函數模型應用的“三個層次”

摘要：函數模型應用是現實生活中比較常見的一類建模應用.基于函數模型應用的層次，從圖象變化，到給定模型，深入到構建模型，層層遞進，實現函數模型應用的“三個層次”.本文中結合實例合理剖析，歸納總結解題技巧與步驟，夯實函數模型應用的學習與研究.

關鍵詞：函數；模型；圖象；指數；對數

在描述客觀世界變化規律中，函數是源于生活又高于生活的最常見且最基本的數學模型之一.數學建模中，函數模型及其應用是其中最重要的一個基本應用場景.本文中結合實例，通過典型類型與應用，就函數模型的應用加以分層理解與層層遞進，突出函數模型的構建與創新應用，有效實現數學“四基”與“四能”的落實與應用.

1 借助函數圖象刻畫變化過程

函數模型應用的第一個層次：借助函數圖象刻畫變化過程，通過現實生活中函數模型所對應的圖象，合理刻畫數學模型的變化過程，借助函數圖象的直觀來分析與解決一些相應的綜合與應用問題.

例1（1）〔2023—2024學年廣東省梅州市大埔縣虎山中學高一（上）第二次段考數學試卷（12月份）〕（多選題）某工廠8年來某種產品總產量C與時間t（單位：年）的函數關系如圖1所示，則以下四種說法正確的是（）.

A.前三年產量增長的速度越來越快

B.前三年產量增長的速度越來越慢

C.第三年后這種產品停止生產

D.第三年后產量保持不變

（2）〔2023—2024學年浙江省金華一中高一（上）期中數學試卷〕某同學到長城旅游，他租自行車由賓館騎行前往長城，前進了a km，覺得有點兒累，休息后沿原路返回b km（blt;a）.想起“不到長城非好漢”，便調轉車頭繼續前進，則該同學離起點的距離s與時間t的圖象大致為（）.

解析：（1）由題圖可得前三年產量增長的速度越來越慢，則選項A錯誤，選項B正確.

而第三年后這種產品停止生產，則選項C正確，選項D錯誤.

故選答案：BC.

（2）第一個時間段，該同學騎車前進，圖象為直線的形式，單調遞增.

第二段休息，此時距離起點的距離不變，休息期間s為常數，沒有發生變化.

第三段原路返回，此時距離減小，圖象單調遞減.

第四段調轉車頭繼續前進，此時距離逐步增加，所以選項C中的圖象合適.

故選答案：C.

點評：借助函數圖象刻畫變化過程問題時，確定對應函數圖象與實際應用問題中的變化情況，以此來確定二者之間的吻合性，常見的基本方法有構建函數模型法、驗證法等.關鍵是從實際應用問題中加以合理抽象，進而構建相應的函數模型；或從相應的函數模型中，以特殊的點、變化趨勢等情況加以確定，對比函數圖象的結構特征加以正確判斷，進而巧妙驗證與分析.

2 給定函數模型解決實際問題

函數模型應用的第二個層次：給定函數模型解決實際問題，借助經驗主義，函數模型應用中直接給出確定的函數模型，從中明確變量、系數、模型及規律等，借助相應的數據信息來分析與解決.

例2（1）（2024年四川省綿陽市高考數學二診試卷）經研究發現：某昆蟲釋放信息素t" s后，在距釋放處x m的地方測得信息素濃度y滿足函數ln y=－12ln t－Ktx2+A（A，K為非零常數）.已知釋放1 s后，在距釋放處2 m的地方測得信息素濃度為a，則釋放信息素4 s后，信息素濃度為12a的位置距釋放處的距離為（）.

A.22 m B.2 m C.2 m D.4 m

（2）〔2023—2024學年江西省新余實驗中學高二（上）開學數學試卷〕某教學軟件在剛發布時有100名教師用戶，發布5天后有1 000名教師用戶，如果教師用戶人數R（t）與天數t之間滿足關系式：R（t）=R0ekt，其中k為常數，t=0是剛發布的時間，則教師用戶超過30 000名至少經過的天數為（參考數據：lg 3≈0.477 1）（）.

