再生冷卻通道內超臨界流動中的布雷斯悖論研究

摘 要：""""" 基于碳氫燃料的再生冷卻系統是突破超燃沖壓發動機長時間可靠運行的關鍵， 加工誤差可能導致的局部連通會改變系統流量分配， 進而容易造成結構破壞。 現有研究發現特定工況下微型網絡通道內會發生流動的布雷斯悖論現象， 即通道網絡局部連通時系統流量反而低于不連通情況。 本文重點探究宏觀尺度條件下局部連接通道網絡內是否會發生布雷斯悖論， 關注該現象發生的條件及影響因素， 研究系統流量變化對熱防護系統換熱特性的影響。 首先基于數值模擬方法， 證明了布雷斯悖論現象的存在， 即特定工況下連接通道開啟狀態的H型通道總流量反而小于連接通道關閉狀態下的總流量。 然后考慮障礙物位置、 大小、 連通位置以及寬度等因素， 對比分析了仿真結果與平行冷卻通道的系統流量大小， 在此基礎上總結了布雷斯悖論現象發生的規律。

關鍵詞："""" 再生冷卻通道； 布雷斯悖論； 超臨界流體； 對流換熱

中圖分類號：""""" TJ760； V231

文獻標識碼：""" A

文章編號："""" 1673-5048（2025）01-0090-09

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2024.0194

0 引" 言

作為一種典型吸氣式動力系統， 超燃沖壓發動機能夠捕獲外部氣流作為氧化劑， 比沖性能明顯高于傳統的液體火箭發動機， 研制超燃沖壓發動機對高超聲速推進技術發展意義重大。

高馬赫數飛行模式下進氣道捕獲氣流總焓很高， 同時與燃料發生化學反應釋放大量熱， 發動機本體結構面臨極端的熱環境。 為了防止高溫燒蝕以及結構熱變形， 必須采取有效的發動機結構熱防護方案。 根據換熱方式的不同， 發動機結構熱防護主要分為主動冷卻和被動熱防護兩大類， 其中基于碳氫燃料的再生冷卻技術應用最為成熟。

目前有許多學者開展了關于再生冷卻通道內對流換熱機理的研究， 大量學者傾向于借助數值模擬方法研究超臨界條件下燃料的對流換熱現象^［1-3］， 也有部分學者基于動力學模型進行熱解實驗， 將實驗獲得的數據與相關數據進行比較， 預測再生冷卻通道燃料的熱解機理^［4-5］。 在超臨界壓力下燃料物性參數隨溫度劇烈變化， 熱流密度會導致冷卻劑傳熱系數下降， 進而導致傳熱惡化現象。 Li等^［6］分別運用k-ω SST模型和k-ε模型模擬超臨界正癸烷湍流向上和向下的兩種流動傳熱情況， 開展對再生冷卻通道內傳熱惡化機理的研究， 以最大程度減少熱防護帶來的損失為目的。 一些學者開展了再生冷卻通道的結構設計優化， 相繼提出了新型方案以增強再生冷卻通道的傳熱性能^［7-8］。 為了探究熱防護的機理， 冉振華等^［9］開始研究并聯通道內部的流量分配特性， 以準確預測流體的動態運輸和流動行為。

布雷斯悖論是博弈論和網絡相結合的經典悖論， 新建道路可能反而加劇擁堵， 增大交通路網的路容量反而會造成出行時間延長， 降低整條交通網絡某一時刻的車流量。 針對特定交通路網的研究發現， 在低交通需求和高需求下不發生布雷斯悖論， 在中間需求區間內才可能發生布雷斯悖論^［10］。 對于自然科學領域， 近年一些學者也探討了布雷斯悖論作用于電網、 通信網絡、 微流體管道中的機理。 Case等^［11］利用OpenFOAM進行數值仿真， 結合實驗獲得的數據， 驗證布雷斯悖論支持流體模擬， 通過模擬在施加壓力和流速之間呈現非線性關系的微流體網絡來解決微流體系統集成控制機制的難題。

