AAD^[15]框架基礎上提出了一個鏡像判別機制.當多個候選解位于同一個小生境時，首先判定它們是否呈鏡像對稱.此外，本文首次將成就標量函數和全局密度結合并應用在父代選擇中，既考慮了親本的質量，也注重親本組合的有效性，避免優秀個體被頻繁選擇，從而維持種群的多樣性.最后將算法在不同測試函數以及實際應用上對算法進行驗證，并與多種現階段優秀進化算法進行對比，結果表明MOEA_MS算法具有更好的綜合性能.

1 相關背景知識

1.1 多目標優化問題

一般來說，多目標優化算法是解決具有多個目標函數的優化問題的一類算法.多目標優化問題的數學表達式為：

Minimize：F（x）=（f1（x），…，fM（x））（1）

s.t.x∈Ω，ΩRn（2）

式（1）中：x=（x1，x2，...，xn）^T為決策向量；式（2）中：Ω為決策空間，D 表示決策向量中變量的個數.

1.2 MOEA-AAD算法

MOEA-AAD^[15]算法首先通過基于參考點的非支配排序方法將種群個體分類，而對于臨界層的個體，首先將其劃分進不同的小生境再通過比較其自適應距離進行選擇和淘汰操作.MOEA-AAD的核心創新點如下：

1.2.1 聚合距離

如圖1所示，d1表示個體在參考向量方向投影的歐氏距離，d2表示個體到參考點的歐氏距離.聚合距離通過整合這兩者構造出了同時考慮收斂性和分布性的距離函數.

d（x）=d1（x）+θd2（x）（3）

式（3）是聚合距離的表達式，θ在平衡收斂性和多樣性方面起著關鍵作用.當θ值較小時，算法更注重收斂性，θ值較大時，算法更注重多樣性.當θ為5時能較好的平衡收斂性和多樣性.

但其問題在于在迭代過程中θ始終保持不變，并不能隨著迭代的進行自適應調整收斂性和分布性.

1.2.2 自適應聚合距離

在進化初期個體較為分散的分布在目標空間，此時應注重收斂性讓種群快速接近PF；隨著迭代的進行，大部分個體已逼近PF，此時應更注重分布性，使個體更好的分布在帕累托前沿上.MOEA-AAD提出了一種自適應聚合距離，其表達式如式（4）、（5）所示：

d（x）=d1（x）+θd2（x）（4）

θ（t，Zj）=δ·e^M·tTmaxZj（5）

2 基于鏡像判斷和改進父代選擇策略的多目標進化算法

2.1 成就標量函數與全局密度

在父代選擇策略中，不同的算法采用的策略是不同的，例MOEA-AAD算法的父代選擇是隨機進行的，期間并未考慮父代個體質量，隨意進行交配，雖簡單易行，但會導致算法盲目探索，缺乏有效的方向性，多樣性也無法保證，難以全面探索整個搜索空間，從而更容易陷入局部最優.HypE算法的超體積選擇策略，雖一定程度提高了收斂速度，但容易導致種群中個體多樣性不足.基于單一指標的選擇不能很好的平衡各個目標函數的優化，進而導致某些目標函數不佳.

基于此，本文首次提出了改進父代選擇策略：本文提出的改進父代選擇策略，不同于以往文獻中的隨機選擇，它是先計算種群中個體的成就標量函數（ASF）值，ASF值能量化每個個體在多目標空間中的表現，將多目標優化問題轉化為單目標.因此，ASF值可以作為個體質量的一個重要衡量指標.再對其進行排序，得到每個個體的ASF排名.然而，僅依賴ASF值選擇可能導致種群中個體多樣性下降，從而陷入局部最優，為了在保留高質量個體的同時保持種群多樣性，本文引入了全局密度，通過計算每個個體的全局密度，可以識別出那些位于稀疏區域的個體.在實際選擇父代時，本策略首先根據ASF值選擇出表現最優的個體，這些個體被認為是高質量的父代候選者.然而，為了避免種群過早收斂到某個局部最優解，從而喪失探索更優解的能力，接下來會考慮全局密度，將密度較小的個體優先保留下來.通過這種方法，不僅確保了父代選擇中高質量個體的優先性，還通過考慮全局密度，保留了種群中的多樣性.本研究成功地克服了傳統方法在面對鏡像對稱解時的局限性，提供了更為精確和有效的選擇機制.ASF表達式如式（6）所示：

