基于模糊隸屬度的最優間隔分布矩陣分類器

摘要：

提出了一種模糊最優間隔分布矩陣分類器（Fuzzy Optimal-margin Distribution Matrix Classifier， FODMC）。 該模型通過整合模糊隸屬度理論與間隔分布優化機制， 實現了矩陣結構信息的有效提取與異常值的魯棒處理。 具體而言， FODMC采用基于間隔分布的損失函數來優化分類邊界， 結合核范數正則化策略保持矩陣的低秩特性， 并利用交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers， ADMM）實現模型的高效訓練。 在多個基準數據集上的實驗結果表明： 與現有方法相比， FODMC在分類準確率、 魯棒性和泛化能力等方面均展現出顯著優勢， 為矩陣數據分類問題提供了一種有效的解決方案。

關"鍵"詞：機器學習； 支持矩陣機； 支持向量機； 間隔分布； 模糊隸屬度

中圖分類號：TP18

文獻標志碼：A

文章編號：16739868（2025）04023009

Optimal-margin Distribution Matrix

Classifier Based on Fuzzy Membership

JIANG Shan¹，"YANG Jinrui²，"WU Shiyu²，

ZHANG Libo²，"YANG Fan³

1."College of Computer and Information Science， Southwest University， Chongqing 400715， China；

2."College of Artificial Intelligence， Southwest University， Chongqing 400715， China；

3."Chongqing Education Information Technology and Equipment Center， Chongqing 400020， China

Abstract：

This study proposes an innovative Fuzzy Optimal-margin Distribution Matrix Classifier （FODMC）． The model integrates fuzzy membership theory with margin distribution optimization mechanisms to achieve effective extraction of matrix structural information and robust handling of outliers． Specifically， FODMC employs a margin distribution-based loss function to optimize classification boundaries， incorporates a nuclear norm regularization strategy to maintain the low-rank characteristics of matrices， and utilizes the Alternating Direction Method of Multipliers （ADMM） for efficient model training． Experimental results on multiple benchmark datasets demonstrated that compared to existing methods， FODMC showed significant advantages in classification accuracy， robustness， and generalization capability， providing an effective solution for matrix data classification problems．

Key words：

machine learning； support matrix machine； support vector machine； margin distribution； fuzzy membership

支持向量機（Support Vector Machine， SVM）作為一種經典的分類算法， 自提出以來便在機器學習領域引起了廣泛關注。 其核心思想是通過最小化正則化項來實現分類誤差的最小化， 同時最大化兩類樣本之間的幾何間隔^［1-2］。 然而， 基于間隔分布（Margin Distribution， MD）理論的研究表明， 相較于單純優化最大間隔， 優化整體間隔分布對于提升模型性能具有更重要的意義^［3-4］。 在此理論基礎上， 文獻［5］對傳統支持向量機進行了重要改進， 通過引入間隔分布的均值和方差這兩個二階統計量， 提出了大間隔分布機（Large-margin Distribution Machine， LDM）。 這一方法不僅確保了所有樣本點都能對分類超平面的構建產生影響， 而且顯著提升了模型的泛化性能。

在現實世界的數據表征中， 矩陣形式因其多維信息承載能力已成為灰度圖像、 多通道腦電信號等復雜數據的標準表示形式^［6］。 大量實證研究表明， 此類矩陣信號普遍呈現出低秩或近似低秩的固有特性^［7］。 這種結構先驗為回歸矩陣的低秩建模提供了理論依據。 基于此， 學界相繼提出多種支持矩陣機（Support Matrix Machine， SMM）的改進框架。 文獻［8］提出了雙線性支持向量機， 但確定回歸矩陣秩的上界在實際操作中較為困難。 文獻［9］首次將回歸矩陣的秩直接納入目標函數， 然而這個做法也使得優化問題變得更加復雜。 文獻［10］將矩陣的核范數并入正則化的支持矩陣機， 在矩陣分類領域表現卓越， 并衍生出如遷移最小二乘矩陣機^［11］和辛幾何矩陣機^［12］等多種改進算法。 文獻［13］延續了核范數正則化的思想， 利用高階張量核范數將支持矩陣機推廣到張量數據集上， 提出了多分類低秩支持張量機。 此外， 針對矩數據陣的半監督機器學習， 文獻［14］基于流形正則化設計了矩陣圖嵌入分類器。 文獻［15］還提出了非平行有界支持矩陣機， 利用了一種約束范數組將損失函數有界化。 文獻［16］最近提出的最優間隔分布矩陣機（Optimal-margin Distribution Matrix Machine， ODMM）在保留矩陣結構信息的同時優化了間隔分布， 盡管其分類效果良好， 但在抗噪性能方面仍有提升空間。

