一道含雙參恒成立最值題的探究

含參不等式恒成立及其相應(yīng)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，往往以函數(shù)、方程或不等式等背景加以創(chuàng)設(shè)，巧妙融入含參場(chǎng)景，進(jìn)而確定與參數(shù)有關(guān)的代數(shù)式的值或最值（或取值范圍）等，成為高考數(shù)學(xué)試卷中命題的一個(gè)基本考查點(diǎn).此類問(wèn)題形式多樣，變化多端，可以以小題（選擇題或填空題）形式出現(xiàn)，也可以以解答題形式出現(xiàn)，內(nèi)涵豐富，知識(shí)綜合性強(qiáng)，常考常新.同時(shí)，此類問(wèn)題的解題技巧與方法靈活多變.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題（2025屆江蘇省蘇州市高三第一學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷·8）函數(shù)f（x）=xln x－bx－2aln x+2ab（bgt;－1），若f（x）≥0恒成立，則ab+1的最小值是（）.

A.1e

B.12e

C.e2

D.12

此題通過(guò)含有雙變量的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)不等式的恒成立來(lái)設(shè)計(jì)條件，基于雙變量的應(yīng)用場(chǎng)景，構(gòu)建與之對(duì)應(yīng)的分式來(lái)確定對(duì)應(yīng)的最值問(wèn)題.基于題中函數(shù)的解析式的含參性與復(fù)雜性，可通過(guò)合理的因式分解加以恒等變形，為進(jìn)一步的分析與應(yīng)用創(chuàng)造條件.

解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于依托函數(shù)所對(duì)應(yīng)的不等式恒成立，通過(guò)合理的分析與推理，并結(jié)合巧妙的數(shù)學(xué)運(yùn)算，來(lái)確定對(duì)應(yīng)雙變量之間的關(guān)系，才能為進(jìn)一步求解分式ab+1的最值奠定基礎(chǔ).

而由雙變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)不等式恒成立條件入手，要正確確定雙變量之間的關(guān)系，可以借助關(guān)系式的變形，利用參數(shù)取值的分類討論來(lái)巧妙“分拆”，結(jié)合代數(shù)式的取值情況來(lái)討論與推理等；或借助函數(shù)與導(dǎo)數(shù)思維，結(jié)合求導(dǎo)運(yùn)算與函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的最值來(lái)切入與應(yīng)用；或通過(guò)函數(shù)圖象的放縮變換思維來(lái)“變換”相應(yīng)的函數(shù)式，利用函數(shù)解析式的簡(jiǎn)化處理以方便確定對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)；或通過(guò)函數(shù)零點(diǎn)思維來(lái)“區(qū)分”相應(yīng)的函數(shù)式，利用兩函數(shù)的零點(diǎn)相同來(lái)推理與求解等.

不同思維方式的切入與應(yīng)用，都給問(wèn)題的深入分析與巧妙求解創(chuàng)造條件，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的合理轉(zhuǎn)化與巧妙突破，借助合理的邏輯推理與正確的數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)綜合應(yīng)用.

2 問(wèn)題破解

2.1 分類討論思維

解法1：分類討論法.

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|xgt;0}.變形，得

f（x）=xln x－bx－2aln x+2ab=（x－2a）ln x－（x－2a）b=（x－2a）（ln x－b）.

由f（x）≥0恒成立，具體分類如下：

當(dāng)x－2a≥0時(shí)，ln x－b≥0，此時(shí)x≥2a，x≥eb；

當(dāng)x－2a≤0時(shí)，ln x－b≤0，此時(shí)x≤2a，x≤eb.

綜上分析，結(jié)合f（x）≥0恒成立，則滿足2a=eb，即a=12eb.

由于bgt;－1，結(jié)合切線不等式ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立），可得ab+1=12ebb+1=12·ebb+1≥12·b+1b+1=12，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)等號(hào)成立.

所以ab+1的最小值是12.故選擇答案：D.

點(diǎn)評(píng)：依托函數(shù)解析式的因式分解，借助解析式積的結(jié)構(gòu)特征，給對(duì)應(yīng)關(guān)系式的分類討論創(chuàng)造條件.利用兩個(gè)因式取值的分類討論求解對(duì)應(yīng)的不等式，從而得到不等式恒成立條件下雙變量的關(guān)系，這是問(wèn)題考查的關(guān)鍵點(diǎn)與難點(diǎn)所在.而基于雙變量之間關(guān)系的構(gòu)建，進(jìn)一步利用消元法處理，結(jié)合切線不等式的合理放縮，為分式代數(shù)式的最值求解奠定基礎(chǔ).

2.2 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)思維

解法2：導(dǎo)數(shù)法.

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|xgt;0}.變形，得

f（x）=xln x－bx－2aln x+2ab=（x－2a）ln x－（x－2a）b=（x－2a）（ln x－b）.

