比賽中的概率問題

從近幾年新高考的概率考查趨勢來看，摒棄了浮夸的命題形式，以現(xiàn)實(shí)場景為創(chuàng)新情境，讓考生把注意力集中到數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育本身應(yīng)有的務(wù)實(shí)作用與實(shí)用基礎(chǔ)，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)考查的本質(zhì)，回歸數(shù)學(xué)問題本源.特別，在高考數(shù)學(xué)備考與復(fù)習(xí)過程中，可以更加關(guān)注一些比賽或決策問題中的概率應(yīng)用問題.

1 n局m勝制比賽問題

此類比賽問題是現(xiàn)實(shí)生活中最常見的一類比賽賽制，其比賽的規(guī)則是：在n場比賽中，一旦比賽一方（假設(shè)為甲方）獲得m次勝利，則比賽終止.因而要確定比賽結(jié)束，則在最后一次比賽中一定是甲方獲勝.

例110月9日晚，2022年世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽在中國成都落幕.中國隊(duì)女團(tuán)與男團(tuán)分別完成了五連冠與十連冠的霸業(yè).乒乓球運(yùn)動(dòng)在我國一直有著光榮歷史，始終領(lǐng)先世界水平，被國人稱為“國球”.在某次團(tuán)體選拔賽中，甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行比賽，采取五局三勝制（即先勝三局的團(tuán)隊(duì)獲得比賽的勝利）.假設(shè)在一局比賽中，甲隊(duì)獲勝的概率為0.6，乙隊(duì)獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相對獨(dú)立.

（1）求這場選拔賽三局結(jié)束的概率；

（2）若第一局比賽乙隊(duì)獲勝，求比賽進(jìn)入第五局的概率.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，分別設(shè)出甲、乙隊(duì)每局獲勝的事件，抓住比賽規(guī)則.（1）根據(jù)“三局結(jié)束比賽”這一事件展開分析，進(jìn)而利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式求解；（2）同樣對“決勝局進(jìn)入第五局比賽”這一事件展開分析，結(jié)合相互獨(dú)立事件概率乘法公式求解.

解析：設(shè)“第i局甲勝”為事件Ai，“第j局乙勝”為事件Bj（i，j=1，2，3，4，5）.

（1）記事件A=“選拔賽三局結(jié)束比賽”，則A=A1A2A3+B1B2B3.

所以，這場選拔賽三局結(jié)束的概率為P（A）=P（A1A2A3）+P（B1B2B3）=P（A1）P（A2）P（A3）+P（B1）P（B2）P（B3）=0.6×0.6×0.6+0.4×0.4×0.4=0.28.

（2）記事件B=“決勝局進(jìn)入第五局比賽”，則B=A2A3B4+A2B3A4+B2A3A4.

所以，若第一局比賽乙隊(duì)獲勝，則比賽進(jìn)入第五局的概率為P（B）=P（A2A3B4）+P（A2B3A4）+P（B2A3A4）=0.6×0.6×0.4+0.6×0.4×0.6+0.4×0.6×0.6=0.432.

點(diǎn)評：解決此類n局m勝制比賽問題時(shí)，經(jīng)常要對相關(guān)的比賽獲勝結(jié)果進(jìn)行具體分解，明確各局雙方的勝負(fù)情況，進(jìn)而利用事件的和以及相互獨(dú)立事件概率乘法公式加以分析與求解.

2 比分差距制比賽問題

此類比賽問題的規(guī)則是：在比賽中，規(guī)定比賽一方（假設(shè)為甲方）比對方多m分，則比賽終止.因而在比賽過程中，首先要根據(jù)比賽局?jǐn)?shù)確定比分，在確定得分過程中要注意使得雙方的比分差小于m.

例2“百年征程波瀾壯闊，百年初心歷久彌堅(jiān)”.為慶祝中國建黨一百周年，哈市某高中舉辦了“學(xué)黨史、知黨情、跟黨走”的黨史知識競賽.比賽分為初賽和決賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，通過初賽選出兩名同學(xué)進(jìn)行最終決賽.若該高中A，B兩名學(xué)生通過激烈的競爭，取得了初賽的前兩名，現(xiàn)進(jìn)行決賽.規(guī)則如下：設(shè)置5輪搶答，每輪搶到答題權(quán)并答對則該學(xué)生得1分，答錯(cuò)則對方得1分.當(dāng)分差達(dá)到2分或答滿5輪時(shí)，比賽結(jié)束，得分高者獲勝.已知A，B每輪均搶答且搶到答題權(quán)的概率分別為23，13，A，B每一輪答對的概率都為12，且兩人每輪是否回答正確均相互獨(dú)立.求經(jīng)過2輪搶答A贏得比賽的概率.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求出A學(xué)生每輪得一分的概率，進(jìn)而求出經(jīng)過2輪搶答A贏得比賽的概率.

解析：記事件C為“經(jīng)過2輪搶答A贏得比賽”，A學(xué)生每輪得一分的概率P（A）=23×12+13×12=12，B學(xué)生每輪得一分的概率P（B）=13×12+23×12=12，所以P（C）=122=14，即經(jīng)過2輪搶答A贏得比賽的概率為14.