有效表征樣本的可信度是提升矩陣分類器抗噪性能的關鍵。 在實際應用場景中， 由于噪聲干擾和數據不確定性等因素的影響， 不同樣本往往具有顯著的置信度差異^［17］。 在這一背景下， 模糊集理論因其在處理模糊性和不確定性方面的獨特優勢而得到廣泛應用， 其中模糊隸屬度函數能夠有效量化樣本屬于特定類別的程度， 從而為樣本置信水平的評估提供了數學基礎^［18］。 距離類中心較近的樣本通常具有較高的可信度， 而異常值則表現出較低的隸屬度值。 盡管模糊C-均值算法^［19］通過基于距離的模糊隸屬函數在多種任務中取得了顯著成效， 但作為無監督的軟聚類算法， 其難以充分利用監督學習中的標簽信息。 針對這一局限， 文獻［20-21］創新性地將模糊隸屬度引入監督分類框架， 構建了性能優越的監督分類器。 在矩陣數據分類領域， 文獻［22］提出的多分類模糊支持矩陣機通過融合模糊理論， 顯著提升了模型的分類性能。 基于上述研究進展， 對ODMM進行相應的改進已成為必然趨勢。

針對上述問題， 本文提出了一種新型矩陣分類器——模糊最優間隔分布矩陣分類器（Fuzzy Optimal-margin Distribution Matrix Classifier， FODMC）。 該模型通過引入模糊隸屬度機制動態調節各樣本對分類器訓練的貢獻度， 同時整合核范數正則化項與基于間隔分布的損失函數， 顯著提升了模型的泛化性能。 具體而言， FODMC具有以下優勢： 首先， 通過低秩優化有效捕獲矩陣數據的結構信息； 其次， 對訓練集中的異常值表現出優異的穩健性。 考慮到核范數導致目標函數非光滑的特性， 本研究采用交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers， ADMM）對優化問題進行高效求解。 通過在多個真實數據集上的系統性實驗驗證， FODMC在分類準確率等關鍵指標上均展現出顯著優勢， 充分證明了所提方法的有效性。

1"分類算法研究

1.1"模糊支持向量機

假設數據集{（x_i， y_i）｜i=1， 2， …， m}包含正、 負兩類樣本， 其中x_i∈Rⁿ并且y_i"∈{1， -1}， i=1， 2， …， m。 SVM通過優化如下的損失函數來得到一個分類平面ωTx_i+b=0：

min_ω，b 12‖ω‖²+C₀"∑mi=1ξ_i

s.t."ξ_i≥1-y_i（ωTx_i+b）"""ξ_i≥0"""i=1， …， m

（1）

式中： ω∈R_n為權重， b為偏置， ξ_i為第i個樣本的松弛變量， C₀為誤分類的懲罰系數。 盡管支持向量機是分類問題的有用工具， 但它依然忽略了一些問題。 有些訓練點實際上比其他訓練點更重要， 因此要求有意義的訓練點被正確地分類。 假設每個訓練點都有一個模糊隸屬度s_i， 表示它屬于一個類的可能性。 例如， 一個訓練點有90%可能屬于一個類， 有10%可能屬于另一個類。 同樣， 另一個訓練點有20%可能屬于一個類， 有80%屬于另一個類。 考慮到支持向量機對噪聲非常敏感^［23］， 文獻［24］提出了一種模糊支持向量機模型， 該模型將模糊隸屬度設置為點與類中心之間距離的函數。 假設有一系列訓練點： （y_i， x_i， s_i）， …， （y_m， x_m， s_m）， 模糊支持向量機通過模糊隸屬度來削弱不確定性高的樣本對訓練模型的影響， 它的模型表示為