ASF（i，wi）=maxk=1：M（fik－z*k）/wik（6）

式（6）中：wⁱ是權重向量，表示每個元素在對應目標量化過程中的重要程度.z^*k是理想點.詳細過程如算法1所示.

Algorithm 1 Improved Parent Selection Strategy

Input：Population：N，Objective：f，Ideal Point：z^*k，Weight Vector：wⁱ

Output：Population P′

1：for p∈P0

2：calculate ASF

3：end for

4：for p∈P0

5：calculate density

6：end for

7：Normalize ASF and density

8：ifASFi lt;ASFj anddensityi lt; densityj

9：Select Candidate Solution i

10：else

11：Select Candidate Solution j

2.2 鏡像判斷

在高維多目標進化算法中，為保證帕累托解集的完整性和均勻性，通常會在決策空間生成一組均勻分布的參考向量.這些參考向量提供了一種系統的方法來引導候選解的分布.然而，參考向量的存在不可避免地會使算法陷入選擇困境，尤其是當兩個解關于參考向量呈鏡像對稱時.

為了更詳細的說明該過程，采用兩目標為例.在圖2中，候選解a和c關于參考向量Z1鏡像對稱、候選解d和f關于參考向量Z2鏡像對稱、候選解b和e關于參考向量Z3鏡像對稱.此時無論是小生境選擇策略或是聚類、網格選取都無法區別這些解的優劣.為解決上述問題，本文的算法在MOEA-AAD的基礎上次提出了鏡像判別法則.

d2（i）=d2（j）（7）

d1（i）/d2（i）－d1（j）/d2（j）lt;0.1（8）

式（7）中：d2（i）和d2（j）分別表示候選解i和j到參考向量的歐氏距離，d2（i）和d2（j）分別表示候選解i和j在參考向量方向上的投影距離.當d2相等時，表明候選解在同一方向上的分布性相當，確保解的比較具有一致性；式（8）中：d1（i）/d2（i）-d1（j）/d2（j）用于衡量解在歐氏距離上的相對差異.通過將歐氏距離歸一化到投影距離上，消除了不同候選解在參考向量上分布性的差異，專注于在垂直方向上比較.該判別法則通過結合歐氏距離和投影距離，有效地識別了解在參考向量方向上的鏡像對稱關系，解決了解的優劣問題.鏡像判斷策略的計算流程如算法2所示.

Algorithm 2 Symmetry Detection Strategy

Input：Population Size：N，Merge Populations：S

Output：Population：P0

1： NRPD-sort（S）

2：St=， i=1

3：whileStlt;N do

4：St=St∪Fi

5：i=i+1

6：end while

7：K=N-P0

8：Calculate d1、d2 and Aggregation Distance

9：if symmetrical solutions exist

10：global density selection

11：end if

12：adaptive aggregation distance selection

13：return P

2.3 MOEA_MS算法的整體框架

算法的關鍵步驟如下：

（1） 生成數目為N的初始種群及參考向量V0.

（2）執行改進父代選擇策略：在父代選擇中首次結合成就標量函數和全局密度并將其應用在交配池中，使算法在迭代過程中不僅關注當前最優解，也考慮解在整個空間的分布情況

（3）選擇分布性和多樣性俱佳的N個個體.

（4）通過遺傳操作產生子代種群Qt，并將其與父代合并成大小為2N的種群.

（5）選擇階段：在選擇階段中首先對候選解進行基于參考點的非支配排序，從中選擇前l-1層個體，對第l層個體計算歐氏距離和投影距離.若存在鏡像對稱解則通過全局密度選擇余下解，否則通過聚合距離進行選取.