再生冷卻系統由一系列微型通道組成， 可通過傳統機械手段或3D打印增材制造等技術制造。 考慮串腔這種極端情況， 冷卻通道內超臨界流動狀態與交通網絡原理極為類似， 在某一流量范圍內也可能出現布雷斯悖論現象， 進而影響發動機再生冷卻系統的對流換熱過程， 因此開展超臨界流動的布雷斯悖論具有重要研究價值。

1 物理模型與數值方法

1.1 模型建立

已有研究證明， 微流體網絡中的不可壓流動存在布雷斯悖論現象^［11］。 并且設計了H型的流體通道結構， 如圖1所示。

發動機再生冷卻系統由薄壁金屬夾層結構組成， 內部包含一系列小尺度通道。 基于文獻［11］， 建立并聯再生冷卻通道簡化的物理模型， 圖1所示的微流體通道模型的尺寸為500 μm×500 μm ， 相較于實際再生冷卻通道尺度量級過小。 為了研究宏觀尺度流動網絡內的流動特征， 重新選取5 mm×5 mm截面尺寸的計算區域， 采用H型并聯通道開展仿真分析， 只是在原有尺度比例上進行微小調整。 考慮到再生冷卻通道入口并聯排列， 將兩個入口Inlet1和Inlet2設置在同一截面位置， 將工質由水修改為煤油。 為了保證流動壓降與流量的非均勻性， 在上面的流動分支內設置了6個障礙物， 中間通道連接模擬加工誤差造成的流道串聯現象， 詳細模型如圖2所示。

為了進一步分析H型通道結構調整會對通道內部流體流動狀態產生影響， 基于控制變量原則， 考慮改變障礙物間距、 障礙物與壁面之間距離、 障礙物大小、 連接通道寬度、 連接位置等參數， 分別構建5種障礙物通道段的物理模型以及6種典型的H型通道物理模型， 具體的尺寸參數如表1～2所示。

完成對H型通道的二維仿真模擬， 考慮壁面熱流邊界條件， 進行H型通道的三維仿真， 構建三維工況模型， 如圖3所示。

導入編譯好的煤油物性udf， 煤油超臨界熱物性經過了詳細的驗證過程， 在3 MPa下， 航空煤油熱物性計算結果與實驗值^［12-15］對比如圖4所示。 分析發現， 該模型能較好地反映航空煤油熱物性的變化， 計算結果與實驗值之間的平均誤差小于10%。

施加不同的壁面熱流邊界條件， 分別將熱流密度設置為0 W/m2， 500 W/m2， 10 000 W/m2， 100 000 W/m2。

1.2 通道流量的計算

由圖1可知， H型通道分為L1， L2， L3， L4， L5共5段， 其中， 障礙物通道L4有不規則分布的圓柱形障礙物， 目的是保持通道L4流量與壓降之間的非線性關系。 為了計算流體網絡在穩態下系統的總流量， 需要根據相關理論獲得各段通道出入口之間的壓降， 根據壓降與流量之間的關系方程進行換算， 獲得各段通道的流量。 在本文的H型通道模型中， 通道類型主要可以分為無障礙物的通道與有障礙物的通道兩類， 對于不同類型的通道， 通道的流量與壓降之間的關系方程不同。

對于無障礙物通道段， 采用改變出入口壓降控制通道流動狀態的方式， 對通道的流量進行調節。 可以采用兩種入口壓力控制方式， 分別是入口靜壓控制與入口總壓控制。 通道的出口統一設置為出口靜壓為0 Pa。 通道的長度為L， 寬度為w， 在近似二維泊肅葉流動情況下， 對于Lw 的無障礙物通道， 二維Navier-Stokes方程的近似穩態解表明單位深度的總體積流量Q與沿流道的壓降ΔP之間存在線性關系：