min_ω，b 12‖ω‖²+C₀∑mi=1s_iξ_i

s.t."ξ_i≥1-y_i（ωTx_i+b）"""ξ_i≥0"""i=1， …， m

（2）

1.2"支持矩陣機

由于SVM在處理矩陣形式的數據時， 會將其扁平化為向量而丟失行列之間的關系。 文獻［25］提出將矩陣的核范數并入到SVM的正則化項中來利用矩陣數據的結構信息， 建立了支持矩陣機（SMM）。 考慮矩陣形式的數據集{（X_i， y_i）｜i=1， 2， …， m}， 其中X_i是一個d₁×d₂的矩陣， y_i是它對應的標簽。 分類函數為f（X）=sgn（〈W， X〉+b）， 其中W是與X大小相同的權重矩陣， b是偏置。 對于樣本（X_i， y_i）， 它的間隔定義為γ_i=y_i（〈W， X_i〉+b）。 支持矩陣機的模型表示為

min C∑mi=1L_h（γ_i）+12‖W‖_F²+τ‖W‖_*（3）

式中： C＞0， 鉸鏈損失函數L_h（γ）=max{1-γ， 0}， ‖·‖_F是矩陣的Frobenius范數， ‖·‖_*是矩陣的核范數（Nuclear Norm）， 參數τ是用于權衡核范數和其他項之間的懲罰系數。 公式（3）中目標函數的后兩項之和稱為譜彈性網絡正則化。

1.3"模糊最優間隔分布矩陣分類器模型

本文所提出的FODMC將損失函數定義為間隔分布損失（MDB loss）與譜彈性網絡正則化之和， 即

min λm∑mi=1s_iLMDB（γ_i）+12‖W‖²_F+τ‖W‖_*（4）

式中： s_i為第i個樣本的模糊隸屬度。 第一項中的MDB損失LMDB定義如下， 它能夠優化間隔分布， 使得訓練數據集的間隔方差盡可能的小， 并讓間隔均值盡可能大：

LMDB（γ）=

（1-θ-γ）²（1-θ）²γ＜1-θ

μ（γ-θ-1）²（1-θ）²γ＞1+θ

0其他

（5）

式中γ表示間隔γ=y（〈W， X〉+b）。 而公式（4）中的第二項和第三項之和被稱為譜彈性網絡正則化， 它能夠捕獲矩陣的結構信息來使得矩陣的秩盡可能低。 λ， μ和τ均為正的超參數。 當模糊隸屬度均為1時， FODMC將退化為ODMM； 當模糊隸屬度均為1并且τ=0時， FODMC將退化為ODM。

為了提高模型的分類性能， 引入模糊隸屬度s_i。 本文的策略是， 樣本距離類別中心越遠， 其模糊隸屬度就越小。 正類和負類的類別中心均定義為所有該類的樣本的均值， 即

X₊=1｜{i： y_i＞0}｜∑i： y_i＞0X_i

X_-=1｜{i： y_i＜0}｜∑i： y_i＜0X_i

（6）

同時， 定義正、 負類別半徑為R₊=maxi： y_i＞0‖X_i-X₊‖²_F和R_-=maxi： y_i＜0‖X_i-X_-‖²_F。 于是， 模糊隸屬度被定義為

s_i=

1-‖X_i-X₊‖²_FR₊+δ∧"""y_i＞0

1-‖X_i-X_-‖²_FR_-+δ∧"""y_i＜0

（7）

式中δ∧是一個很小的正數， 用來防止作除法時可能帶來的數值問題。

1.4"模型求解算法

FODMC的目標函數是一個非光滑的凸函數， 其非光滑性來源于譜彈性正則化中的核范數‖W‖_*。 處理這種非光滑函數的一個常用方法是使用交替拉格朗日乘子法（ADMM）。 引入輔助變量Z將目標函數（4）表示為

minW， b， Z G₁（W， b）+G₂（Z）

s."t."Z-W=O

（8）

式中

G₁（W， b）=λm∑mi=1s_iLMDB（γ_i）+12‖W‖²_F

G₂（Z）=τ‖Z‖_*

（9）

于是， 可以給出其增廣拉格朗日函數

L（W， b， Z； Λ）=G₁（W， b）+G₂（Z）

+〈Λ， Z-W〉+ρ2‖Z-W‖²_F

（10）

式中： Λ是拉格朗日乘子， ρ＞0是違反約束的乘法項的系數。 在分離出非光滑項并消除硬約束后， 將交替地關于W， b和Z最小化增廣拉格朗日函數， 并在每一步的最后更新拉格朗日乘子。

