巧轉(zhuǎn)化探本質(zhì)拓思維

摘要：所謂“化歸”，從字面上看，可以理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思．化歸方法，就是把待解決或未解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題中去，最終求得原問題解答的一種手段和方法．立體幾何具有很強(qiáng)的抽象性，本文中通過實(shí)例分析，重點(diǎn)探討了六個(gè)方面的化歸方法在立體幾何問題中的應(yīng)用.通過優(yōu)化解題方法，實(shí)現(xiàn)思維瓶頸的突破，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和思維發(fā)展的重要性．

關(guān)鍵詞：化歸方法；立體幾何；解題思維

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容．現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育的目的不僅是傳授知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)能力和發(fā)展學(xué)生的思維；考察一個(gè)人的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，主要表現(xiàn)在用數(shù)學(xué)思想方法去觀察、分析、處理現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)問題．立體幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容之一，高考數(shù)學(xué)也更注重考查化歸方法的應(yīng)用．因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)中最基本的思想方法——化歸方法的教學(xué)非常有必要，下面筆者結(jié)合立體幾何教學(xué)中的實(shí)例進(jìn)行分析．

1 位置關(guān)系相互化

立體幾何的核心內(nèi)容是空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，尤其以線面、面面的平行和垂直的轉(zhuǎn)化問題為重點(diǎn)［1］．通過研究位置關(guān)系中平面到空間、 點(diǎn)到直線、 直線到平面的轉(zhuǎn)化等方法，提高解題的效率和準(zhǔn)確性．

例1如圖1所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°．

證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C．

思路：證明平面ACC1A1⊥平面BB1C1C的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明BC⊥平面ACC1A1．

證明：因?yàn)锳1C⊥平面 ABC，BC平面ABC，所以A1C⊥BC.因?yàn)椤螦CB=90°，即AC⊥BC，又A1C，AC平面ACC1A1，A1C∩AC=C，所以BC⊥平面ACC1A1.因?yàn)锽C平面BCC1B1，所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1．

本題將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，再轉(zhuǎn)化為線線垂直問題來求解．通過使用化歸方法，提高學(xué)生

解決復(fù)雜問題的能力，積累常見的轉(zhuǎn)化方法．

2 高維問題低維化

在立體幾何解題中，高維到低維的轉(zhuǎn)化是一種重要的思維方法，常通過投影和截面來實(shí)現(xiàn)．通過高維到低維的轉(zhuǎn)化，可以簡(jiǎn)化問題，從而更好地理解和解決復(fù)雜的立體幾何問題．

例2在四棱錐MABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AB=3，AD=3，BC=2，MA=MB=MD=23，則三棱錐MBCD外接球的表面積為．

思路：由已知，點(diǎn)M在底面ABCD上的投影是△ABD的外心E，即BD的中點(diǎn)，連接CE交AD于點(diǎn)F，可知△BCD的外心就是點(diǎn)F．再取相應(yīng)的截面研究，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為平面問題求解．

解析： 如圖2，取BD的中點(diǎn)E，連接CE交AD于點(diǎn)F，則點(diǎn)M在底面ABCD的射影為△ABD的外心E，則AE=BE=DE=3.又MA=23，則ME=3.

設(shè)三棱錐MBCD外接球的球心為O，半徑為R，過點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)G，

易得FC=FB=FD=CD=2，EF=1，所以F為△BCD的外心.

取截面MOFC，如圖3所示，則有R2－22+R2－12=3，解得R2=5，所以三棱錐MBCD的外接球的表面積S=4πR2=20π．

在立體幾何中，三維空間是我們常常研究的一個(gè)維度．通過高維到低維的轉(zhuǎn)化，使問題的分析和求解更加清晰和直觀．

3 非規(guī)則圖形規(guī)則化

非規(guī)則圖形在立體幾何中常常會(huì)給解題帶來困擾，在解決立體幾何問題時(shí)，可以嘗試通過剖面、切割、拼接、補(bǔ)形等方法將其轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，以求得更好的解題結(jié)果．

例3《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五“商功”有如下的問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”

意思為：今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體（如圖4），下底面寬AD=3丈，長(zhǎng)AB=4丈，上棱EF=2丈，EF與平面ABCD平行，EF與平面ABCD平行且距離為1丈，則它的體積是（）.

