用GeoGebra解決變加速情境試題的數據不自洽問題

【摘要】變加速直線運動情境是物理學中描述物體運動狀態的一個重要概念，高中物理常常以圖像形式進行定性考查，涉及定量研究的情境往往都是難題，在試題命制過程中也極易出現問題.本文以電磁感應定律綜合應用和機車恒定功率啟動為例，分析變加速情境中典型的數據不自洽問題，并給出建議和策略.

【關鍵詞】變加速直線運動；高中物理；解題技巧

電磁感應定律綜合應用和機車恒定功率啟動是高中典型的變加速直線運動，特別是電磁感應定律綜合應用對學生的綜合能力要求很高，是高考的壓軸題目，也是學生常規訓練的題目，但是這類題目在改編的過程中存在為方便計算而隨意給出數據的現象，引發了與事實不符的科學性問題.

1 電磁感應定律綜合應用

例1 無限長平行金屬導軌位于水平面內，間距L=0.5m，導軌左端cd處接有阻值R=0.4Ω的電阻，空間中存在磁感應強度大小B=0.2T的勻強磁場，磁場方向豎直向下.質量m=0.1kg、有效電阻r=0.1Ω的導體棒ab靜止在導軌上，某時刻開始受到大小為F=0.1N、方向向右的水平外力作用，導體棒ab沿導軌向右運動x=5m時，已經開始做勻速運動，之后撤去外力F，導體棒ab最終靜止.導體棒ab始終與導軌垂直且接觸良好，線框的電阻不計，不計摩擦及空氣阻力.求：撤去外力到最終靜止的過程中，導體棒ab上產生的焦耳熱.

原題參考答案 撤去外力后，導體棒ab的動能轉化為總的焦耳熱，即Q=12mv2，導體棒ab產生的焦耳熱Qab=rR+r·Q，解得Qab=0.25J.

解析 此處的初態動能是錯誤的.此時導體棒并未達到勻速狀態，不能直接代入勻速直線運動的速度.這是命題人為了計算方便隨意編造的數據.把以上問題簡化成一般模型：設平行金屬導軌間距為L，導軌左端電阻阻值為R，空間中存在方向豎直向下、大小為B的勻強磁場.質量為m、電阻忽略不計的導體棒靜止在導軌上，某時刻開始受到水平向右的恒力F作用.利用牛頓第二定律和電磁感應定律可得F－BIL=ma，I=BLvR，整理得Fm－B2L2vRm=a，代入a=dvdt可得Fm－B2L2vRm=dvdt；

分離變量可得dt=1Fm－B2L2vRmdv，

兩端同時積分可得∫t0dt=∫v01Fm－B2L2vRmdv，即不定積分為t=－RmB2L2lnFm－B2L2vRm+C；將初始條件t=0，v0=0代入，可得C=RmB2L2lnFm，

則t=－RmB2L2lnFm－B2L2vRm+RmB2L2lnFm，通過變換可得v－t關系：v=RFB2L2－eRmB2L2lnFm－t.可見v－t關系是單調遞增關系，當t→+∞時v=RFB2L2.即當時間為無窮大時，加速度只能趨近于0，最終只能趨近勻速.嚴格來講，此模型中導體棒始終處于加速狀態，并不存在平衡狀態.

代入題目中的數據可得t=－5ln（1－0.2v），進行整理得－0.2t=ln（1－0.2v），等式兩端同時變為e的指數，等式變為e－0.2t=eln（1－0.2v） ，化簡得v－t關系v=5－5e－0.2t.接下來可以通過微分和積分得到a－t關系a=e－0.2t和x－t關系x=5t+25e－0.2t－25.代入x=5m方程變為5=5t+25e－0.2t－25，此方程中t不易直接求解.采用函數圖像交點的方法可以更快得到方程的解.利用GeoGebra軟件畫出x=5和x=5t+25e－0.2t－25的函數圖像，此時交點橫坐標為方程的解.在取兩位小數精度的情況下t=3.53s，可以繼續計算得出a=0.49m/s2、v=2.53m/s.此時加速度不為0，導體棒仍處于加速狀態，并非勻速狀態的v=5m/s.也可以如圖1所示，通過圖形定性判斷此時運動狀態，或利用t=3.53s時v－t、a－t圖像的縱坐標直接讀取.

2 恒定功率啟動

例2 某型號發動機的額定功率為60kW，汽車的質量為2000kg，在水平直線公路上行駛時所受阻力恒為4000N，若汽車從靜止以額定功率啟動，20s后汽車已經做勻速直線運動.求：由靜止開始啟動20s內汽車的位移.

原題參考答案 由動能定理得Pt－fx=12mv2，代入數據解得x=243.75m.

解析 其實此處末態動能同樣是錯誤的.此時汽車并未達到勻速狀態，不能直接代入勻速直線運動速度.把以上問題簡化成一般模型：汽車發動機的額定功率為P，質量為m，在水平直線公路上行駛時所受阻力恒為f.汽車從靜止以額定功率啟動，運行時間為t后，汽車已經做勻速直線運動.利用牛頓第二定律和瞬時功率公式可得P=Fv、F－f=ma、a=dvdt，整理可得Pv－f=mdvdt，分離變量1mdt=vP－fvdv，進行不定積分可得t=－Pmln1－fpv－fmv+C，帶入初始條件t=0，v0=0，可得C=0，即t－v關系為t=－Pmln1－fpv－fmv，此函數為單調遞增函數，但不易轉換為v－t關系.如將最大速度vm=Pf代入，則發現函數此刻無意義，時間t趨近于正無窮.嚴格來講，恒定功率啟動中汽車始終處于加速狀態，是加速度逐漸減小的加速運動，并不存在平衡狀態.

代入題目中的數據可得t=－30ln1－v15－2v，因為函數與反函數關于y=x對稱，可以在GeoGebra軟件中先畫出t－v關系圖像，之后利用對稱功能快速找到v－t關系圖像.當t=20s時v=11.4m/s，并未達到題目中的勻速狀態，因此答案中的末態動能數據有誤.

3 結語

高中生憑借現有的數學能力或許并不能發現試題命制中的問題，大部分學生能夠按照一定的解題方法得出與參考答案相匹配的結果.然而，物理學作為一門嚴謹的學科，不僅要求學生能解答問題，更重要的是要培養學生的科學思維和實事求是的科學態度.為了避免在試題命制的過程中出現數據不自洽的現象，可以采取以下幾種策略.首先，用字母替代具體數據.這樣在出題過程中就不會因數據錯誤而導致出現問題，但是計算過程中無法約分，這可能使得最終的表達式較為復雜，增加學生的計算量.其次，通過計算給出準確數字.對于一些難以手動計算的數據，可以借助計算機軟件來完成.最后，對題目中的數據取近似值.現實生活中的數據來自測量，測量一定存在誤差.在命題的過程中，可以通過對真實情境進行計算，選取恰當的近似值.既可以符合情境的真實性，也凸顯嚴謹性和科學性.