定理1"關于Z對增廣拉格朗日函數最小化， 即

arg minZ G₂（Z）+〈Λ， Z〉+ρ2‖W-Z‖²_F

（11）

它的最優解是

Z^*=1ρD_τ（ρW-Λ）（12）

證"奇異值閾值算子D_τ的定義與詳細證明過程參見文獻［16］。

關于對W， b的優化， 首先將損失函數轉化為以下的等價形式：

minW， b， ξ， ε

λm∑mi=1s_iξ_i²+με_i²（1-θ）²+12‖W‖²_F-〈Λ， W〉+ρ2‖W-Z‖²_F

s."t."1-θ-ξ_i≤y_i（〈W， X_i〉+b）≤1+θ+ε_i""nbsp;i=1， 2， …， m

（13）

式中ξ_i和ε_i是由LMDB轉變來的松弛變量。 這是一個凸優化問題。 引入新的拉格朗日乘子ζ_i＞0和β_i＞0， 并給出（13）式的拉格朗日函數， 即

L₁（W， b， ξ， ε； ζ， β）=λ（ξTdiag（s）ξ+μεTdiag（s）ε）m（1-θ）²+12‖W‖²₂-〈Λ， W〉+ρ2‖W-Z‖²₂+

∑mi=1ζ_i（1-θ-ξ_i-y_i（〈W， X_i〉+b））

+∑mi=1β_i（y_i（〈W， X_i〉+b）-1-θ-ε_i）

（14）

式中： ξ=（ζ₁， …， ζ_m）T， ω=（ω₁， …， ω_m）T， s=（s₁， …， s_m）T。 將拉格朗日函數關于原始變量的偏導數置零后， 可以得到

W=11+ρ（Λ+ρZ+∑mi=1（ζ_i-β_i）y_iX_i）

ξ=m（1-θ）²ζ2λs

ε=m（1-θ）²β2μλs

∑mi=1y_i（ζ_i-β_i）=0。

（15）

這里向量之間的除法是逐元素進行的。 于是， 忽略常數項， 該對偶問題將化為如下的形式：

L₁=（ρ∧_-e+u）T（1+ρ）ζ-m（1-θ）²4λμζsTζs+βsTβs+（ρ∧₊s-u）Tβ（1+ρ）s

+12（1+ρ）ζ-βsTKζ-βs

（16）

式中： 矩陣K的元素為K_ij=s_iy_is_jy_j〈X_i， X_j〉， 向量u的各分量為u_i=s_iy_i〈Λ+ρZ， X_i〉， 常數ρ∧_±=（1+ρ）（θ±1）。

為了簡潔起見， 將ζ和β合并為一個變量， 使得αT=ζsT， βsT。 于是ζ=diag（s）， 0α，

β=0， diag（s）α， 并且ζ-β=diag（s）， -diag（s）α。 最終， （13）式的對偶問題變為

minα 12αTKα+pTα

s."t."α≥0

（17）

式中H∈R^2m×2m和p∈R^2m定義為

H=

K+mρ∧_-²2λ（1+ρ）I-K

-KK+mρ∧_-²2λμ（1+ρ）I

p=ρ∧_-s+u

ρ∧₊s-u

（18）

這里I代表m×m的單位矩陣， e代表所有元素是1的n維向量。 因此， 可以得到如下定理。

定理2"假設α^*∈R^2m是（17）式的解。 令m^*=｜{i： ξ_i＞0或ε_i＞0}｜， v=Ydiag（s）， -diag（s）α^*， 其中Y=diag（y₁， …， y_m）。 于是 （13）式的一個最優解是