A.11B.12C.13D.14

解析：（1）由題知當t=1，x=2時，y=a，代入ln y=－12ln t－Ktx2+A，得ln a=－4K+A.

當t=4，y=12a時，ln a2=－12ln 4－K4x2+A，即ln a－ln 2=－ln 2－K4x2+A.而ln a=－4K+A，解得x=4或x=－4（舍去）.故選：D.

（2）根據題意可得R（0）=R0e0=100，

R（5）=R0e5k=1 000，解得R0=100，

k=ln 105，所以R（t）=100eln 105t.

由100eln 105tgt;30 000，可得tgt;5ln 300ln 10=5lg 300=5×（lg 3+2）≈12.39gt;12.

故教師用戶超過30 000名至少要13天.故選：C.

點評：解決有關給定函數模型場景下的實際應用問題時，基本的解題技巧、方式就是從實際應用問題中明確相應的變量與常量，合理分析基本的函數模型，尋找與之匹配的基本模型加以合理構建，進而深入分析函數模型，借助函數的基本性質等來分析并解決相關問題.

3 構建函數模型解決實際問題

函數模型應用的第三個層次：構建函數模型解決實際問題，借助問題場景與內涵加以分析，“無中生有”，結合吻合現實場景的函數模型的構建與應用，實現問題的預測與規律判斷等.

例3（1）〔2023—2024學年山東省青島二中高一（上）質檢數學試卷（12月份）〕根據統計數據分析并測算，2022年我國快遞行業中涉及貨物包裝而產生的垃圾大約為3 000萬噸，同時2023年相應產生的垃圾的增長率約為50%.由此預測，根據這個變化趨勢，若不采取一些相應的改進措施等，未來快遞行業中涉及貨物包裝而產生的垃圾還將以此增長率不斷攀升，那么從年開始，快遞行業中涉及貨物包裝而產生的垃圾將超過30 000萬噸.（參考數據：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1.）

（2）〔2024年重慶市高考數學質檢試卷（2月份）〕如果光線每通過一塊相應厚度的玻璃，其光線強度就要減少10%，那么至少需要塊這樣厚度的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強度為原來的強度的12以下.（參考數據：lg 3≈0.477，lg 2≈0.301.）

解析：（1）n年后產生的包裝垃圾為3 000×（1+50%）n.

由題知3 000×（1+50%）ngt;30 000，即32ngt;10，可得n（lg 3－lg 2）gt;1，即ngt;1lg 3－lg 2≈5.68.

所以n≥6且n∈N*，故從2028年開始，快遞行業產生的包裝垃圾超過30 000萬噸.

（2）設光線未通過玻璃時的強度為a，至少需要x塊這樣的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強度為原來的強度的12以下，則a·910xlt;a×12，即910xlt;12.

兩邊取對數，得x·lg910lt;lg12，則x（2lg 3－1）lt;－lg 2，即xgt;－lg 22lg 3－1=0.3011－2×0.477≈6.543.

由x≥1且x∈N，得x的最小值為7.

點評：構建指數函數、對數函數模型解決實際問題時，要特別注意以下三點.（1）根據增長率的實際情況，選擇與之對應的指數函數、對數函數模型加以合理構建；（2）利用題中數據信息，在所構建的函數模型基礎上，確定對應的參數與變量，進而確定對應的函數；（3）根據實際情況加以合理修正并改進，以保證函數模型構建的科學性與匹配性，能真正達到以特殊函數模型來解決實際問題的目的.

函數模型來源于現實，可用于解決實際問題.借助函數模型的圖象應用、函數性質及模型構建等，體會數學在實際問題中的應用價值.函數模型應用問題的解決一直遵循“四步”策略：審題，建模，解模，還原.借助基本解題步驟，學生需要把握函數模型應用的特點，從中體會函數模型的構建過程與基本方法，以及實際情境中的函數應用，由此逐漸學會學以致用的科學態度與鉆研精神.