Q=－ΔPw312μL（1）

而在三維模擬的情況下， 通道的速度表達式可以近似為V=Q/（wh）， 其中， h為通道的截面高度， 無障礙物通道的壓降與流量之間的關系方程為

Q=－ΔPw3h12μL（2）

對于有障礙物通道段， 不同于無障礙物通道內部出入口壓降與流量之間呈線性關系， 存在障礙物時通道內部兩者之間是非線性的。 考慮存在障礙物通道內的流動近似符合多孔介質假設， 因此管內流動遵循達西定律。 當壓力梯度或者流速較小時， 流動速度與壓力梯度之間存在線性關系； 當流動雷諾數增大到一定程度時， 壓降與流量之間呈現非線性關系， Forchheimer提出了經驗公式來分析這種流動狀態^［16］：

ΔP=αV+βV2（3）

式中： V為流體平均速度； α為互易滲透率； β為非達西流動系數， β與通道的孔隙大小、 形狀、 孔隙率有關。

對于非達西流動， 采用雷諾數Re作為判別準則。 雷諾數可以表示為慣性力與粘性力的比值， Re=ρUL0/μ， 其中， L0為通道的水力直徑， 作為系統的特征長度可以用4A/P來表示， A為通道橫截面積， P為周長。 在二維和三維的情況下， 通道的水力直徑分別為2w和2wh/（w+h）， h為三維情況下， 通道橫截面的高度。 因此， 在二維和三維情況下， 通道的特征速度分別是Q/w和Q/（wh）。 雷諾數與流量之間的關系式分別為Re=2ρQ/μ 與Re=2ρQ/μ（w+h）。 多孔介質的流動可以分為三種， 即線性達西流動、 立方過渡流動和二次Forchheimer流動， 對于本文提出的有障礙物通道流動， 適用于Forchheimer方程。 轉化為通道出入口壓降與流量之間的非線性關系， 方程的具體表示式如下：

－ΔP=αμ2L2ρwRe+βμ2L4ρw2Re2 （4）

式中： α與β分別是通道系統的互易滲透率和非達西流動系數， 都只和障礙物通道幾何構型有關。

驗證布雷斯悖論需要通過障礙物通道的模擬獲得該通道所對應的互易滲透率α和非達西流量系數β， 兩者都完全取決于含障礙物通道系統的幾何形狀。 已知H型通道兩個入口和兩個出口的壓力邊界條件， 根據沿通道壓力守恒方程和流量守恒方程可以獲得如下的方程組：

Pin－P1=12μL1w3Q1（5）

Pin－P2=12μL1w3Q2（6）

P2－PoutL4=αμwQ4+βμw2Q24（7）

Q3+Q2－Q4=0（8）

Q3+Q5－Q1=0（9）

根據方程組可獲得兩個出口段的流量、 出口段的流量之和近似為H型通道的總流量。

1.3 數值方法驗證

仿真模擬利用壓力基求解器， 管內流動選擇k-ε SST模型， 壓力耦合算法選擇Simple算法。 雷諾數與速度之間存在V=Reμ/（ρL） 的線性關系， 入口邊界設置為速度入口條件， 出口邊界條件統一設置為0 Pa， 環境壓強設置為0 Pa， 通道內部流體工質為水， 物性參數從數據庫中選擇。

為了驗證仿真方法的可靠性， 首先進行網格無關性檢驗。 針對同一模型劃分不同分辨率的網格， 網格量分別為40萬、 120萬和180萬。 計算過程中模型的選取完全一致， 控制邊界條件相同。 以入口靜壓為控制變量， 利用已有的理論基礎計算H型通道總流量， 仿真結果如圖5所示。

由圖5可知， 在40萬、 120萬、 180萬的網格尺度下H型流道的仿真結果差異較小。 為了保證仿真結果的可靠性， 并且減少計算消耗的資源， 采取120萬的網格開展仿真分析。

選取文獻［11］的微流體通道仿真案例， 構建相同的模型進行仿真模擬， 設置入口靜壓邊界條件在100～2 000 Pa范圍內變化的10組工況， 提取H型通道開閉狀態下P1， P2點處的靜壓數據。 將文獻［11］的結果與本文的仿真后處理數據進行比較， 如圖6所示。