W^*=∑mi=1v_iX_i+Λ+ρZ（1+ρ）

（19）

b^*=1m^*"∑i： ξ_i＞0（y_i（1-θ-ξ_i）-〈W， X_i〉）+1m^*∑i： ε_i＞0（y_i（1+θ+ε_i）-〈W， X_i〉）

（20）

在求解二次規劃（17）后， 就可以通過（19）， （20）式來更新W和b。 隨后， 使用以下公式來更新乘子Λ：

Λ^（k+1）=Λ^（k）+ρ（Z^（k）-W^（k））

（21）

完整的迭代優化過程見算法1。

算法1"FODMC的訓練算法

輸入： 訓練集{（X_i， y_i）｜i=1， 2， …， m}， 超參數λ， τ＞0和0＜μ， θ＜1

輸出： W， b

1."初始化Z^（0）∈R^d₁^×d₂， Λ^（0）=∈R^d₁^×d₂， ρ＞0， t^（1）=1

2."通過公式（7）計算每個樣本的模糊隸屬度s_i， i=1， 2， …， m：

s_i=

1-‖X_i-X₊‖²_FR₊+δ∧y_i＞0

1-‖X_i-X_-‖²_FR_-+δ∧y_i＜0

3."for k←1 to 迭代次數

4."使用公式（19）更新W^（k）：

W^（k）=∑mi=1{v_iX_i}+Λ^（k-1）+ρZ^（k-1）（1+ρ）

5."使用公式（20）更新b^（k）：

b^（k）=1m^*∑i： ξ_i＞0（y_i（1-θ-ξ_i）-〈W^（k）， X_i〉）+1m^*∑i： ε_i＞0（y_i（1+θ+ε_i）-〈W^（k）， X_i〉）

6."使用公式（12）更新Z^（k）： Z^（k）=1ρD_τ（ρW^（k）-Λ^（k-1））

7."使用公式（21）更新Λ^（k）： Λ^（k）=Λ^（k-1）+ρ（Z^（k-1）-W^（k-1））

8."end for

9."return W^（k）， b^（k）

2"實驗結果與分析

2.1"實驗設置

為了通過實驗驗證模型的性能， 選取SVM、 ODM、 SMM和ODMM作為對照模型。 為確保實驗的公正性， 采用了五折交叉驗證結合網格搜索策略， 以篩選出最優的超參數組合。 具體操作如下： 首先， 為模型的各個參數設定了一系列候選值； 接著， 通過網格搜索法探尋這些參數的所有可能組合。 在此過程中， 利用五折交叉驗證來評估每組參數組合的表現， 從而在多個數據子集中準確衡量其準確性。 依據五折交叉驗證的結果， 篩選出達到最高準確率的超參數組合， 作為針對該數據集的模型最佳配置。 這種嚴謹的調參方法確保了模型能夠針對特定數據集實現最優性能。 超參數的設置沿用文獻［16］的設置。 對于SVM和SMM的懲罰系數C， 從{2ⁱ｜i=0， 1， …， 10}中搜索。 而關于FODMC、 ODMM以及ODM， λ選擇自{2ⁱ｜i=0， 2， 4， 6， 8}， 并且μ和θ兩者都選擇自{0.2， 0.4， 0.6， 0.8}。 而核范數的乘法系數τ則從{2ⁱ｜i=0， 2， 4， 6， 8}中搜索。 在所有使用ADMM的模型中， 都把算法的懲罰系數ρ設置為1。 實驗平臺為MATLAB R2021b以及具有3.3 GHz的CPU和32 GB的內存的個人電腦。

2.2"在真實數據集上的實驗結果

為了評估FODMC的性能， 從Kaggle網站（https： //www.kaggle.com/）上收集了8個來自真實世界的數據集。 這些數據集中的每個樣本都是矩陣形式的， 代表了圖片或者是多通道的時間序列， 并且每個樣本都具有相應的類別標簽。 由于本文僅探究二分類任務， 因此具有多個類別標簽的數據集只有兩類樣本被挑選來進行實驗。 在包含不同大小圖像的數據集中， 所有圖像都被統一縮放到統一的大小。 數據集中的每個樣本都提取了圖像的灰度像素， 從而得到一個與相應圖像大小相同的樣本矩陣。 表1總結了每個數據集的正類和負類樣本數量以及樣本矩陣的維度。 每個數據集被分為一個訓練集和一個測試集， 訓練集包含80%的數據， 測試集包含剩余20%的數據。