基于鏡像選擇和改進父代選擇策略的多目標進化算法框架如算法3所示.

Algorithm 3 Framework of MOEA_MS

Input：PopulationN，Reference PointsNR， Dimension M，Iterations Tmax

Output：Population P0

1：P0=Random-Initialize （N）

2：Z=Reference-points-generation （NR）

3：t=1

4：while tlt;Tmax do

5：P′=Improve-Parents-selection （P0）

6：Q=Genetic-operation （P′）

7：S=P0∪Q

8：P=Environmental-selection （S，Vt）

9：Vt+1 = Reference-update-strategy

10：end while

11：returnP0

2.4 算法復雜度分析

本算法時間復雜度中主要來源于算法1的主循環部分.除了改進父代選擇策略和參考向量更新，時間復雜度主要表現在鏡像判斷策略和基于參考點非支配排序上.參考點非支配排序計算復雜度為O（MN²）.鏡像判斷策略復雜度為O（MN）.考慮所有計算情況下，MOEA_MS運行一代需要的最大計算復雜度是O（MN²）.

3 實驗結果與分析

3.1 實驗平臺

本節通過仿真實驗驗證MOEA_MS的有效性，為保證實驗的公平性，所有實驗均在配置為：Intel Core、CPU：i9-9200、64G內存、3.60 GHz主頻、win10 64位操作系統的計算機上通過MATLAB2021b實現，并在多目標進化軟件包PlatEMO^[16]上進行實驗.PlatEMO內置了多種多目標進化算法，而且還提供了豐富的測試問題庫，涵蓋了不同維度和復雜度的多目標優化問題，如DTLZ^[17]、WFG^[18]和MaF^[19]等系列問題.這些問題被廣泛用于多目標優化算法的性能評估，能夠幫助研究者全面測試算法的有效性和魯棒性.

3.2 評價指標

本文采用IGD^[20]指標作為衡量標準，IGD指標的計算公式為：

IGD（P，P*）=1P*∑v∈P*d（v，P）（9）

式（9）中：P^*是真實PF上的帕累托點集，P代表算法的生成解集 ，計算他們之間的歐幾里得距離.IGD能夠綜合評價解集的收斂性和分布性，值越小說明算法的收斂性和分布性越好.

3.3 測試問題

本文選用DTLZ、WFG中的部分測試函數外，還選取了MaF測試集中的部分測試問題.其中DTLZ2、DTL4、DTL5和DTL7分別具有凹形、有偏、退化和多模特的特征.WFG1和WFG2分別具有混合、多模態帕累托前沿特征，WFG5、WFG6和WFG7分別具有欺騙、不可分解和有偏的特征.MaF2和MaF5均具有凹形的特征，MaF8和MaF9具有退化的和不規則的帕累托前沿.

3.4 實驗設置

（1）種群規模.MOEA-AAD^[15]、HEA^[21]等算法的種群規模與權重向量有關，為保證實驗的公平性，各個算法的種群大小保持一致.表1為不同目標數目的種群規模.

（2）決策變量設置.對于DTLZ和WFG系列測試問題，目標維度設為D=M+K-1，DTLZ2～6和WFG1～7中K=10，DTLZ7中K=20；MaF測試問題的目標維度設為D=M+K-1，MaF8和MaF9測試問題上D=2.

（3）算法運行次數與終止條件.記錄其平均值與標準差.當函數評價次數（FE）達到40 000時，算法停止運行，運行代數為T=FEN.

3.5 對比算法介紹

為了更好驗證本文算法MOEA_MS的性能，選了5種算法與其對比：

（1）MOEA-AAD^[15]采用了基于參考點的非支配排序并提出了自適應聚合距離的概念，根據迭代次數動態調整收斂性和多樣性的權重.