考慮到f（2a）=0，并結(jié)合f（x）≥0恒成立，則x=2a是f（x）的最小值點(diǎn)，則有2agt;0，即agt;0.

又f′（x）=ln x－b+1－2ax.

由f′（2a）=ln （2a）－b+1－2a2a=ln （2a）－b=0，可得a=12eb.

由于bgt;－1，結(jié)合切線不等式ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立），可得ab+1=12ebb+1=12·ebb+1≥12·b+1b+1=12，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)等號(hào)成立.

所以ab+1的最小值是12.故選擇答案：D.

點(diǎn)評(píng)：依托函數(shù)解析式的因式分解，能夠比較快速地進(jìn)行“分拆”處理，巧妙確定相關(guān)方程的零點(diǎn)，并結(jié)合不等式恒成立的條件來(lái)確定與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最值點(diǎn)，而函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用給問(wèn)題的深入與求解指明方向.基于函數(shù)的最值點(diǎn)的確定，可知對(duì)應(yīng)函數(shù)在最值點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為0，往往可以使得問(wèn)題的求解思路更加清晰.有時(shí)還要注意對(duì)函數(shù)的最值點(diǎn)的存在性加以分析與判斷.

2.3 放縮變換思維

解法3：放縮法.

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|xgt;0}.變形，得

f（x）=xln x－bx－2aln x+2ab=（x－2a）ln x－（x－2a）b=（x－2a）（ln x－b）.

由f（x）≥0恒成立，知f（x·eb）=（x·eb－2a）5ln x≥0恒成立，即xebln x≥2aln x恒成立.

設(shè)g（x）=xebln x，h（x）=2aln x，顯然有g(shù)（1）=h（1）=0，則這兩個(gè)函數(shù)有相同的公切點(diǎn)（1，0），且滿足g（x）≥h（x）恒成立，所以兩函數(shù)在公切點(diǎn)（1，0）處的切線相同.

所以g′（1）=h′（1）.

又g′（x）=eb（ln x+1），h′（x）=2ax，則eb（ln 1+1）=2a1，即eb=2a，所以a=12eb.

由于bgt;－1，結(jié)合切線不等式ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立），可得ab+1=12ebb+1=12·ebb+1≥12·b+1b+1=12，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)等號(hào)成立.

所以ab+1的最小值是12.故選擇答案：D.

點(diǎn)評(píng)：依托函數(shù)解析式的因式分解，利用不等式的基本性質(zhì)對(duì)變量加以合理的放縮處理，而不改變零點(diǎn)情況.這樣合理放縮處理，有時(shí)可以使得一些關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn)（如函數(shù)的零點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)等）更加明顯.

3 鏈接高考

以上高考模擬題可能借鑒了以下高考真題中的知識(shí)考查與命題手法，以更加復(fù)雜的函數(shù)解析式來(lái)設(shè)置，同樣以選擇題的形式呈現(xiàn)，全面考查函數(shù)的解析式、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合及函數(shù)的基本性質(zhì)等.

高考真題（2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·8）設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）ln （x+b），若f（x）≥0，則a2+b2的最小值為（）.

A.18

B.14

C.12

D.1

4 變式拓展

變式函數(shù)f（x）=xln x－bx－2aln x+2ab（bgt;－1），若f（x）≥0恒成立，則aeb=.

該變式問(wèn)題比以上原問(wèn)題更加簡(jiǎn)單直接，可以采用原問(wèn)題中的不同解析方法來(lái)處理，這里不多展開(kāi).該變式問(wèn)題還可以利用特殊值法來(lái)處理，以參數(shù)b的取值范圍的確定，選取一特殊值代入，可以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題中對(duì)應(yīng)代數(shù)式的值的確定，達(dá)到“小題小做”的目的.

5 教學(xué)啟示

基于多變量應(yīng)用場(chǎng)景的相關(guān)不等式恒成立問(wèn)題，包含有不等與相等的內(nèi)含與實(shí)質(zhì)，可以有效實(shí)現(xiàn)不等與相等之間的辯證轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.問(wèn)題形式變化多端，立足函數(shù)、方程、不等式三者之間的恒等變形與轉(zhuǎn)化，合理借助函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，將不等式恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題來(lái)分析與處理.

在具體解題過(guò)程中，基于多變量應(yīng)用場(chǎng)景的相關(guān)不等式恒成立問(wèn)題，以不等與相等等創(chuàng)新形式來(lái)設(shè)置，將不等式恒成立加以恒等轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題，借助合理的消元處理或整體代換等，通過(guò)參數(shù)取值的分類討論及相關(guān)技巧、方法，巧妙轉(zhuǎn)化不等與相等之間的關(guān)系，給問(wèn)題的展開(kāi)與應(yīng)用開(kāi)拓一個(gè)應(yīng)用空間.特別要注意的是，解題時(shí)要靈活多變，選取行之有效的技巧、方法來(lái)分析與應(yīng)用.