本文選擇了準確率I和F1分數F作為評估指標。 令T_P， T_N， F_P， F_N分別表示真正類、 真負類、 假正類、 假負類的樣本數量， 定義精準度p=T_PT_P+F_P和召回率r=T_PT_P+F_N， 則準確率和F1分數由如下公式計算：

I=T_P+T_NT_P+T_N+F_P+F_N×100%

F=2prp+r×100%

（22）

實驗結果如表2所示。 顯然， 我們提出的FODMC在幾乎所有數據集上都取得了最高的準確率， 并且在大部分數據集上的F1分數也領先于其他模型。 從這個表中還可以看出， SMM和SVM沒有優化間隔分布， 導致了它們的準確率低于其他基于間隔分布的模型， 這凸顯了優化間隔分布對于提高模型泛化能力的重要性。 與FODMC相比， 雖然ODMM也用了基于間隔分布的損失函數， 并且同樣通過核范數來捕獲矩陣數據的結構信息， 但是由于它未考慮每個樣本對模型訓練的重要程度， 因此ODMM的平均準確率和平均F1分數均不及本文所提出的FODMC， 表明使用模糊隸屬度來控制每個樣本對訓練模型的影響是有意義的。

2.3"模型穩健性分析

為了進一步證實所提出的方法能夠提高分類器的穩健性， 在具有異常值的數據集上評估模型的性能。 先在數據集中添加不同比例的標簽噪聲， 即將一部分的樣本標簽設置為錯誤的標簽， 然后再訓練分類器并評估其分類效果。 依舊使用前文提到的8個真實數據集， 同時為訓練集設置10%， 20%， 30%， 40%和50%的異常值。 圖1展示了每個模型在所有數據集上的平均準確率隨異常值比例的變化。 顯然， 每個模型的準確率都逐步下降的趨勢。 然而， 本文所提出的FODMC比其他模型的性能更好。 表3統計了每個模型在各個數據集上不同噪聲水平的平均準確率。 容易發現， FODMC在大多數數據集上都具有優勢， 并且平均值也最高。

3"結論

本文提出的模糊最優間隔分布矩陣分類器（FODMC）通過引入模糊隸屬度機制， 有效減輕了噪聲對模型訓練的干擾， 顯著提升了模型的穩健性。 FODMC利用核范數來挖掘矩陣數據的內在結構信息， 并通過優化間隔分布策略進一步增強了模型的泛化能力， 確保了對矩陣形式數據集進行分類時的有效性。 FODMC目標函數的非光滑性使得一般的優化算法不再適用， 為了解決這一問題， 設計了基于交替乘子法的訓練算法。 通過在真實數據集上的綜合實驗， 成功地驗證了所提方法在分類性能上的優秀表現。 此外， 本文還在含有標簽噪聲的數據集上對模型的抗噪能力進行了深入評估。 實驗結果一致表明， 方法在面對噪聲干擾時展現出了最佳的穩健性， 這一特性使得FODMC在實際工程應用中更具競爭力和實用價值。 總體而言， FODMC的分類性能和抗噪能力均得到了實驗的充分驗證， 為矩陣數據分類提供了新的研究視角和解決方案。 未來的研究方向包括將FODMC拓展至多分類問題， 以及確定泛化誤差上界等理論性能分析。

參考文獻：

［1］汪海燕， 黎建輝， 楊風雷． 支持向量機理論及算法研究綜述 ［J］． 計算機應用研究， 2014， 31（5）： 1281-1286．

［2］"李春祥， 殷瀟． 基于小波支持向量機的非高斯空間風壓內外插預測 ［J］． 上海交通大學學報， 2018， 52（11）： 1516-1523．

［3］"GAO W， ZHOU Z H． On the Doubt about Margin Explanation of Boosting ［J］． Artificial Intelligence， 2013， 203： 1-18．

［4］"WANG L W， SUGIYAMA M， JING Z X， et al． A Refined Margin Analysis for Boosting Algorithms via Equilibrium Margin ［J］． Journal of Machine Learning Research， 2011， 12： 1835-1863．