點(diǎn)評：解決此類比分差距制比賽問題時(shí)，要分析得分的具體情況，并利用比分差距來分析事件，挖掘各局比賽的勝負(fù)情況，進(jìn)而利用事件的關(guān)系以及概率的計(jì)算公式來分析與解決具體比賽問題.

3 連勝制比賽問題

此類比賽問題的規(guī)則是：在比賽中，規(guī)定比賽一方（假設(shè)為甲方）連勝m場，則比賽終止.因而要確定比賽結(jié)束，則甲方最后m場連勝，且之前比賽雙方都沒有出現(xiàn)m場連勝的情況.

例3甲、乙兩人進(jìn)行球類比賽，約定先連勝兩局者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為13，各局比賽相互獨(dú)立，則恰好進(jìn)行了4局比賽結(jié)束且甲贏得比賽的概率為.

分析：根據(jù)題意條件，可得恰好進(jìn)行了4局比賽結(jié)束且甲贏得比賽的情況只有一種，即甲第一局贏，第二局輸，第三局和第四局贏，結(jié)合相互獨(dú)立事件概率乘法公式來分析與求解對應(yīng)的概率.

解析：根據(jù)題意可得恰好進(jìn)行了4局比賽結(jié)束且甲贏得比賽的情況只有甲第一局贏，第二局輸，第三局和第四局贏.

所以，恰好進(jìn)行了4局比賽結(jié)束且甲贏得比賽的概率為P=23×13×23×23=881.故填答案：881.

點(diǎn)評：解決此類連勝制比賽問題時(shí)，要根據(jù)連勝的局?jǐn)?shù)以及總的比賽局?jǐn)?shù)，具體挖掘并分析整體比賽過程中各局雙方的勝負(fù)情況，明確其中所要求解的一方各局的勝負(fù)情況，結(jié)合事件的關(guān)系以及概率的計(jì)算公式來分析與解決具體比賽問題.

4 擂臺賽制比賽問題

此類比賽問題的規(guī)則是：在比賽中，參賽雙方各出相等的人數(shù)，按事先確定的順序進(jìn)行挑戰(zhàn)賽，雙方先由1號選手比賽，負(fù)者被淘汰，勝者繼續(xù)與對方2號選手比賽；……；直到有一方隊(duì)員全部被淘汰為止，另一方獲勝，則比賽終止.

例4甲、乙兩個(gè)圍棋隊(duì)舉行圍棋擂臺賽.每隊(duì)3人，分別標(biāo)上1，2，3號，第一場由每隊(duì)1號出戰(zhàn)，負(fù)者淘汰，然后每局不設(shè)平局，直到由負(fù)方的下一號出戰(zhàn)，某隊(duì)3個(gè)隊(duì)員被淘汰完，則另一隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束.表1中的第m行第n列的數(shù)字是甲隊(duì)m號勝，乙隊(duì)n號負(fù)的概率，則由甲隊(duì)2號結(jié)束比賽的概率為.

5 淘汰賽制比賽問題

此類比賽問題的規(guī)則是：參賽者在每輪比賽中都必須贏得比賽才能晉級下一輪，輸一場則直接淘汰，每一輪淘汰掉一半選手，直至產(chǎn)生最后的冠軍.

例5為豐富老年人的精神文化生活，提高老年人的生活幸福指數(shù)，某街道舉辦以社區(qū)為代表隊(duì)的老年門球比賽，比賽分老年男組和老年女組，男女組分別進(jìn)行淘汰賽.經(jīng)過多輪淘汰后，西苑社區(qū)的老年男子“龍馬”隊(duì)和老年女子“風(fēng)采”隊(duì)都進(jìn)入了決賽.按照以往的比賽經(jīng)驗(yàn)，在決賽中“龍馬”隊(duì)獲勝的概率為35，“風(fēng)采”隊(duì)獲勝的概率為p，“龍馬”隊(duì)和“風(fēng)采”隊(duì)兩隊(duì)中只有一支隊(duì)伍獲勝的概率為920（“龍馬”隊(duì)和“風(fēng)采”隊(duì)的比賽互不影響），則西苑社區(qū)的“龍馬”隊(duì)和“風(fēng)采”隊(duì)同時(shí)獲得冠軍的概率為.

分析：根據(jù)題意條件，利用獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式建立對應(yīng)的方程，進(jìn)而確定p的值，再求出同時(shí)獲得冠軍的概率即可.

解析：依題，兩隊(duì)中只有一支隊(duì)伍獲勝的概率為35（1－p）+1－35p=920，解得p=34.

所以，兩隊(duì)同時(shí)獲得冠軍的概率為35p=920.

故填答案：920.

點(diǎn)評：在淘汰制體育比賽的過程中，如果在某一階段失敗，則被淘汰.此類問題要注意若達(dá)到第m階段，則意味著前（m－1）個(gè)階段均能通關(guān).

在實(shí)際解決比賽中的概率問題時(shí)，可能還有其他類型的比賽規(guī)則，無論哪類比賽規(guī)則，在解決實(shí)際問題時(shí)，關(guān)鍵都是正確把握比賽規(guī)則，充分運(yùn)用比賽規(guī)則來挖掘比賽規(guī)則的顯性與隱性條件，綜合概率問題的求解思想方法，靈活應(yīng)用概率的相關(guān)公式加以分析與求解.