（2）HEA^[21]提出了超支配度的概念，考慮了一個解在目標空間中是否被另一個解支配，把每個解的收斂性通過超優勢度來量化，該方法和基于參考點非支配排序比較類似，都屬于細分原有的支配關系.

（3）DPPPS^[22]算法在父代選擇中定義了一個閾值，當隨機數小于閾值時，則從鄰域矩陣中選擇，否則隨機選擇.

（4）TPCMaO^[23]算法額外設置了一個種群專門負責算法多樣性.屬于開創了一個較新的領域，便將其納入對比.

（5）TSNSGAII^[24]算法提出了兩階段論，前一階段主要負責收斂性，后一階段負責多樣性的尋找.具有很強的普適性.

前三種均與本文算法有類似之處，TPCMaO和TSNSGAII來自近期高被引文章，創新性和普適性較強.

3.6 實驗結果分析

3.6.1 規則形狀前沿測試問題的結果分析

MOEA-AAD和HEA^[21]、DPPPS^[22]、TPCMaO^[23]、TSNSGAII^[24]、MOEA_MS在具有規則形狀PF的8個測試問題上進行了實驗比較.綜合評價MOEA_MS算法的優劣.

DTLZ2具有凹形的帕累托前沿，MOEA_MS在5目標和8目標上獲得最優結果.MOEA-AAD在3和10目標上獲得最優結果.對于DTLZ4測試問題，算法HEA在3和8目標上取得最優結果.WFG4具有多模態的特點，DPPPS在高維目標上表現出極佳的性能.獲得較優實驗結果.WFG5測試問題具有欺騙特征，MOEA_MS幾乎在所有目標上獲得最優解集.WFG6具有不可分解的特征，DPPPS在高維目標上獲得最優結果.對于WFG7測試問題，DPPPS在5和10目標上表現除極佳的性能.MaF5測試問題具有有偏的特征，MOEA_MS在3和8目標上獲得最優結果.

從表2可以看出，MOEA_MS算法在總共32個測試問題中獲得最優的有11個，而MOEA-AAD、HEA、DPPPS、TPCMaO和TSNSGAII的最好結果分別有6、4、7、3和1例.綜上分析，相較于5種對比算法，MOEA_MS總體性能更優秀，能較好處理各種帕累托前沿問題.

為深入了解不同算法IGD指標趨勢圖，并驗證算法性能的穩定性，圖3為算法在DTLZ5、WFG2和MaF10問題上IGD指標隨著評價次數變化的曲線圖.從圖3可以看出，TPCMaO在求解DTLZ2問題時表現不佳，進化過程較為震蕩.MOEA-AAD求解DTLZ2和WFG5問題時候，收斂較快，但求解WFG6測試問題時候，收斂慢且精度不高.TSNSGAII在求解DTLZ2測試問題相較于其他算法有較大優勢.僅有HEA和MOEA_MS算法在這三個測試問題上表現優異.

MOEA_MS 5種對比算法在10目標MaF5測試問題上獨立運行20次后獲得的最終解集如圖4所示.從圖4可以看出，MOEA-AAD收斂性較好，但分布性較差，DPPPS和TPCMaO收斂性和分布性均不理想.HEA和MOEA_MS獲得收斂性和分布性較優的解集.這是由于他們都采用了非支配排序的緣故.MOEA_MS在第l層的選取中不僅考慮了參考向量的分布情況，而且通過引入全局密度，做到內緊外松.所以最終解集收斂性和分布性俱佳.

3.6.2 不規則形狀前沿測試問題的結果分析

DTLZ5具有凹形退化的特征，DPPPS在此問題上的3和5目標表現較優，因此它具有較好的解決退化問PF問題的能力.MOEA_MS在DTLZ7測試問題的高維目標上表現最佳.TSNSGAII在WFG1和WFG2測試問題上具有較強競爭力.MOEA_MS在MaF4測試問題的低維和MaF7測試問題的高維表現出較強的競爭力.MOEA-AAD僅在MaF8和MaF9的低維獲得最優結果.WFG2具有凸性不連續特點，各類算法在求解時，并未展現出明顯優勢.MaF4、MaF8和MaF9都是具有退化性質的測試問題，DPPPS和MOEA_MS相較于其他算法更為優異.從表3可以看出，MOEA_MS算法在總共32個測試問題中獲得最優的有8個，而MOEA-AAD、HEA、DPPPS、TPCMaO和TSNSGAII的最好結果分別有6、3、5、6和4例.綜上分析，相較于5種對比算法，MOEA_MS總體性能更優秀，能較好處理各種帕累托前沿問題.