通過計算獲得H型通道在對應工況下開閉連接通道， 系統的總流量Qlink 與Qnolink ， 開閉連接通道前后系統流量相對變化率（Qlink－Qnolink）/Qlink隨入口靜壓Pin變化的曲線。" 當（Qlink－Qnolink）/Qlink小于0時，" 發生了布雷斯悖論現象。 隨著入口靜壓的增加， （Qlink－Qnolink）/Qlink從大于0的起點先增加后減小， 到達臨界壓力P0處（P0大約等于600 Pa）（Qlink－Qnolink）/Qlink等于0， 出現布雷斯悖論現象； 隨著入口壓力的增加， 系統的布雷斯悖論現象始終存在。 與文獻［11］的結果比較， 各通道段的流量變化趨勢基本相同。 均在500～1 000 Pa范圍內發生了布雷斯悖論， 證明了本文的數值模擬方法具有可靠性。

文獻［11］中的測量實驗如圖7（a）所示， 在不同入口壓力邊界條件下， 連接通道L3流動方向轉變， 入口壓力Pin=2 000 Pa， L3的流動方向為正， 入口壓力Pin=5 000 Pa， L3流動方向為負， 發生布雷斯悖論， 針對實驗構建相同的仿真模型如圖7（b）所示， 在對應壓力下， 發生相同的流動轉換現象。

為了證明施加壁面熱流條件下， 基于剪切應力模型， 利用Simple求解器的數值模擬方法具有可靠性， 構建單管壁面熱流模型， 如圖8所示。 選取文獻［17］中單管實驗的實驗數據與仿真數據進行對比， 如圖9所示。

由圖9可知， 煤油與壁面溫度隨沿程逐漸上升， 煤油溫度小于壁面溫度， 實驗數據與仿真數據基本吻合， 證明了仿真方法的可靠性。

2 結果分析

2.1 障礙物通道段仿真

針對有障礙物通道網絡內的超臨界流動開展數值仿真， 壓力、 速度云圖以及流線圖如圖10～12所示。

如圖10可知， 相同雷諾數條件下不同障礙物通道模型的壓力分布存在顯著差異。 障礙物前部出現高壓區， 后部形成一個低壓區域。 由于障礙物區域導致流通面積縮小， 相同流量條件下流動速度加快。 縱向對比不同障礙物通道， 發現障礙物分布位置不同流動損失差異較大。 障礙物與壁面之間的距離減小， 通道網絡中有效流阻面積減小。 極端情況障礙物排列在管道中軸線上， 障礙物通道兩側壓降最低； 障礙物之間的距離增大， 也會降低整個系統的流動損失， 障礙物之間相互作用減弱， 對流體流速的疊加作用減少。 障礙物體積變化可直接改變障礙物的有效流通面積， 流經障礙物所需要的壓力損失減小。 如圖11所示， 障礙物通道參數改變， 對流動加速作用產生重要影響。 隨著障礙物之間距離增大， 流體加速效應減弱， 障礙物與壁面之間距離增大， 對側面流體的加速效應先增大后減小； 障礙物空間尺度減小， 相較于原來的障礙物通道， 流通面積反而增大， 局部流動加速作用減弱。 圖12展示了障礙物通道的流線分布， 發現圓柱形障礙的存在導致下游出現1～2個回流區， 而障礙物體積變化對回流區空間尺度造成了顯著影響。

根據數值仿真結果擬合有障礙物通道內流動雷諾數Re與－ΔP/Re散點圖， 獲得一次函數曲線， 給出了各個通道的Forchheimer公式， 如圖13所示。 2.2 H型通道仿真不同入口壓力條件下， 典型H型通道網絡在連接通道開閉情況下流動的速度和壓力云圖如圖14～15所示。