［5］"ZHANG T， ZHOU Z H． Large Margin Distribution Machine ［C］ //Proceedings of the 20th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining． New York： ACM， 2014： 313-322．

［6］"武柏蕓． 支持矩陣機I₀/1-ADMM算法研究 ［D］． 北京： 北京交通大學， 2021．

［7］"潘海洋， 徐海鋒， 鄭近德， 等． 基于雙加權不平衡矩陣分類器的機械故障診斷方法 ［J］． 機械工程學報， 2024， 60（3）： 170-180．

［8］"PIRSIAVASH H， RAMANAN D， FOWLKES C． Bilinear Classifiers for Visual Recognition ［C］ //23rd International Conference on Neural Information Processing Systems． New York： ACM， 2009．

［9］"WOLF L， JHUANG H， HAZAN T． Modeling Appearances with Low-Rank SVM ［C］ //2007 IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition． New York： IEEE， 2007．

［10］LUO L， XIE Y， ZHANG Z， et al． Support Matrix Machines ［J］Journal of Machine Learning Research， 2015， 37： 938-947．

［11］伍毅， 盛麗， 潘海洋， 等． 基于遷移最小二乘支持矩陣機的滾動軸承故障診斷方法 ［J］． 振動與沖擊， 2022， 41（21）： 53-59．

［12］潘海洋． 基于辛幾何模態分解和支持矩陣機的機械故障診斷方法 ［D］． 長沙： 湖南大學， 2019．

［13］YANG J R， FAN S Y， ZHANG L B， et al． A Low-Rank Support Tensor Machine for Multi-Classification ［J］． Information Sciences， 2025， 688： 121398．

［14］PAN H， XU H， ZHENG J， et al． A Semi-Supervised Matrixized Graph Embedding Machine for Roller Bearing Fault Diagnosis Under Few-Labeled Samples ［J］． IEEE Transactions on Industrial Informatics， 2024， 20（1）： 854-863．

［15］PAN H， XU H， ZHENG J， et al． Non-Parallel Bounded Support Matrix Machine and Its Application in Roller Bearing Fault Diagnosis ［J］． Information Sciences， 2023， 624： 395-415．

［16］YANG J， FAN S， LIU L， et al． Optimal Margin Distribution Matrix Machine ［J］． Expert Systems with Applications， 2024， 240： 122497．

［17］張法瀅， 呂莉， 韓龍哲， 等． 直覺模糊的結構化最小二乘孿生支持向量機 ［J］． 應用科學學報， 2024， 42（2）： 350-363．

［18］張翔， 肖小玲， 徐光祐． 模糊支持向量機中隸屬度的確定與分析 ［J］． 中國圖象圖形學報， 2006， 11（8）： 1188-1192．

［19］孫曉霞， 劉曉霞， 謝倩茹． 模糊C-均值（FCM）聚類算法的實現 ［J］． 計算機應用與軟件， 2008， 25（3）： 48-50．

［20］DONG D H， FENG M Y， KURTHS J， et al． Fuzzy Large Margin Distribution Machine for Classification ［J］． International Journal of Machine Learning and Cybernetics， 2024， 15（5）： 1891-1905．

［21］JIN Q， FAN S， DONG D， et al． Fuzzy Twin Bounded Large Margin Distribution Machines ［C］ // 5th Chinese Conference on Pattern Recognition and Computer Vision（PRCV）． Berlin： Springer， 2022．

［22］PAN H Y， XU H F， ZHENG J D， et al． Multi-Class Fuzzy Support Matrix Machine for Classification in Roller Bearing Fault Diagnosis ［J］． Advanced Engineering Informatics， 2022， 51： 101445．

［23］ATLA A， TADA R， SHENG V， et al． Sensitivity of Different Machine Learning Algorithms to Noise ［J］． Journal of Computing Sciences in Colleges， 2011， 26（5）： 96-103．

［24］LIN C F， WANG S D． Fuzzy Support Vector Machines ［J］． IEEE Trans Neural Netw， 2002， 13（2）： 464-471．

［25］CHOI Y， UH Y， YOO J， et al． Stargan v2： Diverse Image Synthesis for Multiple Domains ［C］ // Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition 2020． New York： IEEE Press， 2020．

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