圖5為六個算法在部分10目標測試問題上獲得的平均IGD值變化圖.從圖5可以看出，MOEA_MS在DTLZ7和MaF7測試問題上都能在較少的迭代次數情況下獲得最優的IGD值，雖在MaF9測試問題上未獲得最優解，但收斂快速且穩定.TPCMaO在這三個測試問題上均有著良好表現.

MOEA_MS與其它五種對比算法在10目標WFG2測試問題上運行20次后的最終解集分布圖如圖6所示.由圖6可以看出，TPCMaO和HEA獲得的最終解集質量不佳，均勻覆蓋到帕累托前沿的個體較少.MOEA_MS和TSNSGAII的輸出解集較為理想，較好的平衡了收斂性和分布性.這是由于WFG2測試問題具有多模態特征，存在多個局部最優解，算法在搜索過程中容易陷入局部最優，難以找到全局帕累托前沿.算法需要很強的探索能力，才能在復雜搜索空間中有效跳出局部最優找到全局最優解.MOEA_MS算法中的改進父代選擇策略能很好的遍歷決策空間.

4 實際應用

本文將MOEA_MS算法應用于剎車盤設計問題和齒輪列設計問題并同時與五種算法進行對比，以測試所提算法在實際應用工程問題上的性能，采用IGD指標來衡量各算法取得的實驗效果.

4.1 剎車盤設計問題

剎車盤設計問題^[25]（DBDP）是機械工程領域的一個重要問題.具體的數學表達可參考文獻[19].該問題的種群規模設為1 000，最大評價次數設為50 000記錄IGD的平均值與標準差.

表4給出了MOEA_MS等六種算法在DBDP上的IGD平均值和標準差.由實驗結果可知，DPPPS的綜合性能最好，MOEA_MS和MOEA-AAD的性能稍差于DPPPS.因此，MOEA_MS也能夠有效地處理剎車盤設計問題.

4.2 齒輪列設計問題

齒輪列設計問題^[26]是機械工程領域的一個重要問題，涉及到齒輪傳動系統的設計和優化.具體的數學表達可參考文獻[26].

該問題種群規模設為105，最大評價次數設定為50 000次，各算法獨立運行20次，記錄平均值與最大值如表5所示，加粗字體為最佳結果.表5為6種算法在GTD問題上獲得的IGD數據.

從表5可以看到，MOEA_MS算法的表現最優異，其獲得最小的的IGD值，而TPCMaO和HEA分別是第二和第三好的算法.因此，齒輪列設計問題，MOEA_MS算法獲得較優結果，比其它算法更具競爭力.

5 結論

本文提出了一種基于鏡像判斷和改進父代選擇的多目標進化算法.該算法首次將成就標量函數與全局密度相結合并應用于交配池中，使算法在迭代過程中不僅關注當前最優解，同時也考慮解在整個搜索空間的分布情況，從而實現收斂性與多樣性的平衡.此外，發現算法在迭代過程中可能出現鏡像的現象，本文指出其弊端并提出解決方案.

最后，將該算法應用于16個測試函數中，結果表明與現有高性能算法相比，本文提出的算法展現出更優的性能，能夠有效應對復雜的Pareto前沿問題，并獲得兼具良好收斂性和分布性的解集.在兩個實際應用中，本文算法同樣表現出色，進一步驗證了其在實際問題中的適用性和優勢.

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【責任編輯：陳 佳】