A.4立方丈B.5立方丈

C.6立方丈D.8立方丈

思路：本題圖形不規(guī)則，不易直接求解，可以把它分割成幾個(gè)規(guī)則的幾何體或補(bǔ)成規(guī)則的幾何體進(jìn)行求解．

解析：如圖5，過點(diǎn)E作EG⊥平面ABCD，垂足為G，過點(diǎn)F作FH⊥平面ABCD，垂足為H，過點(diǎn)G作PQ∥AD，交DC，AB于P，Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)H作MN∥BC，交DC，AB于M，N兩點(diǎn)，連接EP，EQ，F(xiàn)M，F(xiàn)N.AQ+BN=2，QN=2，且四邊形AQPD與四邊形NBCM都是矩形，則它的體積V=V四棱錐E-AQPD+V三棱柱EPQ-FMN+V四棱錐F-NBCM=13·S矩形AQPD·EG+S△EPQ·NQ+13·S矩形NBCM·FH=12×3×1×2+13×1×3×（1+1）=5（立方丈）．

非規(guī)則圖形規(guī)則化是解決立體幾何問題的一個(gè)重要策略．通過將非規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，再利用更多的數(shù)學(xué)模型、工具與方法來解題，使得解題過程更加直觀明了，從而提高解題的效率．

4 變量問題常量化

在解決含有變量的立體幾何問題中，常需要將變量轉(zhuǎn)化為不變量．例如，在求解立體幾何中的體積、表面積等問題時(shí)，就需要將條件中的一些長(zhǎng)度、面積、體積等變量轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的條件或不變量，簡(jiǎn)化問題的求解過程，優(yōu)化解題思路．

例4已知F是正方體ABCDA1B1C1D1的棱 AA1上的動(dòng)點(diǎn)，平面BFD1與棱CC1交于點(diǎn)E，對(duì)于任意的點(diǎn)F，四棱錐B1BED1F的體積是否為定值？

思路：由于四棱錐B1BED1F的底面和高都不確定，因此可以將其分割成兩個(gè)三棱錐，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)三棱錐的體積之和來解決．

解析：如圖6，連接BD1，將四棱錐B1BED1F分割成三棱錐FBB1D1和三棱錐EBB1D1．對(duì)于三棱錐FBB1D1，底面BB1D1的面積為定值，高為點(diǎn)F到平面DBB1D1的距離，即點(diǎn)A到平面DBB1D1的距離，即正方體面對(duì)角線的一半，為定值，故其體積為定值．

同理，三棱錐EBB1D1的體積為定值，所以VB1BED1F=VFBB1D1+VEBB1D1為定值［2］．

變量與不變量的轉(zhuǎn)化相當(dāng)靈活，本例中的問題還可以分割成三棱錐D1BB1F和三棱錐D1BB1E來求解．通過對(duì)問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞吭O(shè)定和不變量假設(shè)，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，進(jìn)而解決復(fù)雜的立體幾何問題．

5 動(dòng)點(diǎn)問題定點(diǎn)化

在解決含動(dòng)點(diǎn)的立體幾何問題中，動(dòng)點(diǎn)問題一般轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)問題，通常借助引入?yún)?shù)、利用幾何性質(zhì)等轉(zhuǎn)化方法，將問題中的動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)，簡(jiǎn)化問題．

例5已知MN是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD A1B1C1D1的內(nèi)切球的一條直徑，E為B1C1的中點(diǎn)，若空間內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿足AP⊥CE，則MP·NP的最小值為．

思路：本題是復(fù)雜的多動(dòng)點(diǎn)問題，先通過向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求OP的最小值，把問題轉(zhuǎn)化為單個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，求出點(diǎn)P的軌跡后，可知當(dāng) OP⊥平面ABQH時(shí)取最小值，這樣就轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)問題，可以根據(jù)平面幾何知識(shí)求解．

解析： 如圖7所示，設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為O，易知其半徑為1，連接 PO，則

MP·NP=PM·PN=（PO+OM）·（PO+ON）=（PO+OM）·（PO－OM）=PO2－1.

取CC1，DD1的中點(diǎn)為Q，H，連接BQ，AH.

因?yàn)镋為B1C1的中點(diǎn)，所以CQ=C1E.

又BC=CC1，∠EC1C=∠BCQ，所以△BCQ≌△CC1E，則∠QBC=∠C1CE，易知BQ⊥CE.

因?yàn)锳B⊥平面BCC1B1，CE平面BCC1B1，所以AB⊥CE.