圖14～15展示了在2 000 Pa入口壓力條件下H型通道網絡中流體的壓力速度分布云圖。 對比分析可以得到如下結論： （1）相較于通道斷開工況， 當通道處于連接狀態時上半部分通道（L2與L4）的壓力下降更平緩， 而下半部分通道（L1與L5）的壓力下降速度更快； （2）位于連接通道與水平通道相交的兩個拐角處壓力變化最劇烈， 上半部分通道出現高壓區， 而下半部分通道呈現低壓狀態， 該現象與連接通道L3流體的流動方向密切相關； （3）水平通道經過連通以后， 上下兩個水平通道之間的壓力分布差異減小； （4）由于管道的流阻不同， 沒有連接通道加入時上半部分通道的流速偏小， 而下半部分通道的流速偏大； 當系統處于連接狀態時上下兩部分管道的流速差異減小， 上半部分管道流速增大， 下半部分管道流速減小。

根據仿真所獲得的數據， 取拐角點P1與P2的壓力值， 結合入口與出口靜壓進行數據后處理。 不同H型通道模型在連接通道開閉狀態下的系統總流量差值隨入口靜壓邊界條件的變化如圖16所示。

針對圖16中的擬合曲線可知， 布雷斯悖論現象在連通的冷卻通道網絡流動中同樣存在， 但發生規律受到通道模型和流動工質的制約， 具體結論如下： （1）由于工質和冷卻通道模型的變化， 相較于微流體實驗， 再生冷卻通道網絡內超臨界流動布雷斯悖論發生的臨界壓力點前移， 向入口靜壓為0 Pa的點逼近； 大部分工況下壓力起始點發生了布雷斯悖論， 即連接通道關閉狀態的系統流量大于連接通道開啟狀態的系統流量； 入口靜壓增加到臨界壓力點P0， 布雷斯悖論現象消失， 即系統流量開始大于連接通道關閉狀態的系統流量。 （2）由圖16（e）和（f）可知， 連接通道位置向入口前移， 布雷斯悖論的消失點壓力P0增大， 連接通道截面寬度增加， 布雷斯悖論消失壓力點前移。 （3）當H型管道的障礙物通道段的流阻減小， 布雷斯悖論壓力消失點P0會發生前移。 （4）分析對比各部分通道的流量大小， 布雷斯悖論現象的變化規律主要由出口通道L5的流量變化導致。

2.3 熱流邊界條件下的三維仿真

為了更加直觀地研究通道內部流體各個截面的流動狀態與溫度分布情況， 繪制在入口靜壓Pin=2 800 Pa ， 壁面熱流密度q=10 000 W/m2， H型通道的截面云圖， 如圖17～18所示。

分析圖17～18， 由于無滑移邊界條件的存在， 流體靠近壁面側的速度較小， 內部的速度較大， 在障礙物段，" 由于障礙物的存在，" 流體截面的速度分布規律被干擾，" 障礙物分布在來流上側， 同一截面處， 上側來流的速度小于下側， 反之相同。 在流動沿程方向， 隨著流體流經通道， 與高溫壁面進行熱交換， 流體的溫度逐漸升高， 靠近壁面的外側流體域溫度高于流體域內部溫度， 沿著外側向內側， 出現溫度分區現象。

進一步探究壁面熱流條件對系統布雷斯悖論發生規律的影響， 以H型通道結構工況為仿真對象， 對壁面熱流分別為0 W/m2， 500 W/m2， 100 000 W/m2的H型通道系統進行三維仿真， 分別取入口靜壓邊界條件為500～3 000 Pa的6組工況進行仿真測試， 將連接通道開啟狀態的H型通道系統流量與連接通道閉合狀態的H型通道系統流量進行比較。

圖19展示了在不同的熱流邊界條件下， 隨入口靜壓的增加， 連接通道開啟狀態的H型通道系統流量與連接通道斷開狀態的H型通道系統流量變化趨勢。 熱流邊界條件增大， 通道內部流場的溫度升高， 流體工質的密度改變， 工質的密度分布不均勻， 入口段的工質密度大于出口段的工質密度， 布雷斯悖論消失的臨界入口靜壓點P0向零靠近， 當熱流邊界條件大于某一臨界值q0時， 該結構工況的布雷斯悖論現象不存在， 此結構工況只在低熱流邊界條件下發生布雷斯悖論。

