函數視角數形結合，方程層面邏輯推理

摘要：函數與方程的綜合應用問題是高考數學試卷中的重點與難點之一.結合一道模擬題，以函數為場景，結合含參方程的構建來確定取值范圍，挖掘問題內涵，從函數本質與方程內涵這兩個最基本的思維層面切入，結合不同的技巧方法來解決，指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：函數；方程；圖象；導數

含參函數與方程的綜合問題，是高考數學試卷中最基礎，且綜合性強、難度大的一類基本常見考點，備受命題者青睞.此類綜合問題，場景熟知，知識基礎，變化多端，設問多變，可以很好地融合函數與方程中眾多的基本概念，以及其他模塊的基本數學知識，同時合理交匯一些相關的數學思想方法與基本技能等，是全面考查考生數學能力的重要載體，具有較高的選拔性與區分度，備受各方關注.

1 問題呈現

問題〔山東名校考試聯盟2024年4月高考模擬考試（濟南二模）數學試題·14〕已知函數f（x）=xe1-x，若方程f（x）+1f（x）+1=a有三個不相等的實數解，則實數a的取值范圍為.

此題以復雜的函數解析式為問題場景，結合對應方程的構建及方程所滿足的條件來創設，進而確定參數的取值范圍.題目簡單明了，思維方向明確，涉及的函數及對應的方程相對復雜，無法直接確定，成為解決問題的難點所在.

涉及此類函數與方程的綜合應用問題，關鍵在于構建函數與方程之間的巧妙轉化與合理變形.借助方程向函數的轉化，可以利用函數的圖象加以數形結合；借助函數向方程的轉化，可以利用方程的性質加以邏輯推理.

2 問題破解

解法1：圖象法.

方程f（x）+1f（x）+1=a有三個不相等的實數解，等價于函數y=f（x）+1f（x）+1與直線y=a有三個交點.

令t=f（x），g（t）=t+1t+1=t+1+1t+1-1.

由函數f（x）=xe1-x，求導可得f′（x）=（1-x）e1-x.令f′（x）=0，解得x=1.所以當xlt;1時，f′（x）gt;0，函數f（x）單調遞增；當xgt;1時，f′（x）lt;0，函數f（x）單調遞減.

f（1）=1.當x→-∞時，f（x）→-∞；當x→+∞時，f（x）→0.于是可得函數f（x）的圖象如圖1所示.

因為函數y=f（x）+1f（x）+1與直線y=a有三個交點，所以y=t+1t+1與直線y=a有兩個交點，設交點橫坐標分別為t1，t2，t1=f（x）有一個零點，圖2t2=f（x）有兩個零點，則t1=1，0lt;t2lt;1，或t1lt;0，0lt;t2lt;1.又g（1）=32，交點情況如圖2所示，所以1lt;alt;32.

所以實數a的取值范圍為1，32.

故填答案：1，32.

點評：解決此類函數與方程的綜合應用問題時，抓住函數的本質，從函數層面切入，利用函數及其對應的圖象，數形結合，直觀想象，往往可以給問題的切入與解決創造更加直觀的空間與場景.而涉及函數的圖象與應用問題，要注意變量的取值限制、復合函數的限制條件等，進而正確確定函數的圖象的變化情況，給問題的突破與求解創造條件.

解法2：方程法.

依題，由函數f（x）=xe1-x，求導可得f′（x）=（1-x）e1-x.令f′（x）=0，解得x=1，所以當xlt;1時，f′（x）gt;0，函數f（x）單調遞增；當xgt;1時，f′（x）lt;0，函數f（x）單調遞減.

f（1）=1，當x→-∞時，f（x）→-∞；當x→+∞時，f（x）→0.于是函數f（x）的圖象如圖1所示.

令t=f（x），由于方程f（x）+1f（x）+1=a有三個不相等的實數解，等價于t+1t+1=a有兩個根，即方程t2+（1-a）t+1-a=0有兩個根.設兩根分別為t1，t2，且t1=1，0lt;t2lt;1，或t1lt;0，0lt;t2lt;1，則

Δ=（1-a）2-4（1-a）gt;0，

1+（1-a）+1-a=0，

1-agt;0，

或

Δ=（1-a）2-4（1-a）gt;0，

1+（1-a）+1-agt;0，

1-alt;0.

解得1lt;alt;32.

所以實數a的取值范圍為1，32.

故填答案：1，32.

點評：解決此類函數與方程的綜合應用問題時，抓住方程的內涵，從方程層面切入，利用方程的根的取值情況、判別式及一些與之相關的信息加以分析，邏輯推理，數學運算，給問題的切入與解決奠定基礎.利用方程法處理函數與方程的綜合應用問題時，要從方程視角多層面考慮，往往構建與之相吻合的不等式（組）來分析與應用，實現問題的突破與解決.

3 變式拓展

根據以上函數與方程的關系，從不同場景加以合理創設，巧妙探究對應參數的最值（或取值范圍）問題，給問題的深度學習與變式拓展創造條件.

3.1 分段函數場景下的變式問題

變式1（2024年安徽省蚌埠高考數學第四次質檢）已知函數f（x）=ex，xlt;0，

2-2|x-1|，0≤x≤2，

12f（x-2），2lt;x≤4，若方程f（x）=m有五個不相等的實根xi（i=1，2，3，4，5），則實數m的取值范圍是.

解析：依題，當2lt;x≤4時，0lt;x-2≤2，則有f（x-2）=2-2|x-3|，所以可得函數f（x）=ex，xlt;0，

2-2|x-1|，0≤x≤2，

1-2|x-3|-1，2lt;x≤4，作出函數f（x）的圖象，如圖3所示.

f（3）=12，要使得方程f（x）=m有五個不相等的實根，數形結合可知0lt;mlt;12.

3.2 復合函數場景下的變式問題

變式2〔2024重慶部分學校高考數學聯考（3月份）〕已知函數f（x）=2x，x≤0，

2ln xx，xgt;0，g（x）=x2+2x+1-2λ，λ∈R，若關于x的方程f（g（x））=λ有6個解，則實數λ的取值范圍為.

答案：12，2e.解題過程略.

4 教學啟示

函數與方程的綜合應用問題，可以借助函數的零點情況、方程的實根情況等不同形式來設置，巧妙交匯函數與方程等綜合知識，融合函數與導數的應用，成為考查知識與能力等比較突出的基本考點.

此類問題難度往往較大，很好地融合函數與方程、函數與導數、不等式等相關知識，以突破相關參數、與參數有關的代數式的最值（或取值范圍）的求法與應用為場景，融入其他一些相關的知識與應用.

在實際教學與學習過程中，借助此類問題，很好地考查考生的“四能”情況，對于考生的選拔與區分，以及關鍵能力的提升與核心素養的養成等方面都是有益的.

正如比爾·蓋茨所說：“我們不僅需要教育學生去解決我們今天知道的問題，更需要他們有能力解決我們尚未預見的問題.”通過函數與方程的綜合應用問題，把握“四基”的有效教學，提升考生的“四能”，使學生在數學領域和其他領域都能靈活應用所學，具備創新思維和實踐能力.