又因?yàn)锳B∩BQ=B，AB，BQ平面ABQH，所以EC⊥平面ABQH.

因?yàn)辄c(diǎn)P在平面ABQH內(nèi)不同于點(diǎn)A處運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)OP⊥平面ABQH時(shí)，OP最小.

過O作FG∥AB分別交AD1，BC1于點(diǎn)F，G.過點(diǎn)G，C1分別作GI⊥BQ，C1J⊥BQ，垂足分別為I，J，過點(diǎn)C作CK⊥BQ，垂足為K，如圖8所示.

于是OP的最小值為點(diǎn)G到直線BQ的距離GI，根據(jù)平面幾何知識(shí)可知GI=12C1J=12CK=12×1×25=55.

所以MP·NP的最小值為|GI|2－1=－45．

動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的轉(zhuǎn)化是化歸方法在立體幾何解題中的重要策略之一．通過將動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)，可以簡(jiǎn)化問題的難度，提高解題效率．

6 幾何問題向量化

幾何問題代數(shù)化是處理立體幾何問題的的一種重要方式．解題時(shí)只需建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解決空間的平行和垂直關(guān)系以及空間角和距離等立體幾何問題．

例6在如圖9所示的三棱錐PABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，CA=8，PA=6，D為AB中點(diǎn)，E為 △PAC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) （含邊界），且PC⊥DE．當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí)，AE=；點(diǎn)E的軌跡的長(zhǎng)度為．

思路：建立空間直角坐標(biāo)系，可得當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí)，滿足PC⊥DE，求得AE的長(zhǎng)度；當(dāng)點(diǎn)E為△PAC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界）時(shí)，取AC的中點(diǎn)F，再過點(diǎn)F作FG⊥PC，可證PC⊥平面 DFG，得到點(diǎn)E的軌跡，解三角形可得點(diǎn)E的軌跡的長(zhǎng)度．

解析：因?yàn)镻A⊥平面ABC，AC，BC平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥BC.

又∠ACB=90°，所以AC⊥BC.

又PA∩AC=A，PA，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC，作Ax∥BC，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，如圖10所示，則A（0，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6）.

設(shè)BC=a，則B（a，8，0），于是Da2，4，0．

（1）當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí)，設(shè)E（0，c，0）.

因?yàn)镻C⊥DE，所以PC·DE=0+8c－32+0=0，解得c=4.

所以E（0，4，0），則AE=4.

（2）E為△PAC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界）時(shí)，如圖11，取AC中點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥PC，垂足為G.

由（1）可得PC⊥DF，又FG⊥PC，DF∩FG=F，DF，F(xiàn)G平面DFG，所以PC⊥平面DFG.

所以，當(dāng)點(diǎn)E在線段FG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PC⊥DE.故點(diǎn)E的軌跡為線段FG.

故FG=FC·sin∠PCA=4×PAPC=125.

幾何與代數(shù)的結(jié)合是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要一步，坐標(biāo)則實(shí)現(xiàn)了空間結(jié)構(gòu)的數(shù)量化．把復(fù)雜的幾何問題的求解轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)而變成代數(shù)問題的求解，體現(xiàn)了化歸的思想方法．

著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙教授指出：“每一門數(shù)學(xué)學(xué)科都有其特有的數(shù)學(xué)思想、賴以進(jìn)行研究 （或?qū)W習(xí)）的導(dǎo)向，以便掌握其精神實(shí)質(zhì)．只有把數(shù)學(xué)思想方法掌握了，計(jì)算才能發(fā)生作用，形式演繹體系才有靈魂.”因此，在立體幾何的解題教學(xué)中，要引進(jìn)化歸方法，尋求問題的切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生把待解決或未解決的問題，化歸到一類已解決或者比較容易解決的問題中，最終靈活地解決立體幾何的問題．在平時(shí)的解題訓(xùn)練中，教師要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生從不同角度、不同維度轉(zhuǎn)化問題，讓學(xué)生多角度思考，多方面進(jìn)行轉(zhuǎn)化，摸索出正確的解題思路和方法．同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、勇于創(chuàng)新，從而提高解題能力，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)．

參考文獻(xiàn)：

[1]吳獻(xiàn)超．立體幾何問題中化歸思想的應(yīng)用［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（15）：67.

[2]陸曉峰．化歸與轉(zhuǎn)化思想在立體幾何題中的應(yīng)用[J]．高中數(shù)理化，2023（23）：4344.