3 結" 論

流量合理分配是超燃沖壓發動機再生冷卻系統設計面臨的關鍵問題之一， 需要在研制階段重點突破。 考慮加工誤差造成通道并聯這一極端情況， 建立了H型通道網絡這一簡化模型， 探究宏觀尺度通道內是否存在布雷斯悖論現象； 在此基礎上評估了障礙物尺寸、 H型通道尺寸和熱流密度的影響， 分析了不同工況下系統總流量變化規律， 為再生冷卻通道流量分配方案設計提供支撐。 研究所獲得的結論如下：

（1） 針對H型通道網絡模型， 對比連接通道開閉情況下系統總流量大小， 證實了布雷斯悖論現象的存在， 即在某一入口靜壓邊界條件范圍內， 連接通道開啟狀態的H型通道總流量反而小于連接通道關閉狀態下的H型通道總流量。

（2） 在200 Pa的起始入口靜壓條件下的案例普遍存在布雷斯悖論現象； 隨著入口靜壓增加， 達到臨界壓力P0時該現象消失； 改變H型通道模型參數， 布雷斯悖論現象發生與消失的臨界壓力點也相應地發生偏移； 調節通道截面積、 降低障礙物通道阻力， 能夠控制布雷斯悖論現象的出現和消失。

（3） 探究出入口壓降、 通道結構、 熱流密度對H型通道內流體狀態的影響規律。 熱流密度增加， H型管道內流場溫度增加， 入口通道段溫度小于出口通道段溫度； 通道結構變化， H型通道內的壓力與溫度分布發生變化， 通道結構的流阻增加、 出口油溫上升， 溫度分布更加不均勻； 熱流密度增加， 通道出口煤油溫度增加。

（4） 比較連接通道開啟和閉合狀態下通道內的溫度分布， 連接通道斷開時， L1和L5段溫度明顯高于L2和L4段； 連接通道開啟后， 通道內溫度分布均勻， L1和L5段溫度下降， L2和L4溫度上升。

（5） 分析H型通道截面速度溫度分布， 靠近壁面流場速度小于流場內速度， 靠近壁面溫度大于向流場中心區域的溫度。

（6） 分析了熱流密度對流道網絡內流動布雷斯悖論的影響規律， 發現隨著熱流密度增加， 布雷斯悖論消失的臨界壓強點P0前移。

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Study on Braess’s Paradox in Supercritical Flow in

Regenerative Cooling Channel

Zou Junbo1， Liu Chaoyang^1*， Li Xin1， Zhang Jincheng1， Wu Xiaomeng2

（1. College of Aerospace Sciences， National University of Denfense Technology， Changsha 410073， China；

2. State Key Laboratory of Space Power-Sources， Shanghai Institute of Space Power-Sources， Shanghai 200245， China）

Abstract： The regenerative cooling system based on hydrocarbon fuel is the key to breaking through the long-term reliable operation of scramjet engines. The local connections that may be caused by machining errors will change the flow distribution of the system， which will easily cause structural damage. Existing studies have found that the Brass’s paradox phenomenon of flow will occur in the micro-network channel under specific working conditions， that is， the system flow is lower when the channel network is locally connected than when it is not connected. This paper focuses on exploring whether Braess’s paradox will occur in the locally connected channel network under macro-scale conditions， focusing on the conditions and influencing factors of this phenomenon， and studying the influence of system flow changes on the heat transfer characteristics of thermal protection systems. First， based on the numerical simulation method， the existence of Braess’s paradox phenomenon is proved， that is， the total flow rate of the H-shaped channel in the open state of the connecting channel is smaller than the total flow rate in the closed state of the connecting channel under certain working conditions. Then， considering factors such as obstacle position， size， connection position， and width， the simulation results and the system flow rate of parallel cooling channels are compared and analyzed. On this basis， the law of Braess’s paradox phenomenon is summarized.

Key words：" regenerative cooling channel； Braess’s paradox; supercritical fluid; convective heat transfer