回歸模型破解綜合與實踐問題

隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》的出臺，體現綜合與實踐的問題越來越受各地中考命題人的關注. 從解答的角度看，無論是貼近實踐還是傾向綜合，抑或兼而有之，均可以聯想學過的數學模型來化歸破解.

原題再現

例1 （2024·新疆）數學活動課上為了測量學校旗桿的高度，某小組進行了以下實踐活動：

（1）準備測量工具.

①測角儀：把一根細線固定在半圓形量角器的圓心處，細線的另一端系一個小重物，制成一個簡單的測角儀（如圖1），利用它可以測量仰角或俯角；

②皮尺.

（2）實地測量數據.

①將這個測角儀用手托起，拿到眼前，使視線沿著測角儀的直徑剛好到達旗桿的最高點（圖2）；

②用皮尺測出所站位置到旗桿底部的距離為16.8 m，眼睛到地面的距離為1.6 m.

（3）計算旗桿高度.

①根據圖3中測角儀的讀數，得出仰角∠α的度數為 .

②根據測量數據，畫出示意圖如圖4，AB = 1.6 m，BC = 16.8 m，求旗桿CD的高度（精確到0.1 m，參考數據：sin 35° ≈ 0.57，cos 35° ≈ 0.82，tan 35° ≈ 0.70，sin 55° ≈ 0.82，cos 55° ≈ 0.57，tan 55° ≈ 1.43）.

③若測量者仍站在原處（B點），能否用三角板替代測角儀測出仰角α？若能，請寫出測量方法；若不能，該如何調整位置才能用三角板測出仰角α？請寫出測量方法.

破解策略

第（3）問的①和②兩個小題對考生應用三角函數模型的計算能力進行了考核，而第（3）問的③小題屬于條件開放類題目，體現了對解決實際問題的實踐性的考查，相當于設計實踐活動的簡易方案. 此問的限定性條件是三角板能夠提供的特定角度30°，45°，60°（也可能是通過兩個三角板的拼擺得到的15°，75°），開放性條件則是改變測量者眼睛的位置，包括只改變豎直方向（踮腳或下蹲，然后用皮尺測量眼睛到地面的距離）、只改變水平方向（需要從B點處在直線BC上向靠近或遠離旗桿的方向移動）、兩個方向同時改變. 解答時需要運用分類討論思想并采用控制變量法.

1. 測量者仍站在原處（B點），只在豎直方向改變測量者眼睛的位置.

（1）先從踮腳提升測量者眼睛高度進行嘗試. 如圖5，易知此時仰角會小于第（3）問①中的∠α，故選用30°進行計算，易得FA ≈ 2.1 m. 由第（2）問②的“眼睛到地面的距離為1.6 m”可知，此時眼睛提升的距離遠超測量者身高，絕非“踮腳”能實現，故通過兩個三角板的拼擺得到的15°也不必探討了.

（2）再從下蹲降低測量者眼睛高度進行嘗試. 如圖6，易知選用45°時測量者的眼睛應處于地面BC下方，故不成立. 因此，三角板的60°以及通過兩個三角板的拼擺得到的75°也不必探討了.

2. 測量者在直線BC上向靠近或遠離旗桿的方向移動，只在水平方向改變測量者眼睛的位置.

易知測量者在直線BC上向遠離旗桿的方向移動時仰角會減小，反之增大.

（1）測量者在直線BC上向遠離旗桿的方向移動時，先選用30°進行計算. 如圖7，易得FB ≈ 3.6 m，具備可操作性. 進而通過兩個三角板的拼擺得到的15°（FB ≈ 27.2 m）也是可行的.

（2）測量者在直線BC上向靠近旗桿的方向移動時，先選用45°進行計算. 如圖8，易得FB ≈ 5.0 m，具備可操作性；再選用60°進行計算，易得FB ≈ 10.0 m，具備可操作性. 進而通過兩個三角板的拼擺得到的75°（FB ≈ 13.6 m）也是可行的.

3. 既然水平方向移動位置已經成功解決了問題，就沒有在兩個方向上同時改變的必要了.

參考答案：（1）（2）略. （3）①35°. ②13. 4 m（解題過程略）. ③不能. 如圖9，若使用30°，60°，90°的三角板，可以把三角板的長直角邊與測量者的水平視線FE重合，30°角的頂點F貼近測量者的眼睛，視線沿著三角板的斜邊向上看，然后測量者向遠離旗桿的方向后退，直至退到斜邊所在射線恰好經過旗桿頂端點D，此時的仰角為30°. 標記好測量者此時所在的位置，測量測量者此時眼睛到地面的距離FG及測量者與旗桿的距離GC，即可通過解直角三角形進行計算. 如果選用30°，60°，90°三角板的60°角及選用45°，45°，90°的三角板，那么也如此測量即可.

變式訓練

例2 先閱讀下列材料，再解答后面的問題.

（1）等高線概念：在地圖上，我們把地面上海拔高度相同的點連成的閉合曲線叫等高線. 例如，如圖10，把海拔高度是50米、100米、150米的點分別連接起來，就分別形成50米、100米、150米三條等高線.

（2）利用等高線地形圖求坡度步驟如下（如圖11）.

步驟一：根據A，B兩點所在的等高線地形圖，分別讀出點A，B的高度，A，B兩點的垂直距離 = 點A，B的高度差；

步驟二：量出A，B在等高線地形圖上的距離d，若等高線地形圖的比例尺為1∶n，則A，B兩點的水平距離 = dn；

步驟三：AB的坡度 = [垂直距離水平距離] = [點A，B的高度差dn].

某中學學生小明和小丁生活在山城，示意圖如圖12，小明每天上學從家A經過B沿著公路AB，BP到學校P，小丁每天上學從家C沿著公路CP到學校P. 該山城等高線地形圖的比例尺為1∶50 000. 在等高線地形圖上量得AB = 1.8厘米，BP = 3.6厘米，CP = 4.2厘米.

（1）分別求出AB，BP，CP的坡度（同一段路均視為筆直山路，中間坡度的微小變化忽略不計）.

（2）若他們早晨7點同時步行從家出發，中途不停留，誰先到學校？（假設當坡度在[110]到[18]之間時，小明和小丁步行的平均速度均約為1.3米/秒；當坡度在[18]到[16]之間時，小明和小丁步行的平均速度均約為1米/秒.）

參考答案：（1）AB的水平距離 = 1.8 × 50 000 = 90 000（厘米） = 900（米），

AB的坡度 = [200-100900] = [19]；

BP的水平距離 = 3.6 × 50 000 = 180 000（厘米） = 1 800（米），

BP的坡度 = [400-2001800] = [19]；

CP的水平距離 = 4.2 × 50 000 = 210 000（厘米） = 2 100（米），

CP的坡度 = [400-1002100] = [17].

（2）小明先到學校.

因為[110] lt; [19] lt; [18]，所以小明在路段AB，BP上步行的平均速度均約為1.3米/秒. 因為[18] lt; [17] lt; [16]，所以小丁在路段CP上步行的平均速度約為1米/秒. 斜坡AB的距離 = [9002+1002] ≈ 906（米），斜坡BP的距離 = [18002+2002] ≈ 1811（米），斜坡CP的距離 = [21002+3002] ≈ 2 121（米），所以小明從家到學校的時間 = [906+18111.3] = 2 090（秒）. 小丁從家到學校的時間約為2 121秒. 因此，小明先到學校.

從上述例題可以看出，指向綜合與實踐的題目確實對同學們的解題能力有較大的挑戰，但只要同學們善于透過現象看本質，精準聯想題目背后所隱藏的數學模型，問題也就峰回路轉不難求解了.