中考函數“新定義”問題破解策略

隨著教育改革的不斷推進，函數“新定義”問題在近幾年中考數學中頻頻出現. 下面舉例介紹此類問題的破解策略.

類型1：由圖像條件定義新函數

此類型題在我們已學函數知識的基礎上，根據函數圖像和性質，從函數圖像角度定義新函數. 一般先給出定義，再辨析定義，最后關聯已有知識，嘗試應用“新定義”解決較復雜的綜合類問題. 破解此類題目時，首先應讀懂“新定義”的條件和結論；其次要通過辨析“新定義”，深入理解其含義，為解決綜合問題做好鋪墊；最后要結合函數自身屬性的知識解決復雜問題.

例1 如圖1，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形OAB的直角邊長為n（n為正整數，且n ≥ 2），點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上. 若點M（x，y）在等腰直角三角形OAB邊上，且x，y均為整數，則定義點M為等腰直角三角形OAB的“整點”.

若某函數的圖像與等腰直角三角形OAB只有兩個交點且交點均是等腰直角三角形OAB的“整點”，則定義該函數為等腰直角三角形OAB的“整點函數”.

（1）如圖2，當n = 3時，函數[y=mx]的圖像經過C（1，2），判斷該函數是否為“整點函數”，并說明理由；

（2）當n = 4時，二次函數y = ax2 + bx + 2經過AB的中點，若該函數是“整點函數”，求a的取值范圍.

解析：（1）把C（1，2）代入反比例函數[y=mx]中，得m = 2，

所以反比例函數解析式為y [=2x].

由A，B兩點坐標，利用待定系數法可求得直線AB的解析式為y = -x + 3.

聯立反比例函數和一次函數解析式，解方程組，

可得反比例函數與等腰直角三角形的交點坐標為（1，2）和（2，1），

所以該函數是“整點函數”.

（2）當n = 4時，由A（4，0），B（0，4），得AB的中點坐標為（2，2）.

根據題意，可知y = ax2 + bx + 2經過點（2，2），

將點（2，2）帶入二次函數解析式，得2 = 4a + 2b + 2，

化簡，得b = -2a.

所以二次函數解析式為y = ax2 - 2ax + 2.

至此，將含有兩個參數的二次函數化簡為含有一個參數的二次函數.

觀察二次函數解析式，發現此函數圖像的對稱軸是確定的，為直線x = 1，進一步可求得拋物線的頂點坐標為（1，2 - a），頂點的縱坐標隨a的變化而變化. 由于“整點函數”是由圖像給出的新定義，所以欲研究二次函數圖像和等腰直角三角形OAB有兩個交點的情況，需要畫草圖判斷有兩個交點時的等價條件. 因為二次函數開口方向不確定，所以要討論a gt; 0和a lt; 0兩種情況.

如圖4，當a gt; 0時，因為要滿足拋物線與等腰直角三角形只有兩個公共點的條件，通過嘗試畫圖，可發現其等價條件是拋物線頂點的縱坐標2 - a gt; 0，解得a lt; 2，故0 lt; a lt; 2；

如圖5，當a lt; 0時，通過嘗試畫圖，可發現拋物線與x軸正半軸的交點在點A的右側，即當x = 4時，y gt; 0. 將x = 4代入解析式，得16a - 8a + 2 gt; 0，解得a [gt;-14]，故[-14lt;] a lt; 0.

綜上所述，a的取值范圍為0 lt; a lt; 2或[-14 lt; ]a lt; 0.

點評：第（2）問的解答建立在第（1）問理解新定義的基礎之上. 根據條件求得二次函數解析式為y = ax2 - 2ax + 2，雖然圖像是變化的，但可發現二次函數的頂點橫坐標是確定的，得二次函數圖像的對稱軸為直線x = 1，由此再對圖像開口方向進行討論. 由于二次函數圖像與三角形有且只有兩個交點，通過畫圖（圖4和圖5），發現虛線圖像不滿足“整點函數”定義，進而探索出滿足“整點函數”的等價條件，得到關于a的不等式，再解不等式即可得到結論. 本題是在新定義的背景下，充分考查了二次函數的本質屬性，要求考生能靈活利用轉化思想、數形結合思想充分發掘題目的條件和結論.

類型2：由解析式條件定義新函數

此類型題是根據已知函數的圖像及性質，從代數角度直接定義新函數解析式，要求考生根據新函數圖像及性質解決“新問題”. 其解題思路是先理解定義，再結合二次函數自身屬性及區間最值等知識進行分類討論，從而解決問題.

例2 若關于x的函數y，當t [- 12] ≤ x ≤ t [+ 12]時，函數y的最大值為M，最小值為N，令函數h [=M-N2]，則把函數h稱為函數y的“共同體函數”.

（1）若函數y = 4044x，當t = 1時，求函數y的“共同體函數”h的值.

（2）若函數y = -x2 + 4x + k，是否存在實數k，使得函數y的最大值等于函數的“共同體函數”h的最小值？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

解析：（1）將t = 1代入t [- 12] ≤ x ≤ t [+ 12]，得[12≤] x [≤32].

由一次函數解析式y = 4044x在此區間內y隨x的增大而增大，

得函數的最大值M = 6066，函數的最小值N = 2022，

根據“共同體函數”的定義得h = 2022.

（2）存在實數k，使得函數y的最大值等于函數y的“共同體函數”h的最小值.

理由如下：

將二次函數y = -x2 + 4x + k化成頂點式，得y = -（x - 2）2 + 4 + k，

可得函數的對稱軸為直線x = 2，圖像開口向下，y的最大值為4 + k.

①當2 ≤ t [- 12]，即t ≥ [52]時，

M = -[t-12-22] + 4 + k，N = -[t+12-22] + 4 + k.

所以h = t - 2，

此時h的最小值為[12].

由題意可得[12=] 4 + k，

解得k [=-72].

②當t [+ 12≤] 2，即t [≤32時]，

N = -[t-12-22] + 4 + k，M = -[t+12-22] + 4 + k.

所以h = 2 - t，

此時h的最小值為[12].

由題意可得[12=] 4 + k，解得k [=-72].

③當t - [12≤ ]2 ≤ t，即2 ≤ t ≤ [52]時，

N = -[t+12-22] + 4 + k，M = 4 + k.

故h[=12][t-322]，所以h的最小值為[18].

由題意可得4 + k [=18]，解得k[=-318].

④當t lt; 2 ≤ t [+ 12]，即[32≤] t lt; 2時，

N = -[t-12-22] + 4 + k，M = 4 + k，

故h [=12][t-522]，

所以h的最小值為[18].

由題意可得[18=] 4 + k，解得k [=-318].

綜上所述，k的值為[-72或-318].

點評：本題還可以用極限思想進行分類，討論x = t [+ 12]時對應二次函數圖像上的點到對稱軸水平距離大于或小于[12]的兩種情況. 不論哪種方法，都要結合函數圖像進行分類.

函數“新定義”問題作為新中考數學命題的重要組成部分，是在新情境中，考查同學們對函數知識的理解和應用的能力. 此類題目更具有“探究性”和“綜合性”，這就要求同學們在未來的數學學習中：一是要重視教材，讓教材發揮“母題”的作用；二是要以函數的性質為核心，不斷挖掘函數的自身屬性；三是要在情境中，體會函數在描述變化現象中的作用，重視數學語言的理解和表達.