切線不等式的巧妙應用

摘要：基于函數與導數的綜合應用，靈活運用切線不等式，是函數綜合應用的深入與提升，也是問題解決過程中的“巧技妙法”.利用切線不等式，可以有效解決函數最值、參數最值、大小比較及綜合應用等問題，并合理加以綜合與應用，歸納解題技巧與策略，幫助學生提升綜合應用能力.

關鍵詞：函數；導數；切線不等式；參數；最值

基于函數與導數的綜合應用，靈活運用切線不等式，可有效解決函數與方程中的一些綜合應用問題.借助切線不等式（ex≥x+1或ln x≤x-1）“以直代曲”，是處理函數與導數問題的妙手.依托切線不等式的巧妙應用，對于問題的快捷切入、解題的思路優化、過程的簡化精減等都非常有效果.切線不等式是解決與之相關的函數、方程及不等式等問題時常用的一些基本結論與性質.

1 函數最值問題

在解決一些解析式中涉及指數與對數混合的函數最值問題時，通過合理挖掘題設內涵與解析式的結構特征，巧妙借助切線不等式（ex≥x+1或ln x≤x-1）“以直代曲”來合理轉化，給函數最值的求解與應用創造條件.

例1（2024年浙江省9+1高中聯盟高三第二學期3月高考模擬數學試卷第14題）函數f（x）=x3e3x-3ln x-1x（xgt;0）的最小值為.

解法1：放縮法1.

由不等式ln x≤x-1（x=1時等號成立），得f（x）=x3e3x-3ln x-1x=x3e3x-ln（x3e3x）+3x-1x≥x3e3x-（x3e3x-1）+3x-1x=3，當且僅當x3e3x=1時等號成立.

由x3e3x=1，得x3=e-3x，可轉化為兩曲線y1=x3與y2=e-3x的圖象有唯一交點，可知x3=e-3x有唯一實數解.

所以函數f（x）的最小值為3.

解法2：放縮法2.

根據切線不等式ex≥x+1（x=0時等號成立），則有f（x）=x3e3x-3ln x-1x=e3x+3ln x-3ln x-1x≥（3x+3ln x+1）-3ln x-1x=3，當且僅當3x+3ln x=0時等號成立.

由3x+3ln x=0，得x=-ln x，可轉化為兩曲線y1=x與y2=-ln x的圖象有唯一交點，可知x=-ln x有唯一實數解.

所以函數f（x）的最小值為3.

點評：當涉及指數、對數混合求最值的問題時，常利用切線不等式（ex≥x+1或ln x≤x-1）巧妙“互化”，從而避免利用導數法處理問題時的繁雜過程與復雜運算，優化解題過程，提升解題效益.

2 參數最值問題

在解決一些含參并涉及指數式或對數式的不等式恒成立問題時，常利用不等式的恒等變形與轉化（同構），以及參變分離等，巧妙借助切線不等式來合理放縮與轉化，實現參數最值（或取值范圍）的求解與應用.

例2（2024屆湖北省武漢華大新高考聯盟3月教學質量測評）（多選題）若關于自變量x的不等式ex-2+x≥2ax2-xln x在區間（0，+∞）上恒成立，則實數a的值可以是（）.

A.1eB.12C.e3D.2

解析：由ex-2+x≥2ax2-xln x，可得ex-2x+1≥2ax-ln x，則ex-2eln x+1≥2ax-ln x，即ex-2-ln x+1+ln x≥2ax.

根據切線不等式，可得ex-2-ln x≥x-2-ln x+1，從而ex-2-ln x+1+ln x≥x.

當2a≤1，即a≤12時，ex-2-ln x+1+ln x≥x≥2ax，即ex-2-ln x+1+ln x≥2ax，此時符合題意.

當agt;12時，2axgt;x.ex-2-ln x+1+ln x=x成立的條件是x-2-ln x=0.易知直線y=x-1與曲線y=ln x相切，所以直線y=x-2與曲線y=ln x有兩個交點，即存在x，使得x-2-ln x=0，從而ex-2-ln x+1+ln x=x成立，也就是存在x，使得2axgt;ex-2-ln x+1+ln x，此時不符合題意.

綜上分析，可知實數a的取值范圍是-∞，12.

故選擇答案：AB.

點評：該問題的實質是確定實數a的取值范圍，以多選題的形式來巧妙創設與應用.該問題中，利用切線不等式ex≥x+1“以直代曲”，恒等變形（同構），使過程與步驟更加簡化，事半功倍！

3 大小比較問題

在一些涉及指數式或對數式的代數式的大小比較與判斷問題時，往往結合兩代數式的結構特征與形式加以合理恒等變化，直接利用相應的切線不等式來合理放縮與巧妙轉化，實現代數式大小的比較與判斷.

例3設a=10.99，b=e0.01，c=1.02，則（）.

A.agt;bgt;cB.bgt;cgt;aC.bgt;agt;cD.cgt;bgt;a

解析：根據指數切線不等式“ex≥x+1，當且僅當x=0時等號成立”，則可得b=e0.01gt;0.01+1=1.01=1.012=1.020 1gt;1.02=c.將指數切線不等式中的x替換為-x，于是可得e-x≥-x+1，即1ex≥1-x.當xlt;1時，結合不等式的性質有ex≤11-x，則b=e0.01lt;11-0.01=10.99=a.

綜上分析，可得agt;bgt;c.

故選擇答案：A.

點評：根據題目條件，合理聯想，借助切線不等式“ex≥x+1，當且僅當x=0時等號成立”，通過結論或變式等不同形式來轉化與應用，從而確定對應的大小關系.

4 從切線不等式到曲線不等式

從前面的切線不等式來看，當涉及放縮精度較高的問題時，通常需要進一步利用曲線不等式來解決.

例4（四川省南充市高2024屆一診考試）已知函數f（x）=ln x-2x+2-m（0lt;mlt;3）有兩個不同的零點x1，x2（x1lt;x2），下列關于x1，x2的說法，正確的有（）個.

①x2x1lt;e2m；②x1gt;2m+2；

③em3lt;x2lt;33-m；④x1x2gt;1.

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：借助不等式1-1x≤ln x，可得3-3x≤ln x-2x+2≤3ln x，記φ（x）=3-3x，g（x）=ln x-2x+2，h（x）=3ln x，然后作出三者的圖象即可求解.如圖1所示.

（說明：|φ（x）|以y=3為漸近線，故此題中限制了0lt;mlt;3.）

作直線y=m（0lt;mlt;3）分別與上圖三個函數圖象從左至右交于A，B，C，D，E，F六點，易得：點Ae-m3，m，B（x1，m），C3m+3，m，Dem3，m，E（x2，m），F33-m，m.

此題就很容易求解了.

點評：以學生較熟悉的切線不等式放縮和切線夾逼為基礎，從y=|ln x|及不等式ln x≥1-1x入手，利用放縮、夾逼融合而成.“曲線放縮，曲線夾逼”可實現超越不可解到超越可解或有理可解的轉化.其實，指數切線不等式ex≥x+1（當且僅當x=0時等號成立）或對數切線不等式ln x≤x-1（當且僅當x=1時等號成立）及ln x≥1-1x（當且僅當x=1時等號成立）等相應的“二級結論”的巧妙應用，是基于函數與導數綜合應用的產物，也是對知識應用的提升與升華，進而在學習與解題過程中不斷加以總結與巧妙應用的一些基本知識點.熟練運用切線不等式、曲線不等式，能撥開“以直代曲、以曲代曲”的本質，有助于更好地理解合理放縮之妙手，少算多思，提升數學品質與數學核心素養.