抓聯(lián)系 找共性 求突破

第8章 整式乘法

領(lǐng)" 銜" 人：黃秀旺（正高級教師、江蘇省特級教師）

組稿團隊：江蘇省南京市初中數(shù)學(xué)黃秀旺名師工作室

“整式乘法”這一章由“單項式乘單項式”“單項式乘多項式”“多項式乘多項式”“乘法公式”四個內(nèi)容組成。要想依托這四個內(nèi)容的學(xué)習(xí)發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，我們必須對這些內(nèi)容有一個整體性的深刻認識。

理清不同內(nèi)容之間的聯(lián)系

回溯七年級上學(xué)期，我們已初步掌握了整式的加減運算。如同數(shù)的運算體系需要不斷豐富和完善，整式的運算同樣需要我們進一步探索與學(xué)習(xí)。在數(shù)的運算思路啟發(fā)下，“整式乘法”成為我們當(dāng)下學(xué)習(xí)的重點。

整式，作為代數(shù)表達的基本形式，包含了單項式和多項式兩大類。因此，整式乘法自然而然地涵蓋了單項式乘單項式、單項式乘多項式以及多項式乘多項式等多個層面。其中，多項式乘多項式的運算看似復(fù)雜，但通過類比數(shù)的乘法分配律，我們可以巧妙地將其轉(zhuǎn)化為單項式乘多項式，并進一步簡化為單項式乘單項式的形式（學(xué)習(xí)思路如下圖）。這一轉(zhuǎn)化過程凸顯了單項式乘單項式在整式乘法中的核心地位。

回顧過往的學(xué)習(xí)歷程，我們不難發(fā)現(xiàn)，冪的運算正是單項式乘單項式運算的基礎(chǔ)。可以說，第7章“冪的運算”的學(xué)習(xí)，為單項式乘單項式的掌握奠定了扎實的基礎(chǔ)。從這個角度來看，單項式乘單項式不僅是對過往知識的鞏固與深化，更是為后續(xù)整式乘法學(xué)習(xí)鋪設(shè)的重要橋梁。

把握探究活動中方法的共性

如下頁圖，在探究單項式乘單項式時，我們巧妙地借助計算“電視墻”的面積來揭示其運算規(guī)律；在探索單項式乘多項式時，是通過計算窗戶的采光面積來領(lǐng)悟其運算本質(zhì)；而在研究“多項式乘多項式”時，我們則是利用計算長方形綠地的面積來發(fā)現(xiàn)其運算法則。同樣地，當(dāng)我們步入“乘法公式”的探究之旅，也是通過計算圖形的面積來洞察公式背后的奧秘。回顧這些探究活動，我們不難發(fā)現(xiàn)一個共通之處：它們都采用了“用不同的方法計算同一個圖形的面積”這一策略。通過歸納與總結(jié)，我們得以提煉出相應(yīng)的法則或公式，隨后再經(jīng)由嚴(yán)密的演算來驗證這些結(jié)論的正確性。

這一系列的探究歷程，實質(zhì)上就是我們經(jīng)歷從合情推理到演繹推理的完整過程。在這個過程中，我們不僅掌握了數(shù)學(xué)知識，更重要的是，學(xué)會了數(shù)學(xué)思考的方法，形成了解決問題的基本思路。

注重發(fā)展運算能力及代數(shù)推理能力

在計算過程中，我們時常會犯錯，許多同學(xué)往往簡單地將之歸因為粗心大意，但實際上，這往往源于對運算規(guī)則執(zhí)行不夠嚴(yán)謹(jǐn)。因此，計算時，我們應(yīng)分步進行，并清晰闡述每一步運算的理論依據(jù)。在初學(xué)階段，運用運算法則時，我們應(yīng)詳盡地書寫運算步驟，避免“跳步”，以確保對算理（即運算的法則或原理）的深入理解。當(dāng)我們對算理逐漸熟練后，可以適當(dāng)簡化運算步驟，追求更高效的計算方法，這是一個循序漸進的過程。

對于運算法則或公式，我們的掌握不應(yīng)僅停留在簡單的計算和化簡層面，有時還需要利用它們進行邏輯推理。也就是說，從已知條件出發(fā)，依據(jù)法則或公式，逐步推導(dǎo)出新的結(jié)論。例如，觀察下列式子：2×4+1=9，4×6+1=25，6×8+1=49……探索以上式子的規(guī)律，試寫出第n個等式，并證明第n個等式成立。

因此，我們需要進行有針對性的練習(xí)，通過不斷實踐來提升對運算法則和公式的理解和運用能力，同時發(fā)展我們的邏輯推理能力。這樣，我們才能更準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，更有效地解決數(shù)學(xué)難題。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室）